Base de numération 2

 

Explication de l'arithmétique binaire Gottfried Wilhelm von Leibniz 1703

Leibniz, un des plus grands esprits du millénaire, fut le précurseur de l'informatique par au moins trois œuvres :

– il conçut et réalisa une machine à calculer capable d’effectuer les quatre opérations ;
– son projet de caractéristique universelle préfigurait la théorie des systèmes formels dont sortirait la machine de Turing, et par conséquent la science de la programmation et toute l’informatique moderne ;
– enfin il fut le premier à comprendre l’intérêt de la numération binaire pour le calcul automatique.

C’est le texte prophétique consacré à ce dernier point qui est reproduit ici. Leibniz eut en outre l’amabilité de le rédiger en français, pour le faire parvenir à Fontenelle et à l’Académie royale des Sciences.

Un article de ce site commente ces travaux de Leibniz.

Le calcul ordinaire d’Arithmétique se fait suivant la progression de dix en dix. On se sert de dix caractères, qui sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, qui signifient zéro, un et les nombres suivants jusqu’à neuf inclusivement. Et puis allant à dix, on recommence, et on écrit dix par 10, et dix fois dix ou cent par 100, et dix fois cent ou mille par 1000, et dix fois mille par 10 000, et ainsi de suite.

Mais au lieu de la progression de dix en dix, j’ai employé depuis plusieurs années la progression la plus simple de toutes, qui va de deux en deux, ayant trouvé qu’elle sert à la perfection de la science des Nombres. Ainsi je n’y emploie point d’autres caractères que 0 et 1, et puis allant à deux, je recommence. C’est pourquoi deux s’écrit ici par 10, et deux fois deux ou quatre par 100, et deux fois quatre ou huit par 1000, et deux fois huit ou seize par 10 000, et ainsi de suite. Voici la Table des Nombres de cette façon, qu’on peut continuer tant que l’on voudra.

Table des nombres

o	o	o	o	o	0	0
o	o	o	o	o	1	1
o	o	o	o	1	0	2
o	o	o	o	1	1	3
o	o	o	1	0	0	4
o	o	o	1	0	1	5
o	o	o	1	1	0	6
o	o	o	1	1	1	7
o	o	1	0	0	0	8
o	o	1	0	0	1	9
o	o	1	0	1	0	10
o	o	1	0	1	1	11
o	o	1	1	0	0	12
o	o	1	1	0	1	13
o	o	1	1	1	0	14
o	o	1	1	1	1	15
o	1	0	0	0	0	16
o	1	0	0	0	1	17
o	1	0	0	1	0	18
o	1	0	0	1	1	19
o	1	0	1	0	0	20
o	1	0	1	0	1	21
o	1	0	1	1	0	22
o	1	0	1	1	1	23
o	1	1	0	0	0	24
o	1	1	0	0	1	25
o	1	1	0	1	0	26
o	1	1	0	1	1	27
o	1	1	1	0	0	28
o	1	1	1	0	1	29
o	1	1	1	1	0	30
o	1	1	1	1	1	31
1	0	0	0	0	0	32

On voit ici d’un coup d’oeil la raison d’une propriété célèbre de la progression géométrique double en Nombres entiers, qui porte que si on n’a qu’un de ces nombres de chaque degré, on en peut composer tous les autres nombres entiers au-dessous du double du plus haut degré. Car ici, c’est comme si on disait par exemple, que 111 ou 7 est la somme de quatre, de deux et de un, et que 1101 ou 13 est la somme de huit, quatre et un. Cette propriété sert aux Essayeurs pour peser toutes sortes de masses avec peu de poids et pourrait servir dans les monnaies pour donner plusieurs valeurs avec peu de pièces.

100	4		1000	8
10	2		100	4
1	1		1	1
111	7		1101	13

Cette expression des Nombres étant établie, sert à faire très facilement toutes sortes d’opérations.

Pour l’Addition par exemple. ★

110	6		101	5		1110	14
111	7		1011	11		10001	17
1101	13		10000	16		11111	31

Pour la Soustraction.

1101	13		10000	16		11111	31
111	7		1011	11		10001	17
110	6		101	5		1110	14

Pour la multiplication. ⊙

11	3		101	5		101	5
11	3		11	3		101	5
11			101			101
11			101			1010
1001	9		1111	15		11001	25

Pour la Division.

