Formule de Legendre

 En mathématiques et plus précisément en théorie des nombres, la formule de Legendre donne une expression, pour tout nombre premier p et tout entier naturel n, de la valuation p-adique de la factorielle de n (l'exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de nǃ, ou encore, le plus grand entier  tel que  divise n!) :

${\displaystyle v_{p}(n!)=\sum _{k=1}^{\infty }\lfloor n/p^{k}\rfloor =\lfloor n/p\rfloor +\lfloor n/p^{2}\rfloor +\cdots }$où ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ désigne la partie entière de ${\displaystyle x}$, également notée ${\displaystyle E(x)}$.

Cette formule peut se mettre sous la deuxième forme${\displaystyle v_{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}}$où ${\displaystyle s_{p}(n)}$ désigne la somme des chiffres de ${\displaystyle n}$ en base ${\displaystyle p}$.

Historique[modifier | modifier le code]

Adrien-Marie Legendre a publié et démontré cette formule dans son livre de théorie des nombres en 18301. Elle porte aussi parfois le nom d'Alphonse de Polignac2.

Version récursive[modifier | modifier le code]

On a également la relation de récurrence2 :${\displaystyle v_{p}(n!)=\lfloor n/p\rfloor +v_{p}(\lfloor n/p\rfloor !)}$permettant un calcul récursif très simple de ${\displaystyle v_{p}(n!)}$.

Par exemple, par combien de zéros se termine (en) le nombre ${\displaystyle 1000!}$ ? ${\displaystyle v_{10}(1000!)=\min(v_{2}(1000!),v_{5}(1000!))=v_{5}(1000!)=\lfloor 1000/5\rfloor +v_{5}(\lfloor 1000/5\rfloor !)=200+v_{5}(200!)=240+8+1=249}$.

Le nombre ${\displaystyle 1000!}$ se termine donc par ${\displaystyle 249}$ zéros.

Combien de Zéros à la fin de n!

 Nous avons alors établi la formule suivante donnant le nombre de zéros qui terminent N! :

 E [ N / 5 ] + E [ N / 52 ] + E [ N / 53 ] + … + E [ N / 5p ] tant que E[N/5p ] n'est pas nul.

 E[N/5p ] signifie : partie entière de N/5p exemple : 

Pour connaître le nombre de zéros qui terminent 33!,

 il suffit de calculer E[33/5]+E[33/52 ]+E[33/53 ], 

c'est-à-dire 6 + 1 + 0 = 7, 

donc 33! se termine par 7 zéros.

INFINI ; partie entière,partie décimale

000000000000000000000000000000000

111111111111111111111111111111111

100000000000000000000000000000000

0,11111111111111111111111111111111

101010101010101010101010

L'infini naît de 1/0 ou ...... n/0

1/0= 0,5 base 10 ......

Il faut trois états pour définir un temps, une durée .....(KEPLER)

passé, présent,avenir

On pourrait écrire pour dissocier les deux infinis :

.....0000000000000000,1111111111111111111111.....

ou

......1111111111111111111,00000000000000000.....

une partie entière, une partie décimale qui n'ont d'autre rapport entre eux que par l'addition , la multiplication , le report de la retenue .....

0,9 +1 = 1,0
0,5*2 = 1,0

En quantique on n'abandonne par les zéros de gauche et de droite .....

Univers Cosmos et chiffre et nombre et temps

EN RÉDACTION 06.06.2011

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_l'information

http://fr.wikipedia.org/wiki/Bit

http://www.spacebel.nl/Matter.pdf


Je suppose qu' le cosmos est rempli de chiffres. ou nombres qui représentent des éléments matériels ou temporels ...

Le temps est comptage.
Tic tac tic tac ..

Fréquence
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9quence
http://fr.wikipedia.org/wiki/Hertz



Le chiffre est un point sur la droite ....
il me faut trois "existences" pour représenter un point dans l'espace euclidien.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_euclidien
http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel

Les parenthèses, ( et ) ,encadrent mon univers observé.

• Je dispose de "rien" ( aucun symbole ou  le "space" aucun symbole  , l'espace dactylographique ou "rien"  ) ( ) peut être noté ) (, "moins que rien" () peut être noté )( ( ce sont deux parenthèses ouvrante et fermante ): 

le "néant" :

() , moins que rien, )(

ou, il y a un espace entre les parenthèses ... :

( ) , rien, ) (

Pas très avancé !!!!!

mais on n'est pas trop loin des intervalles ouverts, fermés .....de la théorie des ensembles ....
[] ou [ ] ou [[ etc ....

On pourrait écrire :

((
))

ou
( (
) )

http://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_(math%C3%A9matiques)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique_des_intervalles

• Je dispose de "plusieurs" "rien", "néant" (      ) :

(    )


Autres remarques avec les bornes de l'univers observé ...

(   (
etc.

• Je dispose d'un symbole, mais aucun chiffre ( blanc, espace, noté "-" ) pour traduire l'existence du vide  (-) :

 -

C'est le vide ..... , pas de temps, pas de points pas de chiffre, pas de droite, pas de plan,pas d'espace en x,y,z .....  

si il n'y a qu'un - je ne suis pas très avancé.
mais quelque chose existe

• Si il y en a plusieurs  (-------) :

------------

Pas de changement d'état.

 Comment le savoir si ils ne sont pas encadrés, à gauche ou à droite ou à gauche et à droite, je suis sur la droite ....)

Je suis susceptible de les compter .....de gauche à droite ou de droite à gauche ....si je vis !

• Je dispose d'un "néant" et de "plusieurs"  "vides" (--- ----) :

----- --------

Il y a des changements d'état et une partition de l'espace ....

On pourrait assimiler le "space" à la virgule en écriture décimale base 10 ....partie entière,partie décimale

• Je dispose d'un seul zéro  (0) :

   0

Il y a apparition de quelque chose .....
Inexistence.
c'est mieux que le néant, rien et moins que rien !,   ( ) () ou le vide (-) ou les vides (-------)
x ou y ou z ou t

• Je dispose deux zéros (00) :

00


Cela introuduit du temps dans le nombre :
x;y  ou y;x
ou x;z ou z;x
ou y;z ou z;y
ou x;x
ou y;y
ou z;z


   avec t :

t;t
x;t ou t;x
y;t ou t;y
z;t ou t;z

• Je dispose de trois zéros (000) :

000

• Je dispose de quatre zéros (0000) :

0000

• Je dispose de plusieurs zéros seuls ( bits à 0): (000 ....) :

0000000000000000

• Je dispose d'un seul 1 (1)

1

Existence.

• Je dispose de deux 1 (11) :

11

• Je dispose de trois 1 (111) :

111

• Je dispose de "quatre" 1 (1111)

1111

• Je dispose de plusieurs 1 seulement (bits à 1) : (1111 ....) :

11111111111111

• Je dispose de un zéro et un 1 (01) ou (10) 

01

10

Nombre d'Or

http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm#historique

Surface et temps ....KEPLER



http://sites.google.com/site/tpenombredor/ii-le-nombre-d-or-dans-le-regne-vegetal-et-animal

Définition alternative du nombre d'or — Le nombre d'or est l'unique solution positive de l'équation du second degré suivante :

Cette équation est équivalente à celle indiquant que l'inverse de l'inconnue x est égal à x - 1, ce qui implique que le développement décimal de 1/x est le même que celui de x, auquel on a retranché sa partie entière.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_cyclique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_alg%C3%A9brique_des_nombres

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_quadratique

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal_p%C3%A9riodique

Un nombre décimal est un nombre qui admet un développement décimal limité, c'est-à-dire ne comportant qu'un nombre fini de décimales autres que zéro.

