Cardinal d'un ensemble

  Par exemple, soit f(n) le nombre de sous-ensembles distincts de nombres entiers dans l'intervalle [1, n] qui ne contiennent pas deux nombres entiers consécutifs. 

Par exemple, avec n = 4, nous obtenons ∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 }, { 1, 3 }, { 1, 4 }, { 2, 4 }, et donc f(4) = 8.

 Il s'avère que f(n) est le nème nombre de Fibonacci, qui peut être exprimé sous la forme « fermée » suivante :

${\displaystyle �(�)=\frac{{�}^{�}}{\sqrt{5}}-\frac{(1-�{)}^{�}}{\sqrt{5}}}$

où Φ = (1 + √5)/2, est le nombre d'or. Cependant, étant donné que nous considérons des ensembles de nombres entiers, la présence du √5 dans le résultat peut être considérée comme inesthétique d'un point de vue combinatoire. Aussi f(n) peut-il être exprimé par une relation de récurrence :

f(n) = f(n - 1) + f (n - 2)

ce qui peut être plus satisfaisant (d'un point de vue purement combinatoire), puisque la relation montre plus clairement comment le résultat a été trouvé.

Dans certains cas, un équivalent asymptotique g de f,

f(n)~g(n) quand n tend vers l'infini

où g est une fonction « familière », permet d'obtenir une bonne approximation de f. Une fonction asymptotique simple peut être préférable à une formule « fermée » extrêmement compliquée et qui informe peu sur le comportement du nombre d'objets. Dans l'exemple ci-dessus, un équivalent asymptotique serait :

${\displaystyle �(�)\sim \frac{{�}^{�}}{\sqrt{5}}}$

quand n devient grand.

Une autre approche est celle des séries entières. f(n) peut être exprimé par une série entière formelle, appelée fonction génératrice de f, qui peut être le plus couramment :

• la fonction génératrice ordinaire

• ou la fonction génératrice exponentielle

Une fois déterminée, la fonction génératrice peut permettre d'obtenir toutes les informations fournies par les approches précédentes. En outre, les diverses opérations usuelles comme l'addition, la multiplication, la dérivation, etc., ont une signification combinatoire ; et ceci permet de prolonger des résultats d'un problème combinatoire afin de résoudre d'autres problèmes.

Combinatoire — Wikipédia (wikipedia.org)

• Un produit cartésien A × B est vide si et seulement si A ou B est vide. En particulier : pour tout ensemble ${\displaystyle �}$,${\displaystyle \varnothing \times �=�\times \varnothing =\varnothing }$.
• Les deux facteurs d'un produit sont entièrement déterminés par ce produit, s'il est non vide. Plus précisément : si ${\displaystyle �\ne \varnothing }$ alors ${\displaystyle �\in �\iff \mathrm{\exists }�(�,�)\in �\times �}$ et de même, si ${\displaystyle �\ne \varnothing }$ alors ${\displaystyle �\in �\iff \mathrm{\exists }�(�,�)\in �\times �}$.
• Si A et B sont finis, alors le cardinal de A × B est égal au produit des cardinaux de A et de B

Produit cartésien — Wikipédia (wikipedia.org)

Triangle d'or

 

Triangle d'or. Rapport a/b = nombre d'or φ. Angle au sommet : ${\displaystyle �}$ = 36°. Angles de base : 72° chacun.

Un triangle d'or (aigu) ou triangle sublime1 est un triangle isocèle dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est le nombre d'or ${\displaystyle �}$ :

${\displaystyle \frac{�}{�}=�=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618034}$

Triangle de KEPLER 555111

http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle_d'or

triangle d'or

http://en.wikipedia.org/wiki/Special_right_triangles

Il est évident que le 1 n'a aucun sens physique, on peut lui donner n'importe quelle longueur ..... surface

La lecture de Pythagore doit se faire en durée ....

Sur un triangle rectangle isocèle, on obtient le 1 sur l’hypoténuse par 1/(2^1/2) ....

D'ou le 5^1/2 dans le calcul de la vitesse de la lumière .....

De Matière et temps. Réalité Générale de l'Univers. R.G.U.

On doit se demander pourquoi Pythagore a valué les segments de droite et pas les "points", jonctions des segments ....

La distance en coordonnées cartésiennes ...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_(math%C3%A9matiques) 



généralisation :

3333333....^n+4444444.....^n=5555555^n

ex :

 n=2
33^2=1089
44^2=1936
55^2=3025=1089+1936

n=4
3333^2=11108889
4444^2=19749136
5555^2=30858025=11108889+19749136=5^2×11^2×101^2

555111 (Wolfram)
premiers chiffres de 1/(2^54)

FIBONACCI

Prenons l’exemple du tournesol : 
la répartition des fleurs (fleurons) en leur centre dessine deux types de spirales inversées, l’une tournant dans le sens des aiguilles d’une montre, l’autre en sens opposé. 

En comptabilisant les spirales de chacune des deux sortes, on trouve presque toujours deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci, comme 34 et 55 ou 55 et 89 ! 
Dans cette célèbre suite de nombres identifiée au 13e siècle par le mathématicien italien qui lui a donné son nom, chaque terme est la somme des deux qui le précèdent : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc. 
Ce n’est pas tout ! 
L’angle formé entre chaque fleuron est, lui aussi, quasiment toujours identique. 
Soit 137,5°, appelé aussi l’"angle d’or".
 Lorsqu’on le multiplie par le "nombre d’or" (1,618), on obtient en effet 222,5°… soit l’angle exactement complémentaire pour effectuer un tour complet (360°) !

https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci

https://fr.wikipedia.org/wiki/Configuration_%C3%A9lectronique

Cosmos

 

Symbologie et Théorie des « formes symboliques »

L’histoire de la philosophie regorge d’usage de symbole. Héraclite fait du mythe un symbole de vérité. La philosophie de Platon est éminemment symbolique. Par exemple dans sa conception de l’amour en forme d’âme sœur, et dans sa célèbre allégorie de la caverne.

Ainsi les nombres peuvent être vus comme porteurs de sens et de valeurs hors fonction « arithmétique ». En philosophie, le symbole désigne un signe concret évoquant, de par sa nature, quelque chose d’imperceptible. Le nombre, abstrait par essence, ne peut être vu comme un symbole. Pourtant, de nombreuses études mentionnent les associations mentales issues de cette abstraction.

En voulant expliquer le lien Symbole-Nombre, Ernst Cassirer, philosophe allemand, voit le nombre comme une « forme symbolique », un invariant de la culture humaine. Selon lui, les formes « primitives » de la pensée en « symbole » pour se représenter le monde seraient le point de départ d’une genèse des formes culturelles plus sophistiquées.

En somme, le symbole produit par l’esprit permet à l’être humain de toujours mieux appréhender le monde qui l’entoure. Il produit des connaissances par la structure au moyen de concepts et idées toujours plus exactes. Démarrons cette histoire avec Pythagore.

Pythagore, la mystique et la musique des nombres

Le Tétraktys, symbole de la symbolique pythagoricienne. Wikimedia, CC BY

Philolaos de Crotone, membre du groupe des pythagoriciens, établit ainsi une synesthésie (association de deux ou plusieurs sens à partir d’un seul stimulus) entre la géométrie et le chiffre. Le Un signifiait le tout, l’unique. Il était symbolisé par le point. Le deux, la dualité, la droite le symbolise. Le trois englobe dualité et unicité. C’est le plan. Le quatre est la tétrade (saisons, éléments). C’est un volume géométrique. La somme des 4 premiers nombres donne 10. Ils forment le Tétraktys, symbole pythagoricien par excellence. A la Renaissance, il sera repris dans la philosophie néoplatonicienne de Nicolas de Cues

Les pythagoriciens érigeaient les mathématiques en spiritualité et les nombres en symboles mystiques. Pythagore développa toute une symbolique associant nombre, élément géométrique mais aussi gamme musicale et organisation du Cosmos. Platon, via Socrate, identifie Idées et Nombres en distinguant ces derniers de leur valeur purement arithmétique : ce qui est un participe à l’Idée de « 1 » (Monade), ce qui est deux à l’Idée de « 2 » (Dyade). Pythagore sépare la valeur purement arithmétique du nombre pour le transformer en « Idée ». Celle-ci pourra être utilisée en tant que symbole auqeul on affectera différentes propriétés géométriques, philosophiques, etc.

La pensée pythagoricienne se résume par une formule : « les choses sont des nombres ». Les principes des mathématiques sont les principes de tous les êtres.

Platon (à gauche) et Pythagore (à droite) dans l’Ecole d’Athènes de Raphaël, exposé au Musée du Vatican à Rome. Wikimedia, CC BY

Dans le Timée, Platon décrit comment le Démiurge modèle le Cosmos à l’aide d’une habile structure harmonique basée sur des calculs d’influence pythagoricienne : une double progression géométrique de raison 2 (1, 2, 4, 8) et 3 (1, 3, 9, 27). La première donne les octaves par doublement successifs des intervalles (1, 2, 4, 8 = Do1, Do2, Do3, Do4…), alors que la suivante forme les douzièmes justes (1 = Do, 3 = Sol, 9 = Ré, 27 = La, 81 = Mi, 243 = Si…). On peut alors combler les intervalles musicaux doubles ou triples pour former la gamme complète dite de Pythagore. Toutes ces idées seront reprises bien plus tard par Kepler.

Quelques nombres symboliques en mathématiques

Certains nombres en mathématiques ont acquis un statut de « superstar » en termes de popularité historique pour ce qu’ils incarnent en plus de leur valeur arithmétique. Des nombres qui font le liant et le lien entre les mathématiques, les sciences naturelles, la philosophie, les lettres et les arts.

Parmi eux on trouve Pi et Phi alias le nombre d’or (encore appelé la divine proportion à la Renaissance). Ce dernier est connu comme la solution positive de l’équation x² = x + 1, mais son usage est déjà connu des pythagoriciens pour l’étude des polyèdres.

C’est en voulant décrire la croissance d’une population de lapins, que Fibonacci définit la suite, dite de Fibonacci. Cette suite a pour limite le nombre d’or. Les étamines d’un tournesol engendrent des spirales logarithmiques liées à cette suite donc au nombre d’or.

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À lire aussi : La merveilleuse présence des mathématiques dans la nature

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À la fin du XV^e siècle, Luca Pacioli rédige un livre intitulé La divine proportion, illustré par Léonard de Vinci et son célèbre Homme de Vitruve. Le nombre d’or revêt la forme symbolique et sera présent dans les Arts. Au XX^e siècle, compositeur Iannis Xenakis l’utilise pour certaines de ses compositions, mais il passionne aussi l’architecte Le Corbusier et l’écrivain Paul Valéry (Cantique des colonnes (1922)).

L’Homme de Vitruve. Léonardo Da Vinci. Pixabay, CC BY

Autre nombre laissant présager de l’existence d’une transcendance esthétique : Pi. Défini initialement comme le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien, ce nombre irrationnel, (il n’est pas possible de l’écrire comme une fraction de deux nombres entiers) et transcendant, (il ne pourrait être solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers) représente une sorte d’infini abstrait, un défi à l’entendement humain. Il fascine depuis plus de 4000 ans.

Le « e » de Google est-il « exponentielle » ?

Le nom de l’entreprise Google a pour origine le terme mathématique « googol » (gogol en français), qui désigne 10¹⁰⁰, c’est-à-dire un nombre commençant par 1 suivi de cent zéros. Ce nombre exprime les dimensions potentiellement colossales et universelles du monde d’internet, et reflète la vocation initiale d’activité de l’entreprise : organiser l’immense volume d’information disponible sur le Web et dans le monde.

Quel est le lien avec « e » la base des logarithmes naturels, c’est-à-dire le nombre défini par ln(e) = 1, cette constante mathématique, également appelée nombre d’Euler et qui vaut environ 2,71828 ? Voici la réponse…

Pour son introduction en bourse en 2004, Google a annoncé vouloir lever non pas un chiffre rond comme c’est généralement le cas, mais 2 718 281 828 dollars, soit « e » milliards de dollars. Google est aussi à l’origine d’une campagne de recrutement originale en juillet 2004 : des panneaux mentionnant ({premier nombre premier à 10 chiffres trouvé dans les décimales successives de e}.com) affichés dans certains campus américains incitaient les curieux à visiter un site (aujourd’hui disparu) « 7427466391.com ». Là, le visiteur devait résoudre un problème encore plus difficile, qui lui-même le renvoyait sur le site Google Labs où il était invité à soumettre un CV. Le premier nombre premier à 10 chiffres dans les décimales de e est 7 427 466 391, qui commence à la 99^e décimale.