15	1111	101	5
3	1111
	11

Et toutes ces opérations sont si aisées, qu’on n’a jamais besoin de rien essayer ni deviner, comme il faut faire dans la division ordinaire. On n’a point besoin non plus de rien apprendre par cœur ici, comme il faut faire dans le calcul ordinaire, où il faut savoir, par exemple, que 6 et 7 pris ensemble font 13, et que 5 multiplié par 3 donne 15, suivant la Table d’une fois un est un, qu’on appelle Pythagorique. Mais ici tout cela se trouve et se prouve de source, comme l’on voit dans les exemples précédents sous les signes ★ et ⊙.

Cependant je ne recommande point cette manière de compter, pour la faire introduire à la place de la pratique ordinaire par dix. Car outre qu’on est accoutumé à celle-ci, on n’y a point besoin d’y apprendre ce qu’on a déjà appris par cœur : ainsi la pratique par dix est plus abrégée, et les nombres y sont moins longs. Et si l’on était accoutumé à aller par douze ou par seize, il y aurait encore plus d’avantage. Mais le calcul par deux, c’est-à-dire par 0 et par 1, en récompense de sa longueur, est le plus fondamental pour la science, et donne de nouvelles découvertes, qui se trouvent utiles ensuite, même pour la pratique des nombres, et surtout pour la Géométrie, dont la raison est que les nombres étant réduits aux plus simples principes, comme 0 et 1, il paraît partout un ordre merveilleux. Pour exemple, dans la Table même des Nombres, on voit en chaque colonne régner des périodes qui recommencent toujours. Dans la première colonne c’est 01, dans la seconde 0011, dans la troisième 00001111, dans la quatrième 0000000011111111, et ainsi de suite. Et on a mis de petits zéros dans la Table pour remplir le vide au commencement de la colonne, et pour mieux marquer ces périodes. On a mené aussi des lignes dans la Table, qui marquent que ce que ces lignes renferment revient toujours sous elles. Et il se trouve encore que les Nombres Carrés, Cubiques et d’autres puissances, item les Nombres Triangulaires, Pyramidaux et d’autres nombres figurés, ont aussi de semblables périodes, de sorte que l’on peut écrire les Tables tout de suite, sans calculer. Et une prolixité dans le commencement, qui donne ensuite le moyen d’épargner le calcul et d’aller à l’infini par règle, est infiniment avantageuse.

Ce qu’il y a de surprenant dans ce calcul, c’est que cette Arithmétique par 0 et 1 se trouve contenir le mystère d’un ancien Roi et Philosophe nommé Fohy, qu’on croit avoir vécu il y a plus de quatre mille ans et que les Chinois regardent comme le Fondateur de leur Empire et de leurs sciences. Il y a plusieurs figures linéaires qu’on lui attribue, elles reviennent toutes à cette Arithmétique ; mais il suffit de mettre ici la Figure de huit Cova comme on l’appelle, qui passe pour fondamentale, et d’y joindre l’explication qui est manifeste, pourvu qu’on remarque premièrement qu’une ligne entière — signifie l’unité ou 1, et secondement qu’une ligne brisée – – signifie le zéro ou 0.

¦¦¦	000	0	0
¦¦|	001	1	1
¦|¦	010	10	2
¦||	011	11	3
|¦¦	100	100	4
|¦|	101	101	5
||¦	110	110	6
|||	111	111	7

Les Chinois ont perdu la signification des Cova ou Linéations de Fohy, peut-être depuis plus d’un millénaire d’années, et ils ont fait des Commentaires là-dessus, où ils ont cherché je ne sais quels sens éloignés, de sorte qu’il a fallu que la vraie explication leur vint maintenant des Européens. Voici comment : il n’y a guère plus de deux ans que j’envoyai au R.P. Bouvet, Jésuite français célèbre, qui demeure à Pékin, ma manière de compter par 0 et 1, et il n’en fallut pas davantage pour lui faire reconnaître que c’est la clef des figures de Fohy. Ainsi m’écrivant le 14 novembre 1701, il m’a envoyé la grande figure de ce Prince philosophe qui va à 64, et ne laisse plus lieu de douter que la vérité de notre interprétation, de sorte que l’on peut dire que ce père a déchiffré l’énigme de Fohy, à l’aide de ce que je lui avais communiqué. Et comme ces figures sont peut-être le plus ancien monument de science qui soit au monde, cette restitution de leur sens, après un si grand intervalle de temps, paraîtra d’autant plus curieuse.

