Addition !

 

Additionner 2 à 2 semble le comble de la simplicité. Pourtant, cette opération, si évidente dans un manuel scolaire, devient étonnamment instable dès qu’on la confronte à la complexité du réel. Entre phénomènes physiques, arrondis statistiques et constructions politiques, le résultat n’est plus toujours quatre. Et si 2+2 égalait parfois 5, sans pour autant trahir les mathématiques ?

Quand les mathématiques quittent le papier pour entrer dans le réel

Dans un monde parfaitement abstrait, deux objets plus deux autres donnent systématiquement quatre. Mais dès que l’on sort du cadre scolaire, ce postulat se fissure. Prenons l’exemple d’un mélange. Deux verres de 200 ml d’eau ne donnent pas toujours 400 ml une fois réunis. Si l’un est à 20 °C et l’autre à 40 °C, le volume total peut varier sous l’effet des changements de température et de densité. Même en cuisine, la logique additive s’efface. Deux cuillères de farine et deux d’huile ne donnent pas une pâte de quatre cuillères. Il faut compter les interactions.

Pourquoi 2+2=5 devient cohérent dès que le contexte change

Ce qui fait vaciller la solidité apparente de 2+2=4, c’est avant tout notre dépendance à des conventions. Carr le souligne. Le résultat dépend toujours des définitions et des axiomes adoptés. Si on accepte que 2.3 s’arrondisse à 2, alors 2.3+2.3 peut être interprété comme 2+2… mais aussi comme 5, si l’arrondi final prime sur ceux des termes individuels. L’erreur n’est pas mathématique, elle est contextuelle.

Des phénomènes encore plus troublants montrent que l’addition de quantités abstraites peut produire des effets inattendus. Dans certains systèmes fermés ou circulaires, comme les angles évoqués plus haut, le résultat final dépend du cadre de référence.

Un exemple amusant : tourner une vis de quatre tours (soit 1440 degrés) ou cinq (1800 degrés) n’en modifie pas la position extérieure. Pourtant, le travail accompli est bien différent. Faut-il alors dire que 1440 = 1800 ? Bien sûr que non. Mais ces égalités n’ont plus la même pertinence dès lors qu’on évalue autre chose que le chiffre lui-même.

Le problème vient souvent d’un malentendu entre ce que l’on mesure et ce que l’on veut exprimer. Cité par Popular Mechanics, Carr rappelle que même des constructions aussi sérieuses qu’un score de QI ou une évaluation d’agressivité reposent sur des échelles subjectives. Dès lors que l’on traduit un phénomène complexe (comme une émotion ou un comportement) en chiffre, l’addition devient fragile. Ce ne sont pas les chiffres qui mentent, mais la manière dont ils sont utilisés.

Des chiffres fiables en théorie mais fragiles dans nos sociétés numériques

Au-delà de la science, la formule 2+2=5 a longtemps servi de symbole politique. George Orwell, dans son roman 1984, l’utilise pour illustrer l’arbitraire des régimes totalitaires. Si l’État l’ordonne, alors deux plus deux peuvent faire cinq. Le mensonge devient vérité. Cette métaphore glaçante prend aujourd’hui une nouvelle tournure, plus subtile mais tout aussi inquiétante.

Les interfaces modernes multiplient les scores chiffrés. Des étoiles de satisfaction aux indices d’opinion, tout semble pouvoir se mesurer. Chaque émotion, chaque choix, chaque interaction devient une donnée prête à être exploitée. Pourtant, ces chiffres ne racontent pas tout. Ils réduisent une réalité souvent plus nuancée. Un podcast affichant 4,6 étoiles est-il vraiment meilleur qu’un autre à 4,4 ? Rien ne le prouve. Cette impression vient d’un système qui simplifie pour prédire, mais qui oublie parfois de comprendre ce qu’il évalue.

BBC News rappelle que l’équation 2+2=5 a traversé les siècles comme outil de critique. Victor Hugo s’en est servi pour dénoncer les dérives de Napoléon III, tandis que Dostoïevski y voyait la manifestation d’un libre arbitre capable de refuser même les vérités les plus élémentaires. Ces usages montrent que remettre en question l’évidence n’est pas un acte absurde, mais un signal d’alerte. Aujourd’hui, à l’heure où tout se transforme en chiffres, ce doute peut redevenir salutaire.

EN BREF

• Kareem Carr, biostatisticien de Harvard, a popularisé en 2020 l'idée que 2+2 peut ne pas toujours égaler 4 dans le monde réel.
• Les phénomènes physiques et les conventions mathématiques peuvent altérer le résultat de 2+2, comme dans le cas des arrondis ou des systèmes fermés.
• Remettre en question des évidences mathématiques comme 2+2=4 peut révéler des vérités plus profondes sur notre perception du monde.

