142857

Tout nombre entier N peut s'écrire de façon unique (7xA+B), 
A étant un nombre entier et B un nombre entier compris entre 0 et 6.

Et je crois que j'oublie d'autres détails absolument importants, 

comme le fait que 666×667=444222 ; 

que 42 est la somme de deux nombres premiers consécutifs (42=19+23) ;

 que la plus petite façon d'écrire 1 en une somme de 4 fractions différentes est 1=1/2 + 1/3 + 1/7  + 1/42 ; 

 que le nombre 10 peut s'écrire comme somme d'entiers non nuls de 42 façons différentes ; 

qu'un nombre de la forme n⁷-n est toujours divisible par 42 .......

Nombre cyclique

142 857 est un nombre cyclique appelé aussi « nombre phénix » :

Les multiples successifs de 142 857 en forment les permutations circulaires :

1 x 142 857 = 142 857

2 x 142 857 = 285 714

3 x 142 857 = 428 571

4 x 142 857 = 571 428

5 x 142 857 = 714 285

6 x 142 857 = 857 142

Cette propriété est vérifiée par un nombre donné si et seulement si,

• ce nombre est la période du développement décimal d'une fraction du type  ;
• cette période est de longueur n - 1.

Si la période est comprise entre 2 et n-2, seuls certains multiples du nombre seront une de ses permutations circulaires.

Les nombres de moins de cinquante chiffres possédant une telle propriété sont ainsi :

0 588 235 294 117 647 (16 chiffres, de 1/17) ;

052 631 578 947 368 421 (18 chiffres, de 1/19) ;

0 434 782 608 695 652 173 913 (22 chiffres, de 1/23) ;

0 344 827 586 206 896 551 724 137 931 (28 chiffres, de 1/29) ;

0 212 765 957 446 808 510 638 297 872 340 425 531 914 893 617 (46 chiffres, de 1/47).

On notera aussi les permutations circulaires suivantes :

142 857 / 2 = 71 428,5

142 857 / 5 = 28 571,4

Ou encore,

142 857 / 4 = 35714.25 (le 3 au début + le 5 à la fin = 8)

  Multiplications de 8 à 14

Nous avons vu plus haut que les multiplications de 142 857 par les nombres 1 à 6 produisaient des permutations circulaires de ce dernier.

Les multiplications de 142 857 par 8 à 13 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité que le dernier chiffre N se transforme en (N-1), l'unité « passant devant » (l'unité correspond au million)

8 x 142 857 = 1 142 856 (le 7, dernier chiffre de la multiplication par 1, devient 1+6)

9 x 142 857 = 1 285 713 (le 4, dernier chiffre de la multiplication par 2, devient 1+3)

10 x 142 857 = 1 428 570 (le 1, dernier chiffre de la multiplication par 3, devient 1+0)

11 x 142 857 = 1 571 427 (le 8, dernier chiffre de la multiplication par 4, devient 1+7)

12 x 142 857 = 1 714 284 (le 5, dernier chiffre de la multiplication par 5, devient 1+4)

13 x 142 857 = 1 857 141 (le 2, dernier chiffre de la multiplication par 6, devient 1+1)

La multiplication par 7 de 142 857 donne évidemment 999 999 (puisque 142 857 est le développement périodique de la partie décimale de la division 1/7).

On note que la multiplication par 14 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre N en (N-1), l'unité « passant devant »

14 x 142 857 = 1 999 998 (le 9, dernier chiffre de la multiplication par 7, devient 1+8)

  Multiplications de 15 à 21

Les multiplications de 142 857 par 15 à 21 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité cette fois que le dernier chiffre N se transforme en (N-2), le 2 « passant devant » (2 correspond à 2 millions)

15 x 142 857 = 2 142 855 (le 7, dernier chiffre de la multiplication par 1, devient 2+5)

16 x 142 857 = 2 285 712 (le 4, dernier chiffre de la multiplication par 2, devient 2+2)

17 x 142 857 = 2 428 569 (le 1, dernier chiffre de la multiplication par 3, devient 2+(-1))

18 x 142 857 = 2 571 426 (le 8, dernier chiffre de la multiplication par 4, devient 2+6)

19 x 142 857 = 2 714 283 (le 5, dernier chiffre de la multiplication par 5, devient 2+3)

20 x 142 857 = 2 857 140 (le 2, dernier chiffre de la multiplication par 6, devient 2+0)

La multiplication par 17 fait apparaître une difficulté ; la règle s'applique sans s'appliquer. En effet, le problème de la décomposition du chiffre 1 en 2+(-1) « oblige » à retirer une unité au chiffre des dizaines et à mettre 9 au niveau des unités. La permutation de 142 857 est moins visible.