Racine continue

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/RacinCon.htm

Les temps

• Il y a un temps "porté par" 2^n

1
10 deux
100 quatre
1000 huit
10000 seize 16
...... stabilité, éternité


Temps # durée = surface =x*y (KEPLER )

On va retrouver dans 1/(2^(1/2))  :Pythagore  pour avoir 1 sur l’hypoténuse.

0.707106781186547524400

• Il y a un temps "porté par" 3*(2^n)

11 trois
110 six
1100 douze 12
11000 vingt quatre en lecture base 10 , écriture base 2 24
....

• Il y a un temps "porté par" 5

101 cinq
1010 dix 10
10100 vingt 20
101000 quarante 40
1010000 quatre vingt 80
.......

que l'on retrouve dans le nombre d'or sous 5^(1/2) ,durée.

Sept 111 joue un rôle particulier par son passage à 8=7+1=1000


(création en sept jours : Genèse BIBLE)




.......


On doit s'interroger sur l'équilibre 314 .... de PI ,  314 ou/et  413 ; 314+413 = 727

Nombre plastique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_plastique

Base d'or

http://fr.wikipedia.org/wiki/Base_d'or
"
si x = 0,9999… alors 10x = 9,99999… donc 9x = 9 et x = 1.
 En base , le nombre 0,1010101… peut être vu comme égal à 1 de plusieurs manières 
.../:...


"

Nombre d'Or

http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm#historique

Surface et temps ....KEPLER



http://sites.google.com/site/tpenombredor/ii-le-nombre-d-or-dans-le-regne-vegetal-et-animal

Définition alternative du nombre d'or — Le nombre d'or est l'unique solution positive de l'équation du second degré suivante :

Cette équation est équivalente à celle indiquant que l'inverse de l'inconnue x est égal à x - 1, ce qui implique que le développement décimal de 1/x est le même que celui de x, auquel on a retranché sa partie entière.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_cyclique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_alg%C3%A9brique_des_nombres

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_quadratique

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal_p%C3%A9riodique

Un nombre décimal est un nombre qui admet un développement décimal limité, c'est-à-dire ne comportant qu'un nombre fini de décimales autres que zéro.

La méthode de calcul des fractions à partir des décimales répétées, par exemple, dans le cas de 0,9999…=0,9 conduit à un paradoxe apparent :

L'égalité 1 = 0,999… est parfois contestée de façon naïve. Un bon argument est que si deux nombres réels sont distincts, alors il existe une infinité d'autres nombres réels entre les deux (strictement). Or, il n'existe aucun autre réel entre 0,99999 (une infinité de 9) et 1. C'est donc un seul et même réel, écrit de deux manières différentes.

Certains^[Qui ?] argumentent que, dans la seconde étape ci-dessus, 10x vaut 9,9999…0 et non 9,9999. Mais ce n'est pas le cas ; le second membre ne se termine pas (il est récurrent) et donc il n'y a pas de fin pour laquelle un zéro peut être trouvé.

L'écriture de 1 sous forme 0,9999… pose le problème de l'unicité de l'écriture décimale d'un nombre. L'écriture sous forme 0,999…. est alors considérée comme un développement décimal impropre. Mais cela ne signifie pas que l'on ne soit jamais amené à l'écrire. En effet, le travail sur l'écriture décimale de 1/3, par exemple, conduit aux égalités :

Ou encore, lorsqu'il s'agit de déterminer le développement décimal de 1 - x, connaissant celui de x, la forme 0,999… est plus adaptée:

x = 0,52121…= 0,521

1- x = 0,99999…- 0,52121…= 0,47878…=0,478

Pour d'autres preuves de cette égalité, voir l'article Développement décimal de l'unité. Le raisonnement mené sur cet exemple peut l'être sur tout autre nombre décimal et donc en particulier tout nombre entier. La conclusion étant :

Développement décimal périodique d'un nombre décimal — Tout nombre décimal différent de 0 admet deux développements décimaux périodiques : l'un dont la période est 9, l'autre dont elle est 0.

• Exemples : 2,5=2,49999 et -0,6001=-0,60009999. Dans les deux exemples qui précèdent, le premier développement décimal est dit développement décimal propre et le deuxième développement décimal est dit développement décimal impropre.
• Remarque : un nombre réel qui possède deux développements décimaux distincts est nécessairement un nombre décimal différent de 0.

Suite de Fibonacci

http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci



Méritait d'être citée dans ce blog ....

Phyllotaxie :

http://www.math.smith.edu/phyllo//



A compléter


EN ECRITURE