La tablette de Plimpton Triplet pythagoricien

 Sur la tablette acheté en 1922 par Georges Arthur Plimpton à un marchand d’objets archéologiques se trouve quinze triplets pythagoriciens en écriture sexagésimale. On ne sait pas la nature de ce document, est-ce un précurseur de la trigonométrie ou un document didactique pour exercer des étudiants. Quoi qu’il en soit il prouve que vers 1800 avant notre ère le théorème de Pythagore était connu par les babyloniens et que cette recherche de triplets intéressait déjà les mathématiciens de l’époque.

Les triplets que l’on trouvent sur cette tablette ne sont pas les plus simples, on ne trouve pas (3,4,5) par exemple, ce qui laisse penser à un document pour l’apprentissage.

Voici les quinze triplets de la tablette Plimpton 322 :

1. (119, 120, 169)
2. (3 367,3 456,4 825)
3. (4 601, 4 800, 6 649)
4. (12 709, 13 500, 18 541)
5. (65, 72, 97)
6. (319, 360, 481)
7. (2 291, 2 700, 3 541)
8. (799, 960, 1 249)
9. (481, 600, 769)
10. (4 961, 6 480, 8 161)
11. (45, 60, 75)
12. (1 679, 2 400, 2 929)
13. (161, 240, 289)
14. (1 771, 2700, 3 229)
15. (56, 90, 106)   

Étranges n’est-ce pas ? Pourquoi ces triplets sont-ils aussi compliqués ?

Tous ces triplets sont primitifs, sauf le n°11, (45, 60, 75) qui un multiple de (3, 4, 5), le n°15 qui est un multiple de (28, 45, 53). Signalons en effet que pour un triplet Pythagoricien donné, on peut en trouver une infinité d’autres en multipliant chaque terme par le même nombre entier. Un triplet n’étant multiple d’aucun autre ou en terme plus technique, dont les termes sont premiers entre eux ou encore dont le plus grand diviseur commun est 1, est un triplet primitif.

source

Aires lunules et triangle rectangle - Arbelos

L'aire en vert ( triangle rectangle ABC ) est égale a la somme des aires  en bleu ( lunules)

Trois manières d'exprimer des durées , surfaces ( KEPLER).

D1 = D2 + D3

Il existe une longueur minimum pour AC ......

Cf triplets pythagoriciens ...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_deux_lunules

La conjecture de Syracuse est une autre manière d'exprimer des durées, avec deux familles ....

Il ne faut pas parler de pairs et d'impairs pour les nombres entiers , mais faire une autre partition de N .

http://fr.wikipedia.org/wiki/Arbelos

Arbelos ; Pore du savetier

N° 2 : La conjecture de Syracuse

Prenez un entier supérieur à 1. S'il est pair, divisez le par 2, et s'il est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1. Réitérez ensuite les deux précédentes étapes. Quel que soit l'entier n choisi au départ, la suite finira par retomber à 1... Et personne ne sait pourquoi ! C'est la célèbre conjecture de Syracuse, d'apparence très simple, mais finalement insaisissable.

Quel rapport avec la ville sicilienne ? Eh bien, absolument aucun ! En fait, le problème a connu son heure de gloire dans les années 50, quand Helmut Hasse a fait une conférence sur le sujet à l'université de Syracuse... à New York !

source :

http://eljjdx.canalblog.com/tag/Conjectures

calcul syracuse :

http://calculis.net/syracuse

Pour 5 :

5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1

La durée du vol pour 5 est de 5 et son altitude est de 16.

Pythagore Théorème

3^2+4^2=5^2

33^2+44^2=55^2

333^2+444^2=555^2

3333.....^2+444.....^2=555......^2

n fois 3; n fois 4 ; n fois 5

exemple avec n =7  :

3333333^2= 11 111 108 888 889

4444444^2=19 753 082 469 136

5555555^2=30 864 191 358 025

(33, 56, 65)
(33,44,55)

Chiffre et existence matérielle et temporelle

Enrico Fermi

• 5,3,4 / 3;5;4

Le chiffre et le nombre n'ont existence physique que élevés au carré.

Les lois  physiques ne sont que  multiplication et division.


1
10          ....;10;24; .......  
100
11
101
 ....1;0;1.....

Un contenu : 0. Deux frontières au matériel.......

24        ....;10;100;......

2^10 = 1024   10,24



et "l'élévation au carré" ...

A interpréter en durée, temps et distance.
voir les autres triplets pythagoriciens jusqu'à la couverture complète des dix chiffres 0 à 9 , en base 10.

Volume d'un élément matériel; durée; temps

EXPRIME par x*y*z en repère orthonomé.
Multiplication de trois réel....
1=10

c'est aussi "la rencontre" de trois surfaces
xy
xz
yz

10= 5*2




Plus petit volume :
1*1*1
101010

Avec une dimension temporelle en plus ...

1*1*1*1
10101010
2,5,0,2 par interprétation de contenu écrit en base 2 lecture gauche droite , écriture en base 10
2,2,5,0
5,0,5,0
5,0,2,2
2,2,2,2
10,2,2
42,2
170



50,50
505,0

et en lecture droite gauche ( palindrome) :


....

Et le théorème de Pythagore sur les durées ....

La durée est une aire.

Durée= temps^2

Le plus "petit temps" est dès lors : 2^(1/2) = 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766...

2+3=5 Pythagore

Et la demi durée :

(2^1/2)/2

http://www.wolframalpha.com/input/pod.jsp?id=MSP30301a005afgigh2925e000049668h4c045a407h&s=36&button=1

0.7071067811865475244008443621048490392848359376884740365883...

Aire triangle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_H%C3%A9ron

avec

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pytagore

Théorème de pytagore

Bases de connaissance. Eléments de PLANCHON.

Pour comprendre cette théorie de la Réalité Générale de l'UNIVERS, quelques propositions , dans l'espace et le temps, que je pourrais expliciter à la demande, laisser un commentaire.
Cf. Les Eléments d'EUCLIDE


TOUT EST NOMBRE  . Pythagore

1. Zéro,0 chiffre, n'a pas de contenu matériel.Sa signification est la même en base 2 et en base 10 (Inexistence matérielle).
2. Un ,1 chiffre,a un contenu temporel et matériel .Sa signification est la même en base 2 et en base 10. (Existence matérielle)

Correspond à PI= 3 ....
Il y a un cycle dans cette figure,
je peux tourner autour du triangle rectangle, je n'ai pas besoin de cercle .....
Le nombre peut exprimer un point (contenu) ou une distance ou une surface ....

1. Deux à un contenu matériel et temporel .
2. Trois ....etc 
3. Les autres chiffres de la base 10 (quatre)....etc .
4. La base de temps est assimilable à une surface ( x*y)
5. Le plus petit volume matériel est 0,5,Plus petit observable.
6. Il existe deux familles d'éléments (corps simples).
7. Le nombre à une écriture et signification quantique.
8. Les liens entre entre mécanique quantique et mécanique newtonniène passent par la signification donnée au nombre exprimé en base 10, pour sa partie entière et décimale et en base 2 pour sa signification quantique fine.
9. Le nombre à une symétrie miroir.
10. Passé et futur encadrent le présent matériel.
11. Si PI=3 une seule famille d'éléments existe; famille F1.
12.  Les trois temps sont dans le théorème de Pythagore
13. Les temps peuvent être considérés comme des éléments matériels 
14. 
    

Les cotés de l'angle droit pourraient être pris comme égaux à

1/(2**(1/2))  ==== > 1pour l’hypoténuse  mieux : ((2**(1/2))/2)

ou

(3/2)**(1/2) ===== > 3

Considérer le triangle en durée (aire, surface : KEPLER) :

La durée est un nombre élevé au carré.

190 . triplets pythagoriciens

http://euler.ac-versailles.fr/wm3/pi2/pythagore/triplets1.jsp

Exemples de triplets primitifs :

( 3, 4, 5)	(20, 21, 29)	(11, 60, 61)	(13, 84, 85)
( 5, 12, 13)	(12, 35, 37)	(16, 63, 65)	(36, 77, 85)
( 8, 15, 17)	( 9, 40, 41)	(33, 56, 65)	(39, 80, 89)
(7, 24, 25)	(28, 45, 53)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

En gras , avec des chiffres,3,4,5,8,7,9 .
Les autres triplets sont constitués de nombres ...

"

et n*(3,4,5)  (6,8,10) pour n=2

n=3 ......



etc.

ou

(56,90,106) 

Dans un triplet pythagoricien primitif où a et b sont les cathètes et c est l'hypoténuse, a étant impair et b pair (voir lemme préliminaire)¹ :

• c est toujours impair.
• c - b est un carré parfait.
• c + b est un carré parfait.
• (c + a) / 2 est un carré parfait.
• (c - a) / 2 est un carré parfait.
• Soit a ou soit b est un multiple de 3, alors b est un multiple de 4.
• Soit a soit b ou soit c est un multiple de 5, alors le produit ab est un multiple de 12.
• Soit a ou soit b, alors a + b ou b - a est un multiple de 7.

Par exemple, dans le triplet pythagoricien (65, 72, 97), où a = 65, b = 72 et c = 97 :

• 97 est impair,
• 97 - 72 = 25, qui est un carré parfait (5 x 5),
• 97 + 72 = 169, qui est aussi un carré parfait (13 x 13),
• (97 + 65) / 2 = 81, qui est un carré parfait (9 x 9),
• (97 - 65) / 2 = 16, qui est aussi un carré parfait (4 x 4),
• 72 est un multiple de 3,
• 72 est un multiple de 4,
• 65 est un multiple de 5,
• 65 * 72 = 4680 est un multiple de 12,
• 72 - 65 = 7 , qui est un multiple de 7.
• "
• 
  

source :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Triplet_pythagoricien

ØThéorème :

     A chaque nombre complexe, défini par c = a+bi, correspond un triplet pythagoricien noté (a²-b², 2ab, a²+b²). A condition que a et b soient des entiers strictement positifs, a< b

ØDémonstration :

1.     c² = a²- b² + i2ab = x + iy

2.     x²+y²= (a²- b²)² + (2ab)²= a⁴+ 2a²b²+ b⁴+ 4a²b²

                       =  (a²+ b²)²

                       = z²


C'est là la plus simple expression d'un "existence", diophantienne .
Trois "points", trois droites, une surface , pas de volume .....
Les 3,4,5 se retrouvent en volume sphérique. 
Le 5 n'est autre que 1/2 ..... dans la surface d'un cercle......