La multiplication par 21 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre N en (N-2), le 2 « passant devant »

21 x 142 857 = 2 999 997 (le 9, dernier chiffre de la multiplication par 7, devient 2+7)

  Multiplications suivantes

Pour les multiplications de 22 à 28, le dernier chiffre N devient (N-3), le 3 passant devant.

Pour les multiplications de 29 à 35, le dernier chiffre N devient (N-4), le 4 passant devant.

Et ainsi de suite.

L'explication est assez simple. Tout nombre entier N peut s'écrire de façon unique (7xA+B), A étant un nombre entier et B un nombre entier compris entre 0 et 6.

La multiplication par N devient :

N x 142 857 = (7xA+B) x 142 857 = A x (7 x 142 857) + B x 142 857 = A x (999 999) + B x 142 857 = (A x 1 000 000 - A) + B x 142 857

B étant compris entre 0 et 6, le produit B x 142 857 fait apparaître la permutation.

Le terme (A x 1 000 000 - A) explique la décomposition du dernier chiffre N de la permutation en (N-A) et A « passant devant » (A millions)

Comme nous l'avons vu plus haut pour la multiplication par 17, les décompositions faisant apparaître un nombre négatif vont devenir de plus en plus fréquentes à mesure que le multiplicateur croît et la permutation deviendra de moins en moins visible.

  Addition, et carré

142 857² = 20 408 122 449

20 408 + 122 449 = 142 857

20 + 408 + 122 + 449 = 999

14 + 28 + 57 = 99

142 + 857 = 999

142 857 x 7 = 999 999

Lien avec 9, 99, 999 et 999 999

De nombreuses identités remarquables lient 142 857 aux nombres de la forme  :

7 x 142 857 = 999 999

142 + 857 = 999

14 + 28 + 57 = 99

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 ou 2 + 7 = 9

Elles sont liées au fait que 142857 est la période du développement décimal de la fraction 1/7 et se généralisent aux autres périodes de fractions du type par exemple :

• 333 (de 1/3)
• 09 (de 1/11)
• 076 923 (de 1/13)

On peut aussi remarquer que 2 est un élément d'ordre 6 modulo 9:

et l'on voit réapparaître les chiffres 1, 4, 2, 8, 5 et 7.

À partir de 7 x 142 857 = 999 999, on peut déduire

142 857 x 7 x n = (n x 1000000) - n,

ce qui permet de calculer mentalement rapidement n'importe quel multiple de 142857.

http://dictionnaire.sensagent.leparisien.fr/142%20857%20NOMBRE/fr-fr/

Nombre de Kaprekar

142 857 est un nombre de Kaprekar :

142857² = 020408 122449

142857 = 020408 + 122449

De même en le multipliant par n'importe quel nombre, en additionnant les morceaux du résultat par groupes de 6 en partant de la fin et ainsi de suite avec le nouveau résultat on obtient le nombre 142857 avec un éventuel décalage (donc 142857 x 1, 2, … ou 6) ou 999999 (= 142857 x 7), exemple :

142857 x 56 = 7999992

⇒ 7 + 999992 = 999999 = 142857 x 7

142857 x 125 = 17857125

⇒ 17 + 857125 = 857142 = 142857 x 6

142857 x 7841131285974854689745213 = 1120160492120509816412931893541

⇒ 1 + 120160 + 492120 + 509816 + 412931 + 893541 = 2428569

⇒ 2 + 428569 = 428571 = 142857 x 3

On notera également

142857⁴ = 000416 491461 893377 757601

142857 x 15 = 000416 + 491461 + 893377 + 757601

et

142857⁸ = 173465 137830 082936 774412 507898 191113 275201

142857 x 15 = 173465 + 137830 + 082936 + 774412 + 507898 + 191113 + 275201

Cette décomposition d'un multiple comme somme de sous-nombres d'une puissance est partagée par les périodes d'un développement décimal de fraction, par exemple :

• 333 (de 1/3)
• 09 (de 1/11)
• 047619 (de 1/19)
• Décomposition en produit de facteurs premiers :

  142 857 = 3³ x 11 x 13 x 37

  1/7 = 0.142857 142857 142857 …
  Ancienne approximation de pi : 22/7 = 3.142857
  326451 peut être considéré comme le jumeau de 142857…

