Théorème de MIDY

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Midy

Si k est un diviseur quelconque de la période du développement décimal de a/p (avec p encore premier) alors le théorème de Midy peut être généralisé de la manière suivante. Le théorème de Midy étendu2 énonce que si une période de la représentation décimale de a/p est divisée en blocs de taille k alors la somme de ces blocs est un multiple de 10^k – 1. Qui plus est, si k vaut 2 ou 3, la somme des blocs vaut exactement 10^k – 1.

Par exemple

a une période 18. En divisant une période en blocs de taille 6 ou 3 et en sommant, on trouve :

En mathématiques, le théorème de Midy, appelé ainsi en hommage au mathématicien français Étienne Midy1, est un énoncé concernant le développement décimaldes fractions a/p avec p un nombre premier et a/p est le développement décimal périodique avec une période paire. Si la période de la représentation décimale dea/p est 2n, alors

et les chiffres dans le deuxième moitié du développement périodique décimal sont le complément à 9 (en) des chiffres correspondants dans la première moitié. En d'autres mots :

Par exemple

suites

1+3+5+..+(2n-1)= n²
durée
1³+2³+..+n³=[n(n+1)/2]^{2
matière , contenu}

u(n)=n²(n+1)/2 et v(n)=n²(n-1)/2.
On a u(n)-v(n)=n² et u(n)+v(n)=n³

On considère la somme des nombres impairs (2k-1) pour k allant de v(n)+1 à u(n).
 Cette somme s'écrit:
(2*v(n)+1)+...+(2*u(n)-1).
Il y a u(n)-v(n)=n² termes et la moyenne entre le premier et le dernier est u(n)+v(n)=n³.
 La somme est donc égale à: n³*n²= n⁵.

1=1⁵

5+7+9+11=2⁵ (4 termes)

19+..+35=3⁵ (9 termes)

49+51+..+79=4⁵ (16 termes)

101+103+..+149=5⁵ (25 termes)


La source de cette question est une note du professeur Etienne Midy dans les Nouvelles annales de mathématiques (tome 5, 1846, pp. 640-646). (Numérisé). La même année à l'Académie des sciences, il y a plusieurs notes à ce sujet. Mais ce résultat sur la suite des impairs est très ancien. Dans l'Encyclopédie méthodique [Mathématiques, tome II, 197-199, publié en 1785], Jean-Joseph Rallier des Ourmes (1701-1771) écrit (dans la langue de l'époque):

"Si l'on conçoit les nombres impairs rangés par ordre à la fuite l'un de l'autre, il réfulte une progression arithmétique indéfinie, dont le premier terme eft 1, & la différence 2: c'eft ce qu'on nomme la fuite des impairs.

Cette fuite a une propriété remarquable relative à la formation des puiffances; mais qui n'a jufqu'ici, du moins que nous fachions, été connue ni développée qu'en partie. La voici dans toute fon étendue.

A toute puissance numérique d'une racine r & d'un exposant e quelconques, répond, dans la fuite générale des impairs, une fuite fubalterne des termes consécutifs, dont la fomme eft cette puiffance même.


Il s'agit d'en déterminer généralement le premier terme p, & le nombre de termes n."

                     

Hum .....666^5

Le nombre 666 à la puissance 5 donne 131 030 122 140 576.

Or : 131 + 030 + 122 + 140 + 576 = 999.



Quelle est la raison d'être de sérier par groupe de trois les chiffres puis de sommer ?

les développements décimaux périodiques de certaines fractions dont les dénominateurs sont certains nombres premiers. Par exemple :

• , et .
•  et .

Source : Wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Midy 

et http://math.univ-lyon1.fr/~germoni/diffusion/crdp.pdf
et : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal_de_l%27unit%C3%A9

Voir la présence de c^5

Temps de Planck

http://fr.wikipedia.org/wiki/Temps_de_Planck

et ~3*10^5

Cette propriété numérique de 666^5 est à relier à

6^5=7776  ( base 10 )
dont la somme est 3^3=27=7+7+7+6