Le consentement des figures de Fohy et ma Table des Nombres se fait mieux voir, lorsque dans la Table on supplée les zéros initiaux, qui paraissent superflus, mais qui servent à mieux marquer la période de la colonne, comme je les y ai suppléés en effet avec des petits ronds pour les distinguer des zéros nécessaires, et cet accord me donne une grande opinion de la profondeur des méditations de Fohy. Car ce qui nous paraît aisé maintenant, ne l’était pas du tout dans ces temps éloignés. L’Arithmétique Binaire ou Dyadique est en effet fort aisée aujourd’hui, pour peu qu’on y pense, parce que notre manière de compter y aide beaucoup, dont il semble qu’on retranche seulement le trop. Mais cette Arithmétique ordinaire pour dix ne paraît pas fort ancienne, au moins les Grecs et les Romains l’ont ignorée et ont été privés de ses avantages. Il semble que l’Europe en doit l’introduction à Gerbert, depuis Pape sous le nom de Sylvestre II, qui l’a eue des Maures d’Espagne.

Or comme l’on croit à la Chine que Fohy est encore auteur des caractères chinois, quoique fort altérés par la suite des temps ; son essai d’Arithmétique fait juger qu’il pourrait bien s’y trouver encore quelque chose de considérable par rapport aux nombres et aux idées, si l’on pouvait déterrer le fondement de l’écriture chinoise, d’autant plus qu’on croit à la Chine, qu’il a eu égard aux nombres en l’établissant. Le R.P. Bouvet est fort porté à pousser cette pointe, et très capable d’y réussir en bien des manières. Cependant je ne sais s’il y a jamais eu dans l’écriture chinoise un avantage approchant de celui qui doit être nécessairement dans une Caractéristique que je projette. C’est que tout raisonnement qu’on peut tirer des notions, pourrait être tiré de leurs caractères par une manière de calcul, qui serait un des plus importants moyens d’aider l’esprit humain.

Deux , la pensée, la parole,l'écrit et le nombre

«Monarque absolu» de notre logique binaire, il est aussi celui de l’accouplement avec lequel commence la société. Avec lui, vient l’autre. Méditation pour un 2 janvier.

•  
    Ce que le «2» dit de nous

La fête de l’épiphanie, qui commémore la venue du Messie venu et incarné dans le monde, a lieu le 6 janvier, c’est les Rois, tout le monde sait cela. On sait moins que, depuis 1802, année de la naissance de Victor Hugo, mais les deux événements sont indépendants, cette célébration peut se tenir le premier dimanche qui suit le 1er janvier, selon un décret du cardinal Caprara, légat du pape Pie VII. Ainsi, le «2 janvier», le jour d’après, est tout de même premier en quelque chose : c’est le premier jour possible pour la fête des Rois. C’est arrivé en 2011. Hasard de la numérologie, cela se produira de nouveau en… 2022.

En mathématiques, le nombre 2 est chargé de significations et lourd de promesses. Pour un mathématicien, 2 est d’abord le premier (si, si) des nombres premiers. Vous savez ces nombres entiers qui ne sont divisibles par aucun nombre plus petit (sauf le 1). Euclide a montré, il y a deux mille cinq cents ans, qu’ils sont une infinité. L’une des raisons de la fascination pour les nombres premiers est que tout nombre entier est représentable d’une manière unique comme produit de nombres premiers. Ainsi, 12 = 2 × 2 × 3, 2018 = 2 × 1009, et mis à part l’ordre des facteurs, ces décompositions sont intangibles. C’est la raison pour laquelle le nombre 1 a été exclu de la liste : multipliez par 1 autant de fois que vous voudrez, vous ne changerez pas le résultat. C’est la version multiplicative de la tête à Toto.

Ainsi, 2 est premier, ce qui n’est pas son moindre titre de gloire, et c’est même le seul nombre premier pair, ce qui le met souvent à l’écart, mais il paraît qu’il ne s’en offusque pas, dans beaucoup de démonstrations mathématiques.

