Nombre de Kaprekar

n-nombre de Kaprekar[modifier | modifier le code]

Soient ${\displaystyle a\geq 2}$ et ${\displaystyle n\geq 1}$ deux entiers. On dit qu'un entier ${\displaystyle k}$ est un ${\displaystyle n}$-nombre de Kaprekar en base ${\displaystyle a}$ s'il existe deux entiers naturels ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ tels que :
${\displaystyle k^{2}=ua^{n}+v,\quad 0<v<a^{n}\quad {\text{et}}\quad k=u+v.}$ Les 30 premiers^[1] nombres de Kaprekar en base dix sont :

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2 223, 2 728, 4 879, 4 950, 5 050, 5 292, 7 272, 7 777, 9 999, 17 344, 22 222, 38 962, 77 778, 82 656, 95 121, 99 999, 142 857, 148 149, 181 819, 187 110, 208 495 et 318 682.

Dans l'inventaire que fait Kaprekar en 1980^[2], il oublie étonnamment tous les nombres de la forme ${\displaystyle 10^{n}-1}$ ainsi que les nombres 181 819 et 818 181. L'oubli est rectifié en 1981 par Mannis Charosh^[3], qui met au point une méthode de génération de grands nombres de Kaprekar.
En 2000, Douglas Iannucci^[4] démontre que les n-nombres de Kaprekar en base dix sont en bijection avec les diviseurs unitaires de ${\displaystyle 10^{n}-1}$ et montre comment les obtenir à partir de la décomposition en facteurs premiers de ${\displaystyle 10^{n}-1}$. Il démontre en outre que si k est un n-nombre de Kaprekar, il en est de même de ${\displaystyle 10^{n}-k}$.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Kaprekar

Nombre DEMLO

Nombre DEMLO

OEIS

Somme des chiffres
Pour les neuf premiers la somme des chiffres est un carré. En effet, pour n = 5, on a: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 2 x (1 + 2 + + 4 ) + 5 = 2 x (1 + 2 + … + n-1) + n = 2 x  (n – 1) n / 2 + n =        (n – 1) n + n =         n² Voir Somme des nombres consécutifs La suite des sommes: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 82, 85, 90, 97, 106, 117, 130, 145, 162, 163, 166, 171, 178, 187, 198, 211, 226, …

Définition des nombres de Demlo selon Kaprekar
Un nombre de Demlo est composé de trois parties: Ga, Mi et Dr concaténées. D = concat(Ga, Mi, Dr)	Mi est un repdigit en a. Ga et Dr ont le même nombre de chiffres p. (un 0 peut être ajouté à gauche de Ga si nécessaire). Ga + Dr = repdigit en a (comme pour Mi).

Passé , Présent, Avenir  

Kaprekar

http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_de_Kaprekar