142857

Tout nombre entier N peut s'écrire de façon unique (7xA+B), 
A étant un nombre entier et B un nombre entier compris entre 0 et 6.

Et je crois que j'oublie d'autres détails absolument importants, 

comme le fait que 666×667=444222 ; 

que 42 est la somme de deux nombres premiers consécutifs (42=19+23) ;

 que la plus petite façon d'écrire 1 en une somme de 4 fractions différentes est 1=1/2 + 1/3 + 1/7  + 1/42 ; 

 que le nombre 10 peut s'écrire comme somme d'entiers non nuls de 42 façons différentes ; 

qu'un nombre de la forme n⁷-n est toujours divisible par 42 .......

Nombre cyclique

142 857 est un nombre cyclique appelé aussi « nombre phénix » :

Les multiples successifs de 142 857 en forment les permutations circulaires :

1 x 142 857 = 142 857

2 x 142 857 = 285 714

3 x 142 857 = 428 571

4 x 142 857 = 571 428

5 x 142 857 = 714 285

6 x 142 857 = 857 142

Cette propriété est vérifiée par un nombre donné si et seulement si,

• ce nombre est la période du développement décimal d'une fraction du type  ;
• cette période est de longueur n - 1.

Si la période est comprise entre 2 et n-2, seuls certains multiples du nombre seront une de ses permutations circulaires.

Les nombres de moins de cinquante chiffres possédant une telle propriété sont ainsi :

0 588 235 294 117 647 (16 chiffres, de 1/17) ;

052 631 578 947 368 421 (18 chiffres, de 1/19) ;

0 434 782 608 695 652 173 913 (22 chiffres, de 1/23) ;

0 344 827 586 206 896 551 724 137 931 (28 chiffres, de 1/29) ;

0 212 765 957 446 808 510 638 297 872 340 425 531 914 893 617 (46 chiffres, de 1/47).

On notera aussi les permutations circulaires suivantes :

142 857 / 2 = 71 428,5

142 857 / 5 = 28 571,4

Ou encore,

142 857 / 4 = 35714.25 (le 3 au début + le 5 à la fin = 8)

  Multiplications de 8 à 14

Nous avons vu plus haut que les multiplications de 142 857 par les nombres 1 à 6 produisaient des permutations circulaires de ce dernier.

Les multiplications de 142 857 par 8 à 13 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité que le dernier chiffre N se transforme en (N-1), l'unité « passant devant » (l'unité correspond au million)

8 x 142 857 = 1 142 856 (le 7, dernier chiffre de la multiplication par 1, devient 1+6)

9 x 142 857 = 1 285 713 (le 4, dernier chiffre de la multiplication par 2, devient 1+3)

10 x 142 857 = 1 428 570 (le 1, dernier chiffre de la multiplication par 3, devient 1+0)

11 x 142 857 = 1 571 427 (le 8, dernier chiffre de la multiplication par 4, devient 1+7)

12 x 142 857 = 1 714 284 (le 5, dernier chiffre de la multiplication par 5, devient 1+4)

13 x 142 857 = 1 857 141 (le 2, dernier chiffre de la multiplication par 6, devient 1+1)

La multiplication par 7 de 142 857 donne évidemment 999 999 (puisque 142 857 est le développement périodique de la partie décimale de la division 1/7).

On note que la multiplication par 14 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre N en (N-1), l'unité « passant devant »

14 x 142 857 = 1 999 998 (le 9, dernier chiffre de la multiplication par 7, devient 1+8)

  Multiplications de 15 à 21

Les multiplications de 142 857 par 15 à 21 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité cette fois que le dernier chiffre N se transforme en (N-2), le 2 « passant devant » (2 correspond à 2 millions)

15 x 142 857 = 2 142 855 (le 7, dernier chiffre de la multiplication par 1, devient 2+5)

16 x 142 857 = 2 285 712 (le 4, dernier chiffre de la multiplication par 2, devient 2+2)

17 x 142 857 = 2 428 569 (le 1, dernier chiffre de la multiplication par 3, devient 2+(-1))

18 x 142 857 = 2 571 426 (le 8, dernier chiffre de la multiplication par 4, devient 2+6)

19 x 142 857 = 2 714 283 (le 5, dernier chiffre de la multiplication par 5, devient 2+3)

20 x 142 857 = 2 857 140 (le 2, dernier chiffre de la multiplication par 6, devient 2+0)

La multiplication par 17 fait apparaître une difficulté ; la règle s'applique sans s'appliquer. En effet, le problème de la décomposition du chiffre 1 en 2+(-1) « oblige » à retirer une unité au chiffre des dizaines et à mettre 9 au niveau des unités. La permutation de 142 857 est moins visible.