Le nombre 2 a aussi ses victimes. Le fameux théorème de Pythagore doit son nom au philosophe de Samos qui l’a énoncé au VIe siècle avant notre ère, mais il était connu des Mésopotamiens plus de mille ans auparavant. Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Considérons le carré de côté 1. Cet énoncé stipule donc que le carré de la diagonale est égal à 2. Selon une légende vraisemblable, Hippase de Métaponte, un pythagoricien, aurait découvert que cette diagonale ne peut être mesurée avec la même règle que le côté, aussi rapprochées que soient les graduations. Cela ne vous choque peut-être pas outre mesure (c’est l’expression qui convient) mais cette découverte mettait à mal l’entière conception du monde en vigueur dans cette école de pensée : «Toute chose est nombre.» Si le monde était censé être entièrement explicable par les nombres, comment pouvait-on concevoir que cette simple diagonale soit réfractaire à toute mesure raisonnable, c’est-à-dire rationnelle comme l’on dit aujourd’hui ? Porteur de cette terrible nouvelle, le pauvre Hippase aurait été jeté par-dessus bord ou sauvagement poignardé par ses condisciples. Ainsi, le nombre 2, pour innocent qu’il paraisse, aurait engendré le premier martyr de la science.

La résonance du 2, dans le monde des mathématiques, est infinie. L’un des concepts essentiels dans le développement de cette science, et particulièrement à notre époque, est celui de «dualité». Il s’agit là du deux du miroir, de celui de la symétrie, mais décliné et approfondi par des siècles de réflexion. L’évolution des mathématiques nous a progressivement amenés de l’étude des objets et des notions conçues pour modéliser le réel, vers l’étude des relations entre ces objets. Compter, c’est d’abord énumérer, donc additionner, mais la tentation est grande de pouvoir revenir sur ses pas : on définit alors l’opération duale qui est la soustraction. Sous une forme très générale, on peut dire que la dualité est, en substance, une opération de traduction de concepts, relations ou structures vers d’autres concepts, relations ou structures, effectuée d’une manière «biunivoque» : à chaque élément d’un monde correspond un et un seul élément de l’autre monde. Le plus souvent cette liaison est d’ailleurs subtilement réversible : si, à partir d’un objet A, on a obtenu un objet (dual) B, et que l’on réitère l’opération sur B, on retrouve A. Prendre le dual du dual, vous ramène au point de départ. Ouf.

Le miracle de la dualité est que cette exploitation de la symétrie enrichit considérablement le champ d’étude initial et permet des avancées spectaculaires. Si un système physique, comme une machine ou même un être vivant, évolue uniquement en fonction de son passé immédiat (disons son état dans la seconde précédente), l’étude mathématique pourra se fonder sur un modèle abstrait où un système évolue en fonction de son futur immédiat, autrement dit, l’état dans lequel il sera dans la seconde suivante. Ce modèle imaginaire, dual théorique sans assise physique du système réel, permettra cependant de décrire et de prévoir l’évolution effective du système considéré.

Le nombre 2 est aussi le «monarque absolu» de notre logique, dite du «tiers exclu» : une assertion est «juste» ou «fausse», une réponse est «oui» ou «non», le «courant passe» ou «ne passe pas». D’où son utilisation systématique en informatique, fondée sur une logique dite «binaire» : à partir de circuits électroniques susceptibles de prendre deux états, on peut mettre le monde en équations, transmettre et recueillir des informations, induire des évolutions, et,finalement, jouer à Dieu. Les ordinateurs quantiques du futur opéreront selon une logique comportant un nombre arbitraire, voire infini, d’états. Ce sera alors la première défaite du nombre 2. Mais nous n’en sommes pas là, et la logique binaire, pourtant si sommaire et restrictive, a encore de beaux jours devant elle. Ce n’est qu’avec une certaine réticence que les applications des mathématiques, et plus généralement les raisonnements humains, entrent dans l’univers inquiétant du peut-être.