  142857 x 3 = 428571

  142857 x 2 = 285714

  142857 x 6 = 857142

  142857 x 4 = 571428

  142857 x 5 = 714285

  142857 x 1 = 142857

  10 = 3 + (7 x 1)

  100 = 2 + (7 x 14)

  1000 = 6 + (7 x 142)

  10000 = 4 + (7 x 1428)

  100000 = 5 + (7 x 14285)

  1000000 = 1 + (7 x 142857)

  On peut visualiser certaines propriétés de 142857 avec la roue de six évoquée par Dom Néroman dans son livre la leçon de Platon.
  On y remarque que la somme des nombres opposés est égale à 9 dans la roue extérieure, et à 7 à l'intérieur

(10!+1)/7=518400.1428571428571428571428571428571428571428571428571428...

518400 secondes = 6 jours

• La fraction continue de π peut être utilisée pour générer des approximations rationnelles successives. Ce sont les meilleures approximations rationnelles possibles de π par rapport à la taille de leurs dénominateurs. Voici une liste des treize premières fractions :

${\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}}$.

Pi et ckplan volumes (Un moins epsilon)

Source






On retrouve par exemple 888178 qui sont les premiers chiffres de 1/(2^50) ...

puis 444089 1/2^51
puis 222045 1/2^52





777,999,666,888,555 

On passe par 2*pi ...

1******

Commentaire reçu (Anonyme) :

De même la "remarquable" formule qui donne à peu près pi * 10^(-14).

Non, si eps ,ci-après est égal à 10-7,on obtient 7 décimales de pi 1415926 ...

 Si vous développez 4/3 - 4/3*(1- 0.5 eps)^3 - 2*eps 

(où j'ai remplacé 10^-7 par eps) 

vous trouvez 
-eps^2 + 1/6 eps^3 = -(1-1/6*10^-7)*10^-14 : 
votre résultat est exactement ce facteur multiplié par pi.

C'est donc des "trivialités", et en allant au bout des petits calculs élémentaires lorsque vous faites une telle "découverte", 

vous trouvez vite l'explication simple.
1******
3******
Remarque : avec eps de la forme 5*10^-x ou 0.5*10^-x ....,

on n'obtient des décimales de pi qu'avec x > 2 ......

3.*****
ckplan  555382  .....

Vide

 La perméabilité du vide, également nommée perméabilité magnétique du vide ou constante magnétique, est une constante physique symbolisée par μ₀.

Dans le système SI, sa valeur est exactement :

μ₀ = 4π × 10⁻⁷ kg m A⁻² s⁻², ou encore 4π × 10⁻⁷ T m/A

T étant le tesla, unité d'induction électromagnétique

soit donc :

μ₀ = 12,566 370 614... × 10⁻⁷ kg m A⁻² s⁻², ou encore 12,566 370 614... × 10⁻⁷ T m/A

La constante magnétique est souvent exprimée en henry par mètre : μ₀ = 4π × 10⁻⁷ H m⁻¹.

La valeur donnée était exacte par définition de l'ampère, mais ne l'est plus depuis la redéfinition des unités du système international, le 20 mai 2019, la définition de l'ampère étant dorénavant liée à la définition de la charge élémentaire e qui a été choisie comme exacte, alors que la définition antérieure approuvée au Congrès Général des Poids et Mesures de 1948 fixait la perméabilité du vide1.

temps et Euler

 

Parmi les rationnels de numérateur et dénominateur inférieurs à 1 000, le plus proche de e est18 878/323 ≈ 2,71827.

En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation entre plusieurs constantes fondamentales et utilisant les trois opérations arithmétiques d'addition, multiplication et exponentiation :

${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}�}+1=0}$

où la base e du logarithme naturel représente l'analyse, l'unité imaginaire i représente l'algèbre, la constante d'Archimède π représente la géométrie, l'entier 1 l'arithmétique et le nombre 0 les mathématiques^{[réf. souhaitée]}1.

Elle est nommée d'après le mathématicien Leonhard Euler qui la fait apparaître dans son Introductio, publié à Lausanne en 1748. Avant d'être citée par Euler, cette formule était connue du mathématicien anglais Roger Cotes, mort en 1716.

L'identité d'Euler est souvent citée comme un exemple de beauté mathématique3.