La multiplication par 21 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre N en (N-2), le 2 « passant devant »

21 x 142 857 = 2 999 997 (le 9, dernier chiffre de la multiplication par 7, devient 2+7)

  Multiplications suivantes

Pour les multiplications de 22 à 28, le dernier chiffre N devient (N-3), le 3 passant devant.

Pour les multiplications de 29 à 35, le dernier chiffre N devient (N-4), le 4 passant devant.

Et ainsi de suite.

L'explication est assez simple. Tout nombre entier N peut s'écrire de façon unique (7xA+B), A étant un nombre entier et B un nombre entier compris entre 0 et 6.

La multiplication par N devient :

N x 142 857 = (7xA+B) x 142 857 = A x (7 x 142 857) + B x 142 857 = A x (999 999) + B x 142 857 = (A x 1 000 000 - A) + B x 142 857

B étant compris entre 0 et 6, le produit B x 142 857 fait apparaître la permutation.

Le terme (A x 1 000 000 - A) explique la décomposition du dernier chiffre N de la permutation en (N-A) et A « passant devant » (A millions)

Comme nous l'avons vu plus haut pour la multiplication par 17, les décompositions faisant apparaître un nombre négatif vont devenir de plus en plus fréquentes à mesure que le multiplicateur croît et la permutation deviendra de moins en moins visible.

  Addition, et carré

142 857² = 20 408 122 449

20 408 + 122 449 = 142 857

20 + 408 + 122 + 449 = 999

14 + 28 + 57 = 99

142 + 857 = 999

142 857 x 7 = 999 999

Lien avec 9, 99, 999 et 999 999

De nombreuses identités remarquables lient 142 857 aux nombres de la forme  :

7 x 142 857 = 999 999

142 + 857 = 999

14 + 28 + 57 = 99

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 ou 2 + 7 = 9

Elles sont liées au fait que 142857 est la période du développement décimal de la fraction 1/7 et se généralisent aux autres périodes de fractions du type par exemple :

• 333 (de 1/3)
• 09 (de 1/11)
• 076 923 (de 1/13)

On peut aussi remarquer que 2 est un élément d'ordre 6 modulo 9:

et l'on voit réapparaître les chiffres 1, 4, 2, 8, 5 et 7.

À partir de 7 x 142 857 = 999 999, on peut déduire

142 857 x 7 x n = (n x 1000000) - n,

ce qui permet de calculer mentalement rapidement n'importe quel multiple de 142857.

http://dictionnaire.sensagent.leparisien.fr/142%20857%20NOMBRE/fr-fr/

Nombre de Kaprekar

142 857 est un nombre de Kaprekar :

142857² = 020408 122449

142857 = 020408 + 122449

De même en le multipliant par n'importe quel nombre, en additionnant les morceaux du résultat par groupes de 6 en partant de la fin et ainsi de suite avec le nouveau résultat on obtient le nombre 142857 avec un éventuel décalage (donc 142857 x 1, 2, … ou 6) ou 999999 (= 142857 x 7), exemple :

142857 x 56 = 7999992

⇒ 7 + 999992 = 999999 = 142857 x 7

142857 x 125 = 17857125

⇒ 17 + 857125 = 857142 = 142857 x 6

142857 x 7841131285974854689745213 = 1120160492120509816412931893541

⇒ 1 + 120160 + 492120 + 509816 + 412931 + 893541 = 2428569

⇒ 2 + 428569 = 428571 = 142857 x 3

On notera également

142857⁴ = 000416 491461 893377 757601

142857 x 15 = 000416 + 491461 + 893377 + 757601

et

142857⁸ = 173465 137830 082936 774412 507898 191113 275201

142857 x 15 = 173465 + 137830 + 082936 + 774412 + 507898 + 191113 + 275201

Cette décomposition d'un multiple comme somme de sous-nombres d'une puissance est partagée par les périodes d'un développement décimal de fraction, par exemple :

• 333 (de 1/3)
• 09 (de 1/11)
• 047619 (de 1/19)
• Décomposition en produit de facteurs premiers :

  142 857 = 3³ x 11 x 13 x 37

  1/7 = 0.142857 142857 142857 …
  Ancienne approximation de pi : 22/7 = 3.142857
  326451 peut être considéré comme le jumeau de 142857…

  142857 x 3 = 428571

  142857 x 2 = 285714

  142857 x 6 = 857142

  142857 x 4 = 571428

  142857 x 5 = 714285

  142857 x 1 = 142857

  10 = 3 + (7 x 1)

  100 = 2 + (7 x 14)

  1000 = 6 + (7 x 142)

  10000 = 4 + (7 x 1428)

  100000 = 5 + (7 x 14285)

  1000000 = 1 + (7 x 142857)

  On peut visualiser certaines propriétés de 142857 avec la roue de six évoquée par Dom Néroman dans son livre la leçon de Platon.
  On y remarque que la somme des nombres opposés est égale à 9 dans la roue extérieure, et à 7 à l'intérieur

(10!+1)/7=518400.1428571428571428571428571428571428571428571428571428...

518400 secondes = 6 jours

• La fraction continue de π peut être utilisée pour générer des approximations rationnelles successives. Ce sont les meilleures approximations rationnelles possibles de π par rapport à la taille de leurs dénominateurs. Voici une liste des treize premières fractions :

${\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}}$.

10! et temps Numération factorielle

Système de numération factorielle 

Article principal: 

Système de numération factorielle

 Une autre proposition est le soi-disant système numérique factoriel : 

Base 8 7 6 5 4 3 2 1 

Valeur de position 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1! 0!

 Placez la valeur en décimal 5040 720 120 24 6 2 1 1 

Chiffre le plus élevé autorisé 7 6 5 4 3 2 1 0 

Par exemple, le plus grand nombre qui pourrait être représenté avec six chiffres serait 543210,

 ce qui équivaut à 719 en décimal : 5 × 5! + 4 × 4! + 3 × 3! + 2 × 2! + 1 × 1! 

Ce n'est peut-être pas clair à première vue, mais le système de numérotation factorielle est sans ambiguïté et complet. 

Chaque nombre peut être représenté d'une et une seule manière car la somme des factorielles respectives multipliée par l'indice est toujours la prochaine factorielle moins un:

 Il existe une correspondance naturelle entre les entiers 0, ..., n ! - 1 et permutations de n éléments dans l'ordre lexicographique, qui utilise la représentation factorielle de l'entier, suivie d'une interprétation sous forme de code de Lehmer .

 L'équation ci-dessus est un cas particulier de la règle générale suivante pour toute représentation de base de base (standard ou mixte) qui exprime le fait que toute représentation de base de base (standard ou mixte) est sans ambiguïté et complète. 

Chaque nombre peut être représenté d'une et une seule manière car la somme des poids respectifs multipliée par l'indice est toujours le poids suivant moins un: , où , qui peut être facilement prouvée par induction mathématique . 

Base mixte - https://fr.other.wiki/wiki/Mixed_Radix#Primorial_number_system

6!=720

3628800=10!=2^8*3^4*5^2*7^1
10! secondes = 6 semaines=42 jours; 1 semaine = 7 jours,1 jour= 24 heures ....
12 mois de 30 jours environ ! par an,2 semestres 4 trimestres .......

10!=6*7 jours
10! = 6!×7!

Et 60 solutions entières à z^2=10!/y
par exemple (10!/567)^1/2=80

Idem pour (11!/77)^1/2 ; 30 solutions entières
par exemple (11!/6237)^1/2=80

72 solutions à z^2=12!/y

36 solutions pour (12!/y)^1/2
par exemple 

ETC.

A comprendre !!!!!!!

les 360°, temps et fréquence , cycles par seconde .....

Mécanique "classique" : nombre définissant distances etc ..i.e; :.la matière contenant du temps (durée de vie)
mécanique quantique : chiffres définissant le temps, via la factorielle,  puis la matière......
Le chiffre n'exprime que du temps le nombre exprime temps et matière et .... position (x,y,z) ou (x,y)

Une autre manière de créer le nombre : triangle de Pascal et son lien avec Fibonacci et stirling

Neuf fois sept =63=777 777 777 ( 3^2×7×37×333667)
différent de sept fois neuf = 63 =999 999 9 ( 3^2×239×4649)
suite LS de Conway
la pensée, la parole,l'écrit et le nombre .....

le temps donne le chiffre  le nombre donne le matériel .....

12345679=37*333667 le 8 est absent


777777777=3*777*333667

1/81= 0.012345679 012345679 01....

les sept,7, présents dans la Bible , apocalypse ...

30*4!*5!= 86400 secondes = 1 jour = ....

(10!+1)/7=518400.1428571428571428571428571428571428571428571428571428...

518400 secondes = 6 jours

777777777=9*86419753
777777777=3^2×7×37×333667
777777777 divides 100^9 - 1.
factors | 777777777 :
1 | 3 | 7 | 9 | 21 | 37 | 63 | 111 | 259 | 333 | 777 | 2331 | 333667 | 1001001 | 2335669 | 3003003 | 7007007 | 12345679 | 21021021 | 37037037 | 86419753 | 111111111 | 259259259 | 777777777 (24 divisors)
7.7715611723760957829654216766357421875 × 10^-16=7/2^53

Théorème de Wilson

Un exemple d'équation diophantienne utilisant ces outils pour sa résolution est le théorème de Wilson. Il correspond à la résolution de l'équation suivante, le signe ! désignant la fonction factorielle :

Les seules valeurs de x différentes de un vérifiant cette équation sont les nombres premiers.

autre écriture :

x^2 y = x + x!