L’histoire, qui ne s’arrête pas là, a peut-être débuté avec le nombre 2 qui est évidemment notre premier modèle du couple, qu’il soit homogène ou hétérogène, fondé sur la ressemblance ou sur le contraste. Et le couple est d’abord le lieu de la conversation et de la négociation puisqu’il ne peut contenir de majorité. Si deux ne sont pas d’accord, il faut parler. Ainsi, le nombre 2, à partir duquel commence la société, nous suggère, pour vivre ensemble, une voie fondée sur l’accord plus que sur la contrainte. Il contient en germe la notion de partage : 2 est par nature généreux.

De là à imaginer, en ce 2 janvier, que ce jour d’après soit aussi un jour d’attention et de sollicitude envers tous ceux qui frappent à notre porte parce qu’ils fuient la persécution ou la misère, il n’y a qu’un pas. Si le premier est le jour des vœux, pourquoi ne pas faire du deuxième jour de l’année le jour d’eux ? Car eux sont nous, c’est l’évidence.

Gérald Tenenbaum mathématicien, spécialiste de la théorie des nombres, et professeur à l’Institut

En français

0 – zéro, 1 – un, 2 – deux, 3 – trois, 4 – quatre, 5 – cinq, 6 – six, 7 – sept, 8 – huit, 9 – neuf, 10 – dix

En anglais

0 – zero, 1- one, 2 – two, 3 – three, 4 – four, 5 – five, 6 – six, 7 – seven, 8 – eight, 9 – nine, 10 – ten

En allemand

0 – null, 1 – eins, 2 – zwei, 3 – drei, 4 – vier, 5 – fünf, 6 – sechs, 7 – sieben, 8 – acht, 9 – neun, 10 – zehn

En espagnol

0 – cero, 1 – uno, 2 – dos, 3 – tres, 4 – cuatro, 5 – cinco, 6 – seis, 7 – siete, 8 – ocho, 9 – nueve, 10 – diez

En catalan

0 – zero, 1 – un, 2 – dos, 3 – tres, 4 – quatre, 5 – cinc, 6 – sis, 7 – set, 8 – vuit, 9 – nou, 10 – deu

En portugais

0 – zero, 1- um, 2 – dois, 3 – três, 4 – quatro, 5 – cinco, 6 – seis, 7 – sete, 8 – oito, 9 – nove, 10 – dez

En italien

0 – zero, 1- uno, 2 – due, 3 – tre, 4 – quatro, 5 – cinque, 6 – sei, 7 – sette, 8 – otto, 9 – nove, 10 – dieci

En suédois

0 – noll, 1 – ett, 2 – två, 3 – tre, 4 – fyra, 5 – fem, 6 – sex, 7 – sju, 8 – åtta, 9 – nio, 10 – tio

En néerlandais

0 – zero, 1 – één, 2 – twee, 3 – drie, 4 – vier, 5 – vijf, 6 – zes, 7 – zeven, 8 – acht, 9 – negen, 10 – tien

En danois

0 – nul, 1 – en, 2 – to, 3 – tre, 4 – fire, 5 – fem, 6 – seks, 7 – syv, 8 – otte, 9 – ni, 10 – ti

En islandais

0 – núll, 1 – einn (m) / ein (w) / eitt (s), 2 – tveir (m) / tvær (w) / tvö (s), 3 – þrír (m) / þrjár (w) / þrjú (s), 4 – fjórir (m) / fjórar (w) / fjögur (s), 5 – fimm, 6 – sex, 7 – sjö, 8 – átta, 9 – níu, 10 – tíu

En polonais

0 – zero, 1 – jeden, 2 – dwa, 3 – trzy, 4 – cztery, 5 – pięć, 6 – sześć, 7 – siedem, 8 – osiem, 9 – dziewięć, 10 – dziesięć

En russe

0 - нулЬ [nol], 1 - один/раз [adin/ras], 2 - два [dva], 3 - три [tri], 4 - четыре [tchetyre], 5 - пять [piatt], 6 - шесть [chest], 7 - семь [siem], 8 - восемь [vosiem], 9 - девять [dieviats], 10 - десять [dieciats]

Conscience et physique quantique

La physique quantique pourrait-elle nous permettre d’en apprendre davantage sur la conscience ?