En effet, outre l'égalité, trois des opérations fondamentales de l'arithmétique y sont utilisées, chacune une fois : l'addition, la multiplication et l'exponentiation. L'identité fait également intervenir cinq constantes mathématiques fondamentales4 :

• 0, l'élément neutre de l'addition.
• 1, l'élément neutre de la multiplication.
• π, omniprésente en trigonométrie, en géométrie dans l'espace euclidien et en analyse mathématique (π = 3,14159265...)
• e, base des logarithmes qui apparait souvent en analyse, calcul différentiel et mathématiques financières (e = 2,718281828...). Tout comme π, c'est un nombre transcendant.
• i, l'unité imaginaire à la base des nombres complexes, qui ont permis l'étude de la résolution des équations polynomiales avant de voir leur usage élargi.

L'inventaire de ces différents éléments est mieux mis en évidence par la notation polonaise inverse de la formule d'Euler :

0 ; 1 ; e ; i ;π ; * ; ^ ; +; =

De plus, sous cette forme, l'identité est écrite comme une expression égale à zéro, une pratique courante en mathématique.

On en déduit que l'exponentielle complexe est 2πi-périodique.

On voit ainsi apparaître les développements en série de Taylor des fonctions cosinus et sinus5 :

${\displaystyle \cos (�)=1-\frac{{�}^2}{2!}+\frac{{�}^4}{4!}-\frac{{�}^6}{6!}+\cdots =\sum _{�=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{�}{�}^{2�}}{(2�)!}}$

${\displaystyle \sin (�)=�-\frac{{�}^3}{3!}+\frac{{�}^5}{5!}-\frac{{�}^7}{7!}+\cdots =\sum _{�=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{�}{�}^{2�+1}}{(2�+1)!}}$

ce qui, en remplaçant dans l'expression précédente de e^ix, donne bien :

${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}�}=\cos (�)+\mathrm{i}\sin (�).}$

PI et CKPLAN

5.55382562855700000E-17 = CKPLAN

 décrit temps et matière

Charles Hermite :

« Je vous ferais bondir,
 si j'osais vous avouer que je n'admets aucune solution de continuité, 
aucune coupure entre les mathématiques et la physique,
 et que les nombres entiers me semblent exister en dehors de nous et en s'imposant avec la même nécessité, la même fatalité que le sodium, le potassium, etc. »


— Correspondance avec Stieltjes, janv. 1889, Paris, éd. Gauthier-Villars, 1905, t. I, p. 332

G Villemin

A

****************************************

1018510222406068776028283086741160

*

(5.55382562855700000E-17)^2

=

 3.14159265358979323108921372232545712243012

*****************************************

1415926535897932=2^2×127×137×13217×1539301

16 chiffres

somme des chiffres 79

résidu :

3108921372232545712243012=2^2×41×71×3180413×6256741×13417631

somme des chiffres 79

25 chiffres

Facteur multiplicatif(1) de CKPLAN :

1018510222406068776028283086741160

 =

 2^3×5×7×701×5189067772600717220441629747

34 chiffres

somme des chiffres : 122

On obtient 16 décimales de PI exactes

************************************************

 pi=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923...

************************************************

B

*****************************************

 1018510222406068773610166484299880 

  

*

(5.55382562855700000E-17)^2

=

3.141592653589793238462643383279503108921372232545712243012

*****************************************

somme des chiffres  231 =152+79

avec le 3 de la partie entière 234

58 chiffres avec le 3 de la partie entière

On obtient les 32 premières décimales de PI 

(0 en 32 ème position)

14159265358979323846264338327950=2×5^2×17×5521×3017199646052894050793087

Somme des chiffres 152

Résidu identique à A

3108921372232545712243012

Somme des chiffres 79

Facteur multiplicatif(2) de CKPLAN :

1018510222406068773610166484299880 

=

2^3×3^2×5×17×353×3385661×27434663×5075702558131

34 chiffres

Somme des chiffres 135

RACINE NUMÉRIQUE

La racine numérique ou résidu d’un nombre naturel est la somme itérée des valeurs associées à chacun de ses chiffres.

La preuve par neuf utilise la racine numérique d’un nombre.

EXEMPLES

• Prenons le nombre 457.
  On additionne les valeurs associées à chacun de ses chiffres, puis on reprend le processus avec les valeurs associées aux chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne reste qu’un seul chiffre.
  4 + 5 + 7 = 16 et 1 + 6 = 7.
  La racine numérique de 457 est 7.
• Prenons le nombre 4589.
  4 + 5 + 8 + 9 = 26 et 2 + 6 = 8.
  La racine numérique de 4589 est 8.