Exemples[modifier | modifier le code]

• Si p est égal à 2, alors (p – 1)! + 1 est égal à 2, un multiple de 2.
• Si p est égal à 3, alors (p – 1)! + 1 est égal à 3, un multiple de 3.
• Si p est égal à 4, alors (p – 1)! + 1 est égal à 7 qui n'est pas multiple de 4.
• Si p est égal à 5, alors (p – 1)! + 1 est égal à 25, un multiple de 5.
• Si p est égal à 6, alors (p – 1)! + 1 est égal à 121 qui n'est pas multiple de 6.
• Si p est égal à 17, alors (p – 1)! + 1 est égal à 20 922 789 888 001, un multiple de 17 car 17 × 1 230 752 346 353 = 20 922 789 888 001.

Le système de nombres factoriels fournit une représentation unique pour chaque nombre naturel, avec la restriction donnée sur les «chiffres» utilisés.

Aucun nombre ne peut être représenté de plus d'une manière car la somme des factorielles consécutives multipliée par leur indice est toujours la prochaine factorielle moins un: 

Cela peut être facilement prouvé avec une induction mathématique , ou simplement en remarquant que  : les termes suivants s'annulent, laissant le premier et le dernier terme (voir Série télescopique ) 

Cependant, lorsque vous utilisez des chiffres arabes pour écrire les chiffres (sans inclure les indices comme dans les exemples ci-dessus), leur simple concaténation devient ambiguë pour les nombres ayant un "chiffre" supérieur à 9. 

Le plus petit exemple est le nombre 10 × 10! = 36,288,000 10 , qui peut s'écrire A0000000000 ! = 10: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0 ! ,

 mais pas 100000000000 ! = 1: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0 ! ce qui dénote 11! = 39 916 800 10

 . Ainsi, en utilisant les lettres A – Z pour désigner les chiffres 10, 11, 12, ..., 35 comme dans les autres bases-N, le plus grand nombre représentable est 36 × 36! - 1.

 Pour des nombres arbitrairement plus grands, il faut choisir une base pour représenter les chiffres individuels, disons décimal, et fournir une marque de séparation entre eux (par exemple en indiquant chaque chiffre par sa base, également donnée en décimal, comme 2 4 0 3 1 2 0 1 , ce nombre peut également s'écrire 2: 0: 1: 0 ! )

 En fait, le système numérique factoriel lui-même n'est pas vraiment un système numérique dans le sens de fournir une représentation pour tous les nombres naturels en utilisant seulement un alphabet fini de symboles, car il nécessite une marque de séparation supplémentaire.

Permutations Il existe une correspondance naturelle entre les entiers 0, ...,  n ! - 1 (ou de manière équivalente les nombres à n chiffres en représentation factorielle) et permutations de n éléments dans l' ordre lexicographique , lorsque les entiers sont exprimés sous forme factoradique. 

Ce mappage a été appelé le code Lehmer (ou table d'inversion). Système de numération factorielle - https://fr.other.wiki/wiki/Factorial_number_system

Nombre cyclique, phénix

Un nombre cyclique,

 ou nombre phénix,


est un entier dont les permutations circulaires des chiffres correspondent aux multiples du nombre.


Le plus connu est 142857 :


142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

Source

où b est la base (10 dans le cas du système décimal) et p est un nombre premier ne divisant pas b. Les nombres premiers p qui génèrent des nombre cycliques sont appelés nombres premiers longs.

Par exemple, le cas b = 10, p = 7 donne le nombre cyclique 142857.

A001913

Nombre cyclique — Wikipédia (wikipedia.org)

Ordre et désordre 81

81 somme des diviseurs =121; 1, 3, 9, 27, 81

1	0,01234567901234570
2	0,02469135802469140
3	0,03703703703703700
4	0,04938271604938270
5	0,06172839506172840
6	0,07407407407407410
7	0,08641975308641970
8	0,09876543209876540
9	0,11111111111111100

dans la période du développement décimal :

1/81  manque le 8

2/81 manque le 7

3/81 == 037 ....

4/81 manque le 5

5/81 manque le 4

6/81 == 074 .....

7/81 manque le 2

8/81 manque le 1

9/81 == 1111111....

on retrouve 142857

145857*3*333667= 142999999857

http://fr.wikipedia.org/wiki/142_857_(nombre)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_cyclique


http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/N12345.htm

http://janus.free.fr/142857.html
142 857² = 20 408 122 449 (Nombre de Kaprekar)
et 20 408 + 122 449 = 142 857 !

142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99 1+4+2+8+5+7 = 27  2+7 = 9