Ils affirment que 2+2=5… et la science ne les contredit pas totalement - Science et vie

Vide

 La perméabilité du vide, également nommée perméabilité magnétique du vide ou constante magnétique, est une constante physique symbolisée par μ₀.

Dans le système SI, sa valeur est exactement :

μ₀ = 4π × 10⁻⁷ kg m A⁻² s⁻², ou encore 4π × 10⁻⁷ T m/A

T étant le tesla, unité d'induction électromagnétique

soit donc :

μ₀ = 12,566 370 614... × 10⁻⁷ kg m A⁻² s⁻², ou encore 12,566 370 614... × 10⁻⁷ T m/A

La constante magnétique est souvent exprimée en henry par mètre : μ₀ = 4π × 10⁻⁷ H m⁻¹.

La valeur donnée était exacte par définition de l'ampère, mais ne l'est plus depuis la redéfinition des unités du système international, le 20 mai 2019, la définition de l'ampère étant dorénavant liée à la définition de la charge élémentaire e qui a été choisie comme exacte, alors que la définition antérieure approuvée au Congrès Général des Poids et Mesures de 1948 fixait la perméabilité du vide1.

6 et 7

 

La chiralité (du grec χείρ, kheir : main) est une importante propriété reliant les notions de symétrie et d'orientation, intervenant dans diverses branches de la science.

Un objet ou un système est appelé chiral s’il n'est pas superposable à son image dans un miroir. Cet objet et son image miroir constituent alors deux formes différentes qualifiées d'énantiomorphes (du grec formes opposées) ou, en se référant à des molécules, des conformations spatiales « gauches » et « droites » appelées énantiomères dotés d'une asymétrie moléculaire tridimensionnelle. Le groupe des isométries laissant globalement invariant l'objet initial ne possède que des rotations.

Un objet (ou une molécule) non chiral est dit achiral (ou parfois amphichiral). Il est superposable à son image miroir. Autrement dit, le groupe des isométries laissant globalement invariant l'objet possède au moins une isométrie indirecte.

La chirogenèse est la formation de molécules chirales.

Nombre pentatopique

 

Pentatope number

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Derivation of pentatope numbers from a left-justified Pascal's triangle

A pentatope number is a number in the fifth cell of any row of Pascal's triangle starting with the 5-term row 1 4 6 4 1, either from left to right or from right to left.

The first few numbers of this kind are:

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365 (sequence A000332 in the OEIS)

A pentatope with side length 5 contains 70 3-spheres. Each layer represents one of the first five tetrahedral numbers. For example, the bottom (green) layer has 35 spheres in total.

Pentatope numbers belong to the class of figurate numbers, which can be represented as regular, discrete geometric patterns.^[1]

Formula[edit]

The formula for the nth pentatope number is represented by the 4th rising factorial of n divided by the factorial of 4:

${\displaystyle {�}_{�}=\frac{�!}{4!(�-4)!}=\frac{�(�+1)(�+2)(�+3)}{24}.}$

The pentatope numbers can also be represented as binomial coefficients:

${\displaystyle {�}_{�}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{�+3}{4}),}$

which is the number of distinct quadruples that can be selected from n + 3 objects, and it is read aloud as "n plus three choose four".

Properties[edit]

Two of every three pentatope numbers are also pentagonal numbers. To be precise, the (3k − 2)th pentatope number is always the (3k² − k/2)th pentagonal number and the (3k − 1)th pentatope number is always the (3k² + k/2)th pentagonal number. The (3k)th pentatope number is the generalized pentagonal number obtained by taking the negative index −3k² + k/2 in the formula for pentagonal numbers. (These expressions always give integers).^[2]

The infinite sum of the reciprocals of all pentatope numbers is 4/3.^[3] This can be derived using telescoping series.

${\displaystyle \sum _{�=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4!}{�(�+1)(�+2)(�+3)}=\frac{4}{3}.}$

Pentatope numbers can be represented as the sum of the first n tetrahedral numbers:^[2]

${\displaystyle {�}_{�}=\sum _{�=1}^{�}�{�}_{�},}$

and are also related to tetrahedral numbers themselves:

${\displaystyle {�}_{�}=\frac{1}{4}(�+3)�{�}_{�}.}$

No prime number is the predecessor of a pentatope number (it needs to check only -1 and 4=2²), and the largest semiprime which is the predecessor of a pentatope number is 1819.

Similarly, the only primes preceding a 6-simplex number are 83 and 461.

Test for pentatope numbers[edit]

We can derive this test from the formula for the nth pentatope number.

Given a positive integer x, to test whether it is a pentatope number we can compute

${\displaystyle �=\frac{\sqrt{5+4\sqrt{24�+1}}-3}{2}.}$^{[citation needed]}

The number x is pentatope if and only if n is a natural number. In that case x is the nth pentatope number.

Generating function[edit]

The generating function for pentatope numbers is^[4]

${\displaystyle \frac{�}{(1-�{)}^5}=�+5{�}^2+15{�}^3+35{�}^4+\dots .}$

Applications[edit]

In biochemistry, the pentatope numbers represent the number of possible arrangements of n different polypeptide subunits in a tetrameric (tetrahedral) protein.

Nombre pentatopique

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Un pentatope à 70 sphères. Chaque niveau représente un des 5 premiers nombres tétraédriques. Par exemple, le niveau vert possède 35 sphères en tout.

Un nombre pentatopique est un nombre de la cinquième diagonale descendante du triangle de Pascal. Les premiers nombres de cette sorte sont 1, 5, 15, 35, 70, et 126.

Les nombres pentatopiques sont des nombres figurés. Ils peuvent idéalement être représentés en dimension 4 par un polytope constitué d'un empilement de tétraèdres réguliers.

Le nombre pentatopique de rang n est donc la somme des n premiers nombres tétraédriques

${\displaystyle {�}_4(�)=\sum _{�=1}^{�}{�}_3(�)=\sum _{�=1}^{�}(\genfrac{}{}{0ex}{}{�+2}{3})}$

On obtient donc la formule

${\displaystyle {�}_4(�)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{�+3}{4})}$

Il n'est donc pas surprenant de les rencontrer dans la cinquième diagonale du triangle de Pascal.

Cosmos

 

Symbologie et Théorie des « formes symboliques »

L’histoire de la philosophie regorge d’usage de symbole. Héraclite fait du mythe un symbole de vérité. La philosophie de Platon est éminemment symbolique. Par exemple dans sa conception de l’amour en forme d’âme sœur, et dans sa célèbre allégorie de la caverne.

Ainsi les nombres peuvent être vus comme porteurs de sens et de valeurs hors fonction « arithmétique ». En philosophie, le symbole désigne un signe concret évoquant, de par sa nature, quelque chose d’imperceptible. Le nombre, abstrait par essence, ne peut être vu comme un symbole. Pourtant, de nombreuses études mentionnent les associations mentales issues de cette abstraction.

En voulant expliquer le lien Symbole-Nombre, Ernst Cassirer, philosophe allemand, voit le nombre comme une « forme symbolique », un invariant de la culture humaine. Selon lui, les formes « primitives » de la pensée en « symbole » pour se représenter le monde seraient le point de départ d’une genèse des formes culturelles plus sophistiquées.

En somme, le symbole produit par l’esprit permet à l’être humain de toujours mieux appréhender le monde qui l’entoure. Il produit des connaissances par la structure au moyen de concepts et idées toujours plus exactes. Démarrons cette histoire avec Pythagore.

Pythagore, la mystique et la musique des nombres

Le Tétraktys, symbole de la symbolique pythagoricienne. Wikimedia, CC BY

Philolaos de Crotone, membre du groupe des pythagoriciens, établit ainsi une synesthésie (association de deux ou plusieurs sens à partir d’un seul stimulus) entre la géométrie et le chiffre. Le Un signifiait le tout, l’unique. Il était symbolisé par le point. Le deux, la dualité, la droite le symbolise. Le trois englobe dualité et unicité. C’est le plan. Le quatre est la tétrade (saisons, éléments). C’est un volume géométrique. La somme des 4 premiers nombres donne 10. Ils forment le Tétraktys, symbole pythagoricien par excellence. A la Renaissance, il sera repris dans la philosophie néoplatonicienne de Nicolas de Cues

Les pythagoriciens érigeaient les mathématiques en spiritualité et les nombres en symboles mystiques. Pythagore développa toute une symbolique associant nombre, élément géométrique mais aussi gamme musicale et organisation du Cosmos. Platon, via Socrate, identifie Idées et Nombres en distinguant ces derniers de leur valeur purement arithmétique : ce qui est un participe à l’Idée de « 1 » (Monade), ce qui est deux à l’Idée de « 2 » (Dyade). Pythagore sépare la valeur purement arithmétique du nombre pour le transformer en « Idée ». Celle-ci pourra être utilisée en tant que symbole auqeul on affectera différentes propriétés géométriques, philosophiques, etc.