NOTE DIDACTIQUE

La notion de racine numérique d’un nombre est malheureusement peu utilisée dans l’enseignement. Elle pourrait être fort utile pour vérifier certains caractères de divisibilité. La somme digitale est également utile dans un tel cas.

Elle peut aussi être utilisée pour faire apparaitre certaines propriétés de certains nombres comme par exemple :

• la racine numérique d’un carré parfait est 1, 4, 7, ou 9.
• la racine numérique d’un nombre premier (à l’exception de 3) est 1, 2, 4, 5, 7, ou 8.

La racine numérique ou le résidu d’un nombre peuvent aussi être étudiés à l’aide de la congruence modulo n.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit ${\displaystyle n}$ un entier naturel. Pour une base ${\displaystyle b>1}$ donnée on définit la somme des chiffres de ${\displaystyle n}$ en base ${\displaystyle b}$, notée ${\displaystyle F_{b}(n):\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ par

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

où ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ est le nombre de chiffres de ${\displaystyle n}$ base ${\displaystyle b}$, et

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

est la valeur du i^ème chiffre. ${\displaystyle n}$ est un résidu si c'est un point fixe de ${\displaystyle F_{b}}$, c'est-à-dire si ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$.

En base ${\displaystyle b}$ les seuls résidus possibles sont les nombres de 0 à ${\displaystyle b-1}$. En effet si ${\displaystyle n\geq b}$ on a nécessairement ${\displaystyle F_{b}(n)<n}$ car ${\displaystyle k>1}$ et donc

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}d_{i}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$.

En revanche, si ${\displaystyle n<b}$ on a ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$.

Les seuls résidus possibles sont donc compris entre 0 et ${\displaystyle b-1}$ ; de plus, il n'y a pas de cycle en dehors des points fixes, ce qui garantit que l'application répétée de la fonction ${\displaystyle F_{b}}$ aboutit nécessairement au résidu en un nombre fini d'étapes.

Persistance additive[modifier | modifier le code]

La persistance additive d'un nombre ${\displaystyle n}$ est le nombre de fois où l'on doit sommer les chiffres pour atteindre son résidu. 

En d'autres termes, il s'agit du nombre d'itérations de ${\displaystyle F_{b}}$ nécessaires pour atteindre son point fixe.

Par exemple la persistance additive de 65 535 en base 10 est de 2, puisque l'on passe par deux étapes (25 et 7) pour atteindre le résidu.

Quelle que soit la base ${\displaystyle b}$, la persistance additive n'est pas bornée,

 c'est-à-dire qu'il existe des nombres dont la persistance additive est arbitrairement grande.

Démonstration : 

s'il existait une plus grande persistance additive M, soit n un nombre dont la persistance additive est M.

 Le nombre s'écrivant comme n fois le chiffre 1 a une persistance additive de M+1 

(il faut une étape pour sommer tous les 1 puis M étapes pour obtenir le résidu de n), 

ce qui contredit l'hypothèse.

Congruence modulo 9[modifier | modifier le code]

Le nombre 10 et ses puissances successives (100, 1000, etc.) étant congrus à 1 modulo 9,

 un nombre écrit en base 10 est congru à la somme de ses chiffres 

(propriétés algébriques des congruences).

 Ainsi, dans le cas d'un nombre à trois chiffres qui s'écrit abc, comme 10 ≡ 1 (mod 9) et 10² ≡ 1² ≡ 1(mod 9)${\displaystyle {\overline {abc}}^{10}=10^{2}a+10b+c\equiv a+b+c{\pmod {9}}.}$Cette somme étant nécessairement plus petite que le nombre initial dès que celui-ci a plusieurs chiffres, 

le procédé itératif se termine sur un nombre à un seul chiffre, non nul dès que l'entier initial est non nul. 

Celui-ci caractérise la classe de congruence puisqu'il y a exactement 9 chiffres différents de 0 et 9 classes de congruences3. 

On en déduit le reste de la division par 9 du nombre initial, appelé aussi résidu modulo 9 de ce nombre4.

• si la somme des chiffres itérée de n est 9, le reste de la division de n par 9 est 0 ;
• 
  
• sinon, la somme des chiffres itérée de n égale le reste de la division de n par 9.
• 
  

WIKIPEDIA

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Valeur approchée
x≈-5.5538256285569999868896232804644758216246×10^-17

Pour préciser le commentaire de G Villemin: