Suite de Farey

 La seconde propriété fondamentale des suites de Farey est que l'on peut facilement déterminer la première fraction à venir s'intercaler entre deux voisines:

Si ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ sont consécutives dans la suite d'ordre ${\displaystyle \max(b,b')}$ et si ${\displaystyle c/d}$ est la fraction médiane:

${\displaystyle {\frac {c}{d}}={\frac {a+a'}{b+b'}}}$

alors les fractions ${\displaystyle a/b,}$ ${\displaystyle c/d}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ sont consécutives dans la suite d'ordre ${\displaystyle b+b'.}$

Par exemple si on reprend les deux fractions ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 2/3}$ voisines dans ${\displaystyle F_{5},}$ on a vu que la première fraction à s'intercaler est ${\displaystyle 5/8}$ qui est bien la médiane.

Interprétation géométrique de la médiane de deux fractions

L'emploi du terme médiane s'explique géométriquement : on se place dans le plan euclidien, on nomme ${\displaystyle O}$ l'origine du repère ; à la fraction ${\displaystyle a/b}$ on associe le point ${\displaystyle A}$ de coordonnées ${\displaystyle (b,a)}$ ; ainsi ${\displaystyle a/b}$ est la pente de la droite du plan ${\displaystyle (OA)}$ issue de ${\displaystyle O}$ et passant par ${\displaystyle A.}$ Si ${\displaystyle A'}$ est le point de coordonnées ${\displaystyle (b',a')}$ associé à la fraction ${\displaystyle a'/b'}$alors le milieu de ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle A'}$ a pour coordonnées ${\displaystyle (b+b')/2}$ et ${\displaystyle (a+a')/2}$ ; on voit que la fraction médiane ${\displaystyle (a+a')/(b+b')}$ est alors la pente de la médiane issue de ${\displaystyle O}$ du triangle ${\displaystyle (OAA').}$

La propriété se démontre en utilisant la caractérisation des fractions voisines vue précédemment; de plus sous les hypothèses ci-dessus, notamment que ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ sont irréductibles, la fraction médiane ${\displaystyle (a+a')/(b+b')}$ est automatiquement irréductible également.

La médiane est parfois également appelée somme du cancre ce qui est trompeur car, comme le produit en croix, elle dépend des représentations des fractions. Si on reprend l'exemple du produit en croix on a: ${\displaystyle 3/5=9/15}$ et ${\displaystyle 2/3=4/6}$. Dans ce cas, on voit que les médianes de ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 2/3}$, d'une part, et de ${\displaystyle 9/15}$ et ${\displaystyle 4/6}$ d'autre part (égales respectivement à ${\displaystyle 5/8}$ et ${\displaystyle 13/21}$), ne sont pas égales. Comme pour le produit en croix on se restreindra à ne calculer les médianes que lorsque les fractions sont en forme irréductible de façon à lever toute ambiguïté.

La propriété admet une réciproque : si ${\displaystyle a/b,}$ ${\displaystyle c/d}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ sont consécutives dans une suite d'ordre ${\displaystyle n}$, alors ${\displaystyle c/d}$ est la médiane de ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ ; il se peut toutefois, lorsque ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ ne sont pas voisines, que cette fraction médiane ne soit pas irréductible. Par exemple si on considère les trois fractions ${\displaystyle 3/5,}$ ${\displaystyle 2/3}$ et ${\displaystyle 5/7}$ qui sont consécutives dans la suite ${\displaystyle F_{7}}$ la fraction médiane de ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 5/7}$ est ${\displaystyle 8/12}$ qui n'est pas irréductible mais redonne ${\displaystyle 2/3}$ après simplification. De fait ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 5/7}$ ne sont voisines dans aucune suite.

Il existe également une caractérisation du voisinage en termes de fraction continue : si ${\displaystyle a/b}$ admet le développement en fraction continue :

${\displaystyle [a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n},1]}$

alors ses deux voisines dans la suite d'ordre ${\displaystyle b}$ ont pour développement en fraction continue :

${\displaystyle [a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n}]}$

${\displaystyle [a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n-1}]}$

Ainsi ${\displaystyle 3/8}$ a pour développement en fraction continue ${\displaystyle [0,2,1,1,1],}$ et ses voisines dans ${\displaystyle F_{8}}$ sont ${\displaystyle 2/5}$ qui admet le développement ${\displaystyle [0,2,1,1]}$ et ${\displaystyle 1/3}$ qui se développe en ${\displaystyle [0,2,1].}$

La propriété de la médiane est à la base de la construction de l'arbre de Stern-Brocot, une structure énumérant les fractions irréductibles obtenue en itérant l'opération de médiane à partir de 0 (= ${\displaystyle 0/1}$) et l'infini (= ${\displaystyle 1/0}$)

Suite de Farey — Wikipédia (wikipedia.org)

avec PI 

22/7 +333/106 =... = 355/113

Factorielle

 Factorielles Table (free.fr)

Caractéristique d'Euler Théorème de Descartes-Euler

 Soit un polyèdre de genre 0, on note :

• f   le nombre de faces de celui-ci,
• a   le nombre d'arêtes de celui-ci,
• s   le nombre de sommets de celui-ci,

On peut démontrer qu'on a toujours :   

Preuve

 

Les Nombres de Lychrel Et les Palindromes

Pour comprendre les nombres de Lychrel, il faut tout d’abord saisir la définition de palindrome.
Les palindromes peuvent prendre la forme d’une phrase ou d’un nombre et s’écrivent de la même façon à l’endroit et à l’envers.

17371 est par exemple un nombre palindrome.

Lorsque l’on additionne à répétition un palindrome avec son inverse et que le résultat ne forme pas un nombre palindrome, il s’agit d’un nombre de Lychrel.

59 n’est pas un nombre de Lychrel puisque :

59+95 = 154
154+451 = 605
605+506 = 1111

En effet, on aboutit ici à un autre palindrome.

Le plus petit nombre pour lequel on n’a pas trouvé de palindrome est 196 et c’est exactement ce qui passionne chaque chercheur en mathématiques.

Nombre de Belphegor

 Les fans de la série "The Big Bang Theory", par exemple, se souviennent peut-être que le Dr Sheldon Cooper a dit...

"Le meilleur nombre est 73. Pourquoi ? 73 est le 21e nombre premier."

"Son miroir, 37, est de 12° et son miroir, 21, est le produit de la multiplication de 7 x 3".

"En binaire 73 est un palindrome, 1001001, qui à l'envers est 1001001."

3*333667=1001001

Dubner a entrepris de tracer un ensemble de nombres premiers commençant à 16661 et ajoutant des zéros de chaque côté, entre 1 et 6.

C'est-à-dire qu'il a commencé par 16661 -qui est un nombre premier-, et a vérifié si 1 0 666 0 1 était aussi un nombre premier. Ce n'était pas.

Il a fait la même chose avec 1 00 666 00 1, 1 000 666 000 1... et aucun n'était premier, mais il n'a pas abandonné.

Il continua sans succès jusqu'à ce qu'il atteigne 100000000000006660000000000001 et... eureka ! trouvé le premier des nombres avec ces caractéristiques qui était premier.

Dubner a poursuivi sa tâche laborieuse et a découvert que ceux avec 42, 506, 608, 2472 et 2623 zéros ajoutés étaient également des nombres premiers.

De plus, il a remarqué que ce nombre bestial dans ce premier nombre premier "était entouré de 13 zéros des deux côtés, longtemps considéré comme superstitieux comme un nombre malchanceux dans la culture occidentale", a déclaré Pickover à BBC Mundo.

En plus de cela, "il avait 31 chiffres au total, soit 13 à l'envers".

Le mathématicien a décidé de donner à 10000000000000660000000000001 un nom : le cousin de Belphégor.

Nombre de Belphégor — Wikipédia (wikipedia.org)

Le nombre de la bête (cadaeic.net)

 

PI surprenant ? Pi day de 2020

http://www.angio.net/pi/piquery.html
http://www.gecif.net/articles/mathematiques/pi/#nombres_premiers

** Une propriété vraiment surprenante a été découverte par T.E. Lobeck de Minneapolis. A partir du carré magique 5x5 ci-dessous, on substitue à chaque chiffre n du carré le n-ième chiffre du développement décimal de Pi. Par exemple, pour la case 25, on trouve un 3 à la position 25 des décimales de Pi. On obtient alors un nouvel arrangement de nombres : chaque rangée possède une somme identique à celle d'une colonne !