La pensée pythagoricienne se résume par une formule : « les choses sont des nombres ». Les principes des mathématiques sont les principes de tous les êtres.

Platon (à gauche) et Pythagore (à droite) dans l’Ecole d’Athènes de Raphaël, exposé au Musée du Vatican à Rome. Wikimedia, CC BY

Dans le Timée, Platon décrit comment le Démiurge modèle le Cosmos à l’aide d’une habile structure harmonique basée sur des calculs d’influence pythagoricienne : une double progression géométrique de raison 2 (1, 2, 4, 8) et 3 (1, 3, 9, 27). La première donne les octaves par doublement successifs des intervalles (1, 2, 4, 8 = Do1, Do2, Do3, Do4…), alors que la suivante forme les douzièmes justes (1 = Do, 3 = Sol, 9 = Ré, 27 = La, 81 = Mi, 243 = Si…). On peut alors combler les intervalles musicaux doubles ou triples pour former la gamme complète dite de Pythagore. Toutes ces idées seront reprises bien plus tard par Kepler.

Quelques nombres symboliques en mathématiques

Certains nombres en mathématiques ont acquis un statut de « superstar » en termes de popularité historique pour ce qu’ils incarnent en plus de leur valeur arithmétique. Des nombres qui font le liant et le lien entre les mathématiques, les sciences naturelles, la philosophie, les lettres et les arts.

Parmi eux on trouve Pi et Phi alias le nombre d’or (encore appelé la divine proportion à la Renaissance). Ce dernier est connu comme la solution positive de l’équation x² = x + 1, mais son usage est déjà connu des pythagoriciens pour l’étude des polyèdres.

C’est en voulant décrire la croissance d’une population de lapins, que Fibonacci définit la suite, dite de Fibonacci. Cette suite a pour limite le nombre d’or. Les étamines d’un tournesol engendrent des spirales logarithmiques liées à cette suite donc au nombre d’or.

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À lire aussi : La merveilleuse présence des mathématiques dans la nature

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À la fin du XV^e siècle, Luca Pacioli rédige un livre intitulé La divine proportion, illustré par Léonard de Vinci et son célèbre Homme de Vitruve. Le nombre d’or revêt la forme symbolique et sera présent dans les Arts. Au XX^e siècle, compositeur Iannis Xenakis l’utilise pour certaines de ses compositions, mais il passionne aussi l’architecte Le Corbusier et l’écrivain Paul Valéry (Cantique des colonnes (1922)).

L’Homme de Vitruve. Léonardo Da Vinci. Pixabay, CC BY

Autre nombre laissant présager de l’existence d’une transcendance esthétique : Pi. Défini initialement comme le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien, ce nombre irrationnel, (il n’est pas possible de l’écrire comme une fraction de deux nombres entiers) et transcendant, (il ne pourrait être solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers) représente une sorte d’infini abstrait, un défi à l’entendement humain. Il fascine depuis plus de 4000 ans.

Le « e » de Google est-il « exponentielle » ?

Le nom de l’entreprise Google a pour origine le terme mathématique « googol » (gogol en français), qui désigne 10¹⁰⁰, c’est-à-dire un nombre commençant par 1 suivi de cent zéros. Ce nombre exprime les dimensions potentiellement colossales et universelles du monde d’internet, et reflète la vocation initiale d’activité de l’entreprise : organiser l’immense volume d’information disponible sur le Web et dans le monde.

Quel est le lien avec « e » la base des logarithmes naturels, c’est-à-dire le nombre défini par ln(e) = 1, cette constante mathématique, également appelée nombre d’Euler et qui vaut environ 2,71828 ? Voici la réponse…

Pour son introduction en bourse en 2004, Google a annoncé vouloir lever non pas un chiffre rond comme c’est généralement le cas, mais 2 718 281 828 dollars, soit « e » milliards de dollars. Google est aussi à l’origine d’une campagne de recrutement originale en juillet 2004 : des panneaux mentionnant ({premier nombre premier à 10 chiffres trouvé dans les décimales successives de e}.com) affichés dans certains campus américains incitaient les curieux à visiter un site (aujourd’hui disparu) « 7427466391.com ». Là, le visiteur devait résoudre un problème encore plus difficile, qui lui-même le renvoyait sur le site Google Labs où il était invité à soumettre un CV. Le premier nombre premier à 10 chiffres dans les décimales de e est 7 427 466 391, qui commence à la 99^e décimale.