Somme des n premiers nombres impairs et pairs

 

La somme des n premiers nombres pairs est égale au produit de n par (n + 1)

$2+4+...+2n$ = $n\times (n+1)$

La somme des n premiers nombres impairs est égale au carré de n.

$1+3+......+(2n-1)$ = $n^2$

La démonstration par récurrence

  Le moyen le plus efficace de raisonnement pour obtenir des résultats sur ces sujets est le raisonnement par récurrence.

Henri Poincaré dans son célèbre ouvrage de 1902, La Science et l’Hypothèse, le présente ainsi : « On établit d’abord un théorème pour n = 1 ; on montre ensuite que s’il est vrai de n – 1, il est vrai de n et on en conclut qu’il est vrai pour tous les nombres entiers à partir de 1. »

Poincaré précise que c’est « le raisonnement mathématique par excellence ». Il indique encore et c’est plus mystérieux : « La démonstration par récurrence s’impose parce qu’elle n’est que l’affirmation d’une propriété de l’esprit lui-même. »

Donnons un exemple de son utilisation en montrant que la formule 1 + 3 + 5 + 7 = 42 est un cas particulier de l’affirmation que la somme des nombres impairs jusqu’à 2n – 1, vaut n2.

Soit P(n) : 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2.

C’est vrai pour n = 1 car 1 = 12. Supposons la propriété vraie pour n – 1, alors :

P(n – 1) : 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 3) = (n – 1)2.

Ajoutons le nombre impair 2n – 1 de chaque côté de l’égalité

1 + 3 + 5 + ... + (2n – 3) + (2n – 1) = (n – 1)2 + (2n – 1)

En développant (n – 1)2 + 2n – 1 et en simplifiant, on obtient n2 – 2n + 1 + 2n – 1 = n2, donc : 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2. C’est ce que nous attendions. On en conclut que pour tout entier n à partir de 1, on a bien P(n).

source Pour la science septembre 2022

Théorème de Midy

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En mathématiques, le théorème de Midy, dû au mathématicien français Étienne Midy^[1],[2], est un énoncé concernant le développement décimal périodique d'une fraction a/p (comprise, sans perte de généralité, entre 0 et 1), où p est un nombre premier (différent de 2 et 5) tel que la période soit paire. Une telle fraction s'écrit

${\displaystyle {\frac {a}{p}}=0{,}{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{k}a_{k+1}\dots a_{2k}}}}$

et le théorème établit que les chiffres dans la deuxième moitié de la période sont les compléments à 9 (en) de ceux qui leur correspondent dans la première moitié. En d'autres termes :
${\displaystyle a_{i}+a_{i+k}=9}$ ou encore :
${\displaystyle a_{1}\dots a_{k}+a_{k+1}\dots a_{2k}=10^{k}-1.}$ Par exemple,

${\displaystyle {\frac {3}{7}}=0{,}{\overline {428571}}{\text{ et }}428+571=999.}$

Aires lunules et triangle rectangle - Arbelos

L'aire en vert ( triangle rectangle ABC ) est égale a la somme des aires  en bleu ( lunules)

Trois manières d'exprimer des durées , surfaces ( KEPLER).

D1 = D2 + D3

Il existe une longueur minimum pour AC ......

Cf triplets pythagoriciens ...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_deux_lunules

La conjecture de Syracuse est une autre manière d'exprimer des durées, avec deux familles ....

Il ne faut pas parler de pairs et d'impairs pour les nombres entiers , mais faire une autre partition de N .

http://fr.wikipedia.org/wiki/Arbelos

Arbelos ; Pore du savetier

N° 2 : La conjecture de Syracuse

Prenez un entier supérieur à 1. S'il est pair, divisez le par 2, et s'il est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1. Réitérez ensuite les deux précédentes étapes. Quel que soit l'entier n choisi au départ, la suite finira par retomber à 1... Et personne ne sait pourquoi ! C'est la célèbre conjecture de Syracuse, d'apparence très simple, mais finalement insaisissable.

Quel rapport avec la ville sicilienne ? Eh bien, absolument aucun ! En fait, le problème a connu son heure de gloire dans les années 50, quand Helmut Hasse a fait une conférence sur le sujet à l'université de Syracuse... à New York !

source :

http://eljjdx.canalblog.com/tag/Conjectures

calcul syracuse :

http://calculis.net/syracuse

Pour 5 :

5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1

La durée du vol pour 5 est de 5 et son altitude est de 16.

921 gauche

La gauche d'un nombre est parfaitement définie.

1245789

1 est le chiffre de gauche du nombre
9 est le chiffre de droite du nombre

Gauche et droite sont confondues pour un nombre à une position, un état , un chiffre.
24578 sont les chiffres du milieu

Il n'y a pas de chiffres du milieu pour un nombre à deux chiffres

Le nombre de chiffres du milieu peut être pair ou impair
le chiffre de gauche est différent de 0 pour le nombre en tant que tout, mais peut être à 0 pour les chiffres
(et le nombre) du milieu
20124587
Ici milieu à 012458 , qui traduit des états quantiques

ou
1005

Milieu à 00 qui a un sens pour 1 et 5
différent de
10005
milieu à 000

259 nombre pair

Un nombre pair se termine par 0 dans son écriture en base 2

L'existence de deux états (0) et (1) traduit ou cache l'existence de deux familles de nombres,

Homme et femme .....
gauche droite
haut bas
devant derrière
oui non
optimiste pessimiste
dedans dehors


Les contraires ....

La vie va être l'interférence de deux familles de matières.
2**n ,1/(2**n)

3*2**n, 3/(2**n)



Pairs multiples de deux 2
1 trivial toutes bases de numération
10 départ à 2 (base 10)
100
1000
10000
1000000
.......
 écriture en base 2

Il y aura une limite dans le nombre de Zéros à droite, limite à n , ce qui nous conduira aux atomes en nombre fini de Mendeleïev.
Pairs multiples de six (3*2)

11 départ à 3 (base 10)
110
1100
11000
.....
écriture en base 2






pairs
impairs se terminant par 1 dans l'écriture en base 2