	17	24	1	8	15		2	4	3	6	9	(24)
	23	5	7	14	16		6	5	2	7	3	(23)
	4	6	13	20	22		1	9	9	4	2	(25)
	10	12	19	21	3		3	8	8	6	4	(29)
	11	18	25	2	9		5	3	3	1	5	(17)
							(17)	(29)	(25)	(24)	(23)

http://www.pi314.net/eng/anecdotespi.php

** Monte Zerger noticed that, at the positions 7, 22, 113, 335 in the digits of Pi, we find the same number 2. Of course, these positions refer to the famous fractions 22/7 and 335/113 which approximate Pi.

et 17 28 34 54 64 74 77 84 90 94 103 115 136 137 141 150 161 166 174 186 187 204 222 230 242 245 261 276 281 290 293 299 303 327 330 334 

Ce monsieur ne dit pas dans les décimales de PI, mais dans le chiffres de PI ( “in the digits” et non pas “in the decimals of pi”) , Il part donc bien de 3,

A noter que 333/106 n’est pas commenté ! et les autres fractions continues non plus ?????

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pi#Propri.C3.A9t.C3.A9s_avanc.C3.A9es

Somme à 65 sur le carré initial.
La somme des 20 premières décimales de PI = 100

Le point FEYNMAN à la 762 ème position.


Le point de Planchon 666 12345 888 dans pi :

https://flechedutemps.blogspot.com/2013/02/dans-pi.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_point

"Les ordinateurs ne servent à rien ils ne donnent que des réponses"

Pablo Picasso

http://www.pi314.net/fr/anecdotespi.php

3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 50

314 159 265 358 979 323 856  264 338 327 950

http://eljjdx.canalblog.com/archives/2010/05/02/19973223.html

SOURCE

Ludolph van Ceulen

 En 1587, le bourgmestre de Delft Jan Cornets de Groot,

mathématicien amateur reconnu et père du juriste, 

Hugo Grotius, traduit pour lui les livres d'Archimède. 

Van Ceulen y peut lire qu'en découpant le cercle en 96 parties on montre que

 .

 Il en déduit d'autres approximations de π en utilisant, comme l'avait fait Viète en 1579, des nouvelles suites de polygones réguliers.

Formule de Legendre

 En mathématiques et plus précisément en théorie des nombres, la formule de Legendre donne une expression, pour tout nombre premier p et tout entier naturel n, de la valuation p-adique de la factorielle de n (l'exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de nǃ, ou encore, le plus grand entier  tel que  divise n!) :

${\displaystyle v_{p}(n!)=\sum _{k=1}^{\infty }\lfloor n/p^{k}\rfloor =\lfloor n/p\rfloor +\lfloor n/p^{2}\rfloor +\cdots }$où ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ désigne la partie entière de ${\displaystyle x}$, également notée ${\displaystyle E(x)}$.

Cette formule peut se mettre sous la deuxième forme${\displaystyle v_{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}}$où ${\displaystyle s_{p}(n)}$ désigne la somme des chiffres de ${\displaystyle n}$ en base ${\displaystyle p}$.

Historique[modifier | modifier le code]

Adrien-Marie Legendre a publié et démontré cette formule dans son livre de théorie des nombres en 18301. Elle porte aussi parfois le nom d'Alphonse de Polignac2.

Version récursive[modifier | modifier le code]

On a également la relation de récurrence2 :${\displaystyle v_{p}(n!)=\lfloor n/p\rfloor +v_{p}(\lfloor n/p\rfloor !)}$permettant un calcul récursif très simple de ${\displaystyle v_{p}(n!)}$.

Par exemple, par combien de zéros se termine (en) le nombre ${\displaystyle 1000!}$ ? ${\displaystyle v_{10}(1000!)=\min(v_{2}(1000!),v_{5}(1000!))=v_{5}(1000!)=\lfloor 1000/5\rfloor +v_{5}(\lfloor 1000/5\rfloor !)=200+v_{5}(200!)=240+8+1=249}$.