La méthode de calcul des fractions à partir des décimales répétées, par exemple, dans le cas de 0,9999…=0,9 conduit à un paradoxe apparent :

L'égalité 1 = 0,999… est parfois contestée de façon naïve. Un bon argument est que si deux nombres réels sont distincts, alors il existe une infinité d'autres nombres réels entre les deux (strictement). Or, il n'existe aucun autre réel entre 0,99999 (une infinité de 9) et 1. C'est donc un seul et même réel, écrit de deux manières différentes.

Certains^[Qui ?] argumentent que, dans la seconde étape ci-dessus, 10x vaut 9,9999…0 et non 9,9999. Mais ce n'est pas le cas ; le second membre ne se termine pas (il est récurrent) et donc il n'y a pas de fin pour laquelle un zéro peut être trouvé.

L'écriture de 1 sous forme 0,9999… pose le problème de l'unicité de l'écriture décimale d'un nombre. L'écriture sous forme 0,999…. est alors considérée comme un développement décimal impropre. Mais cela ne signifie pas que l'on ne soit jamais amené à l'écrire. En effet, le travail sur l'écriture décimale de 1/3, par exemple, conduit aux égalités :

Ou encore, lorsqu'il s'agit de déterminer le développement décimal de 1 - x, connaissant celui de x, la forme 0,999… est plus adaptée:

x = 0,52121…= 0,521

1- x = 0,99999…- 0,52121…= 0,47878…=0,478

Pour d'autres preuves de cette égalité, voir l'article Développement décimal de l'unité. Le raisonnement mené sur cet exemple peut l'être sur tout autre nombre décimal et donc en particulier tout nombre entier. La conclusion étant :

Développement décimal périodique d'un nombre décimal — Tout nombre décimal différent de 0 admet deux développements décimaux périodiques : l'un dont la période est 9, l'autre dont elle est 0.

• Exemples : 2,5=2,49999 et -0,6001=-0,60009999. Dans les deux exemples qui précèdent, le premier développement décimal est dit développement décimal propre et le deuxième développement décimal est dit développement décimal impropre.
• Remarque : un nombre réel qui possède deux développements décimaux distincts est nécessairement un nombre décimal différent de 0.

314 Nombre

Le nombre est

• une succession de chiffres

1568942547

nombre entier

• a une signification si la base de numération est précisée

base 10

ou base 12 par exemple

• une succession de chiffres, une virgule, une succession de chiffres ....

250124587,125467

partie entière, partie décimale

• précédé à gauche de plusieurs zéros

0000002546897

• suivi à droite d'aucuns zéro ou non

025468945780

045784

• découpable ou non par sections entre zéros ou la fin

02352356801245704875

section 023568 gauche

section 012457 centre

section 04875 droite

• fini ou infini pour la partie décimale

0,125

0,3333333333333333333

0,24500000000001

• prend une signification de contenu par une lecture de gauche à droite

123 cent vingt trois et non trois cent vingt et un 

C'est une forme de symétrie ....., temps aller, temps retour

Passé présent avenir (gauche centre droite)( x positions à gauche,y positions au centre, z positions à droite)

Il aura une autre signification par une lecture de droite à gauche ....

(avenir présent passé)

• possède toujours un "successeur"

En ajoutant 1

• possède toujours un prédécesseur

en soustrayant 1

• peut être signé + 

+456

-456

• peut être signé -
• dispose ou non d'une racine nième donnant un nombre
• peut être de forme complexe de type z= x+iy avec i**2=-1
• le premier chiffre à gauche donne le point de départ le dernier chiffre à droite le point d'arrivée

si le départ est égal à l'arrivée le nombre est stable

• le nombre de chiffres 0 successifs à l'intérieur d'un nombre à un sens

254000000124

25400000000124

• on peut donner une signification au nombre

temps

distance

surface

volume

• pi a une signification physique

Si pi = 3 ....

Si pi= 6 ....

• Racine carrée de deux
• Racine carrée de trois
• Racine carrée de cinq
• Racine carrée de six
• Racine carrée de sept
• Racine carrée de huit

• Quatre 2*2 contient 2
• Neuf 3*3 contient 3
• Treize et donc 12 et 14

écriture