Le problème aujourd’hui réside dans l’interprétation de la physique quantique. Des controverses existent pour savoir en quoi la physique quantique est liée à la question de la conscience ; et tout le monde n’est pas d’accord pour dire que la conscience a quelque chose à voir avec la physique quantique. En revanche, des sources très sérieuses existent pour dire que cela est fortement possible, et notamment parmi les fondateurs de la physique quantique comme le mathématicien John Von Neumann, suivi notamment par Eugène Wigner. Pour eux, il existe un agent psychique : le fait de se concentrer, de penser à quelque chose, dégage une sorte d’énergie capable d’interagir avec la matière à l’échelle quantique. Leur interprétation consiste également à affirmer qu’un phénomène quantique doit être observé par une conscience, afin qu’il prenne réellement forme. 


Ces interconnexions font que les états quantiques s’annulent, et qu’il n’y a qu’une forme qui se manifeste. La particularité de l’état quantique réside dans sa manifestation sous plusieurs formes, potentiellement. Cela part de la nature même de la matière, de la particule élémentaire, qui peut être une onde ou un corpuscule selon les conditions d’observation. Il existe une interprétation consistant à dire que c’est la conscience qui force la matière à se manifester de telle ou telle façon, et notamment d’adopter un comportement ondulatoire ou particulaire.

 Une autre interprétation, se rapprochant davantage de la décohérence, consiste, elle, à dire que ce sont les interactions naturelles entre les objets quantiques qui figent les états quantiques et qui forcent la matière à adopter une forme plutôt qu’une autre. 

Neuf fois neuf = quatre- vingt-un=9*9=81=999999999=81*12345679=37*333667*81= ....   en base de numération 10 !!
37*333667

= 111011100110101100100111111111 en base 2

source

base de numération 2

Un bit

0 zéro
1 un

Deux bits


00 ???????
01 ???????
10 deux
11 trois

Trois bits



000 ?????
001 ??????
010 ?????
100 quatre
101 cinq
110 six
111 sept
011 ????

Quatre bits


0000 ?????
0001 ??????
0010 ??????
0100 ??????
1000 huit
1001 neuf
1010 dix
etc...

En base 2 tous les nombres commencent par 1 ...
Redondance de l'écriture.
En supprimant le 1 de gauche :

Un bit :

0 deux 10
1 trois 11

Trois bits :

000 huit 1000
001 neuf 1001
010 dix 1010

Deux bits :

00 quatre 100
01 cinq 101
10 six 110
11 sept 111

Trois bits :

011 onze 1011
100 douze 1100
101 treize 1101
110 quatorze 1110
111 quinze 1111

quatre bits :

0000 Seize 10000
0001 Dix-sept 10001
0010 Dix huit 10010
0100 Vingt 10100

chiffre et nombre

Dès lors que nous représentons l'existence temporelle et matérielle par des chiffres et des nombres,
nous assimilons le un, 1, à l'existence
nous assimilons le zéro,0,  à l'inexistence
Toute la question est de savoir si le zéro "précède" le un ou le un précède le zéro.
Big-bang<> Big-crunch
Genèse<>Apocalypse

10
01

Mais alors quid des configurations :

00
11

???? et rien !!

Nous avons donné un nom à 10 : deux.

0
1
10 deux
11 nommé trois en base de numération deux et onze en base 10 ....

Il est clair qu'en base de numération 2, nous appelons

0 zéro
1 un
10 deux
11 trois
100 quatre
101 cinq
110 six
111 sept
1000 huit
1001 neuf

En base de numération 10 :


0 zéro
1 un
10 dix
11 onze
100 cent
101 cent un
110 cent dix
111 cent onze
1000 mille
1001 mille un

Un vocable différent s"applique pour les mêmes configurations de bits 1 et 0.

Représentation de notre perçu temporel et spatial

On est en droit de se demander comment représenter notre perçu.


MATÉRIEL ou temporel ....

Les chiffres et nombres .....
Des notes de musique et la clef associée
Des peintures sculptures ... et les couleurs
Des lettres et mots
Des voix et intonations
Une sensation de chaleur;froid
Une odeur ou rien


Bref le TOUT et ses parties ....

1 existence : chiffre
0 inexistence : chiffre

10 : passage de l'existence à l'inexistence : nombre

01 : passage de l'inexistence à l'existence,une lecture palindrome du nombre, un nombre


 nous n'avons pas de représentation mathématique pour 01 ,
sauf
0,1 : la virgule décimale ......