temps et Euler

 

Parmi les rationnels de numérateur et dénominateur inférieurs à 1 000, le plus proche de e est18 878/323 ≈ 2,71827.

En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation entre plusieurs constantes fondamentales et utilisant les trois opérations arithmétiques d'addition, multiplication et exponentiation :

${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}�}+1=0}$

où la base e du logarithme naturel représente l'analyse, l'unité imaginaire i représente l'algèbre, la constante d'Archimède π représente la géométrie, l'entier 1 l'arithmétique et le nombre 0 les mathématiques^{[réf. souhaitée]}1.

Elle est nommée d'après le mathématicien Leonhard Euler qui la fait apparaître dans son Introductio, publié à Lausanne en 1748. Avant d'être citée par Euler, cette formule était connue du mathématicien anglais Roger Cotes, mort en 1716.

L'identité d'Euler est souvent citée comme un exemple de beauté mathématique3.

En effet, outre l'égalité, trois des opérations fondamentales de l'arithmétique y sont utilisées, chacune une fois : l'addition, la multiplication et l'exponentiation. L'identité fait également intervenir cinq constantes mathématiques fondamentales4 :

• 0, l'élément neutre de l'addition.
• 1, l'élément neutre de la multiplication.
• π, omniprésente en trigonométrie, en géométrie dans l'espace euclidien et en analyse mathématique (π = 3,14159265...)
• e, base des logarithmes qui apparait souvent en analyse, calcul différentiel et mathématiques financières (e = 2,718281828...). Tout comme π, c'est un nombre transcendant.
• i, l'unité imaginaire à la base des nombres complexes, qui ont permis l'étude de la résolution des équations polynomiales avant de voir leur usage élargi.

L'inventaire de ces différents éléments est mieux mis en évidence par la notation polonaise inverse de la formule d'Euler :

0 ; 1 ; e ; i ;π ; * ; ^ ; +; =

De plus, sous cette forme, l'identité est écrite comme une expression égale à zéro, une pratique courante en mathématique.

On en déduit que l'exponentielle complexe est 2πi-périodique.

On voit ainsi apparaître les développements en série de Taylor des fonctions cosinus et sinus5 :

${\displaystyle \cos (�)=1-\frac{{�}^2}{2!}+\frac{{�}^4}{4!}-\frac{{�}^6}{6!}+\cdots =\sum _{�=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{�}{�}^{2�}}{(2�)!}}$

${\displaystyle \sin (�)=�-\frac{{�}^3}{3!}+\frac{{�}^5}{5!}-\frac{{�}^7}{7!}+\cdots =\sum _{�=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{�}{�}^{2�+1}}{(2�+1)!}}$

ce qui, en remplaçant dans l'expression précédente de e^ix, donne bien :

${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}�}=\cos (�)+\mathrm{i}\sin (�).}$

Article du Monde

 

En 1623, Galilée dans Il Saggiatore écrit : « On ne peut comprendre [le livre de l’Univers] si l’on ne s’applique d’abord à en comprendre la langue et à connaître les caractères avec lesquels il est écrit. Il est écrit dans la langue mathématique (…)». Il fonde ce faisant la physique moderne comme scindée de la philosophie, et relevant entièrement de la rationalité mathématique.

La suite a montré à quel point son intuition, qui était aussi et reste toujours un acte de foi, était juste : jusqu’à présent, les physiciens ont travaillé avec succès à dévoiler les lois mathématiques régissant les phénomènes, en présupposant à chaque fois leur existence. Les millénaires écoulés entre la naissance des mathématiques et leur utilisation en physique montrent au passage que ce rapprochement entre les phénomènes naturels et les lois mathématiques de notre rationalité humaine était loin d’être évident.

La suite de l’histoire fut bien sûr à double sens. On pourrait ainsi décrire en grand détail comment un grand nombre de théories et d’outils mathématiques, de la transformée de Fourier à la géométrie symplectique, furent inspirés par la physique. Mais en notre époque où celle-ci est souvent présentée débarrassée de son appareil théorique en vue de la rendre plus accessible, il est encore plus utile de rappeler ici à quel point la physique est depuis toujours articulée étroitement à la science mathématique, et ne peut se passer d’elle.

Un des exemples les plus étonnants de cette relation intime est sans conteste fourni par les nombres complexes. Au XVI^e siècle, les mathématiciens ont éprouvé le besoin d’adjoindre aux nombres ordinaires un nombre supplémentaire, baptisé i (pour « imaginaire »), dont la propriété principale est d’avoir un carré négatif : i² = -1. Les nombres augmentés de ce nombre imaginaire s’appellent les complexes, et se mettent tous sous la forme a + b·i, comme 2 + 3i.

Rien de plus abstrait donc que ce nombre fictif, vu que les nombres ordinaires ont tous un carré positif (2² = (-2) ² = 4) ! Et pourtant, les nombres complexes ont naturellement trouvé leur utilité en physique. Au XIX^e siècle ils ne sont d’abord utilisés que comme outil car ils simplifient les calculs des problèmes ondulatoires. Un outil commode certes, mais dont on pourrait parfaitement se dispenser.

L’abstraction confirmée par le réel

En revanche, quand en 1929 Erwin Schrödinger réussit à synthétiser dans l’équation qui porte son nom l’ensemble des règles quantiques – que trente ans de recherches expérimentales ininterrompues avaient peu à peu mises au jour de façon disparate et ad hoc –, une véritable surprise attendait la communauté des physiciens.

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Ce que la physique doit aux mathématiques (lemonde.fr)

- 1 Unité imaginaire

i^2 = -1

Comme on est en dimension 4 (x,y,z,t) on considérera i^4 = 1 .....