Le nombre ${\displaystyle 1000!}$ se termine donc par ${\displaystyle 249}$ zéros.

Nombre Harshad

 En mathématiques récréatives, un nombre Harshad, ou nombre de Niven, ou nombre multinumérique est un entier naturel qui est divisible par la somme de ses chiffres dans une base donnée. Le nom de Harshad leur a été donné par le mathématicien Dattatreya Ramachandra Kaprekar et signifie en sanskrit grande joie. L'appellation « de Niven » est un hommage au mathématicien Ivan Niven qui a publié un article et présenté une conférence en théorie des nombres sur leur sujet en 1977. En base b, tous les nombres de 0 à b et toutes les puissances de b sont des nombres Harshad.

Nombre Harshad en base dix[modifier | modifier le code]

En base dix, les vingt premiers nombres Harshad strictement supérieurs à 10 sont (suite A005349 de l'OEIS) :

12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80 et 81.

Les quotients obtenus se trouvent dans la suite  A113315 de l'OEIS.

Quels nombres peuvent être des nombres Harshad ?[modifier | modifier le code]

En prenant le test de divisibilité par nombre 9, on pourrait être tenté de généraliser que tous les nombres divisibles par 9 sont aussi des nombres Harshad. Mais pour déterminer si n est Harshad, les chiffres de n ne peuvent être additionnés qu'une fois et n doit être divisible par cette somme ; sinon, ce n'est pas un nombre Harshad. Par exemple, 99, n'est pas un nombre Harshad, puisque 9 + 9 = 18 et 99 n'est pas divisible par 18.

Aucun nombre premier p strictement supérieur à 10 n'est Harshad. En effet, la somme de ses chiffres est strictement comprise entre 1 et p donc ne peut pas diviser p.

En base dix, les factorielles des nombres entiers inférieurs ou égaux à 431 sont des nombres Harshad. Le nombre 432! est la première factorielle à ne pas être un nombre Harshad1. En voici quelques autres : 444!, 453!, 458!, 474!, 476!, 485!, 489!.

carres magiques

 Carrés Frénicle (magictesseract.com)

Ligne n colonne p

Triangle de Pascal ligne n colonne p .... 2^n  1................1

2 La question du Carré - MELENCOLIA I - - artifexinopere

En mathématiques, un inverse est le nombre 1 divisé par un autre nombre (aussi appelé fraction unitaire), comme 1/3 ou 1/7. En base 10, le reste, et donc les chiffres, de 1/3 se répètent une fois : 0,3333… Néanmoins, la période répétitive du développement décimal de 1/7 est de six chiffres = 0,142857142857142857… De façon fortuite, les multiples de 1/7 sont des permutations cycliques de ces six chiffres :

1/7 = 0, 1 4 2 8 5 7…
2/7 = 0, 2 8 5 7 1 4…
3/7 = 0, 4 2 8 5 7 1…
4/7 = 0, 5 7 1 4 2 8…
5/7 = 0, 7 1 4 2 8 5…
6/7 = 0, 8 5 7 1 4 2…

Si ces chiffres sont disposés dans un carré, chaque ligne et chaque colonne donneront la même somme, en l'occurrence 1+4+2+8+5+7=27. Les diagonales ne donnant cependant pas 27, il ne s'agit pas d'un carré magique.

1 4 2 8 5 7
2 8 5 7 1 4
4 2 8 5 7 1
5 7 1 4 2 8
7 1 4 2 8 5
8 5 7 1 4 2

Tous les autres inverses de nombres premiers en base 10 avec une période maximum p-1 produisent des carrés dans lesquels toutes les lignes et les colonnes ont une somme identique, mais seuls quelques uns constituent des carrés magiques.

Bezout

 Bezout (univ-cotedazur.fr)

DIVISION DU CERCLE avec n points

http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/CercPart.htm


DIVISIBILITÉ par 24

Le produit de trois nombres consécutifs

(n – 1) n (n + 1) = n³ – n

dont le central est impair, est divisible par 24.

Le produit de quatre nombres consécutifs est divisible par 24.

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Divisi24.htm 

Le nombre et le chiffre exprime du temps, de la durée.