Suites de CONWAY

bien intéressant,

le nombre traduit une évolution de contenu temporel.

Il y a une base de départ. écriture à gauche.

0 inexistence
1 existence

Il faut traduire ce contenu spatial (matériel) et temporel (immatériel) de 0 et 1.
A l'image de Conway, écriture gauche droite ou droite gauche  :

avec ajout du 1:
0 >>>>> 10 ou 01
1 >>>>> 11

avec ajout du 0 :
0>>>>> 00
1 >>>>>01 ou 10

puis on itère :
10 >>>> 110 ou 101
01 >>>>> 101 ou 011
11 >>>>> 111
00 >>>>>000
01 >>> 001 ou 010

.....




0
10
1011
211011
21102112
122112102112

....

1
11
21

Terme 4 = 1211

Terme 5 = 111221

Terme 6 = 312211

Terme 7 = 13112221

....

11

21

.....

01

1011

http://eljjdx.canalblog.com/archives/2014/01/19/28956887.html
http://oeis.org/A014967

http://mathworld.wolfram.com/CosmologicalTheorem.html

http://mathworld.wolfram.com/LookandSaySequence.html

http://mathworld.wolfram.com/ConwaysConstant.html

http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/horton.html

http://www.cs.cmu.edu/~kw/pubs/conway.pdf

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Dans la suite **« Look-and-Say »** (ou suite de Conway, décris ce que tu vois), en partant du terme initial **1**, le chiffre **4** n'apparaît **jamais**.

La raison est d'une grande simplicité arithmétique et structurelle :

### 1. Comment pourrait apparaître un « 4 » ?

Pour qu'un chiffre **4** apparaisse dans le terme suivant, il faudrait qu'un même chiffre apparaisse **4 fois de suite** dans le terme actuel (par exemple `1111`, qui se lirait *"quatre 1"* $\to$ `41`).

### 2. Pourquoi 4 chiffres identiques consécutifs sont impossibles ?

Analysons ce qu'il faudrait pour obtenir `1111` :

* Pour obtenir quatre `1` d'affilée (`1111`), la séquence précédente aurait dû contenir soit :

* Deux fois l'expression de "un 1" séparés : `11` et `11` (ce qui signifierait qu'on a mal compté au départ, car `11` + `11` formerait déjà quatre `1` à l'étape d'avant),

* Ou bien une combinaison issue d'un découpage du type `...1` suivi de `111`... mais le comptage regroupe **toujours** tous les chiffres identiques adjacents en un seul bloc.

### 3. La règle des blocs de maximum 3

Dans la construction Look-and-Say à partir de 1 :

* Aucun chiffre ne peut être répété plus de **3 fois d'affilée**.

* On ne rencontre que des blocs de **un** (`1`), **deux** (`11`) ou **trois** (`111`) chiffres identiques.

* Par conséquent, lorsque l'on « lit » la ligne, on ne prononce que les nombres **1**, **2** ou **3** (par exemple : *"un 1"*, *"deux 1"*, *"trois 1"*).

### 4. Le théorème cosmologique de Conway

John Conway a démontré que tout terme de la suite se décompose en 92 éléments de base (qu'il a nommés d'après les éléments chimiques, de l'Hydrogène à l'Uranium). Dans la métamorphose de tous ces éléments au cours des étapes, les seuls chiffres qui apparaissent pour décompter ou identifier les symboles sont **1**, **2** et **3**.

Ainsi, tant que la suite démarre par n'importe quelle graine ne contenant pas déjà un bloc de 4 chiffres identiques (ou un chiffre >= 4), **le chiffre 4 n'apparaîtra absolument jamais** !

Source Gemini

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Charles Hermite :

« Je vous ferais bondir,

 si j'osais vous avouer que je n'admets aucune solution de continuité, 

aucune coupure entre les mathématiques et la physique,

 et que les nombres entiers me semblent exister en dehors de nous et en s'imposant

 avec la même nécessité, la même fatalité que le sodium, le potassium, etc. »


— Correspondance avec Stieltjes, janv. 1889, Paris, éd. Gauthier-Villars, 1905, t. I, p. 332