CKPLAN

 5.55382562855700000×10^(-17)×2^64 = 1024.5

2^64=18446744073709551616

   140737488355328 = 2^47

762939453125=5^17

1024.50000000000065242385835098112

PI et CKPLAN

5.55382562855700000E-17 = CKPLAN

 décrit temps et matière

Charles Hermite :

« Je vous ferais bondir,
 si j'osais vous avouer que je n'admets aucune solution de continuité, 
aucune coupure entre les mathématiques et la physique,
 et que les nombres entiers me semblent exister en dehors de nous et en s'imposant avec la même nécessité, la même fatalité que le sodium, le potassium, etc. »


— Correspondance avec Stieltjes, janv. 1889, Paris, éd. Gauthier-Villars, 1905, t. I, p. 332

G Villemin

A

****************************************

1018510222406068776028283086741160

*

(5.55382562855700000E-17)^2

=

 3.14159265358979323108921372232545712243012

*****************************************

1415926535897932=2^2×127×137×13217×1539301

16 chiffres

somme des chiffres 79

résidu :

3108921372232545712243012=2^2×41×71×3180413×6256741×13417631

somme des chiffres 79

25 chiffres

Facteur multiplicatif(1) de CKPLAN :

1018510222406068776028283086741160

 =

 2^3×5×7×701×5189067772600717220441629747

34 chiffres

somme des chiffres : 122

On obtient 16 décimales de PI exactes

************************************************

 pi=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923...

************************************************

B

*****************************************

 1018510222406068773610166484299880 

  

*

(5.55382562855700000E-17)^2

=

3.141592653589793238462643383279503108921372232545712243012

*****************************************

somme des chiffres  231 =152+79

avec le 3 de la partie entière 234

58 chiffres avec le 3 de la partie entière

On obtient les 32 premières décimales de PI 

(0 en 32 ème position)

14159265358979323846264338327950=2×5^2×17×5521×3017199646052894050793087

Somme des chiffres 152

Résidu identique à A

3108921372232545712243012

Somme des chiffres 79

Facteur multiplicatif(2) de CKPLAN :

1018510222406068773610166484299880 

=

2^3×3^2×5×17×353×3385661×27434663×5075702558131

34 chiffres

Somme des chiffres 135

RACINE NUMÉRIQUE

La racine numérique ou résidu d’un nombre naturel est la somme itérée des valeurs associées à chacun de ses chiffres.

La preuve par neuf utilise la racine numérique d’un nombre.

EXEMPLES

• Prenons le nombre 457.
  On additionne les valeurs associées à chacun de ses chiffres, puis on reprend le processus avec les valeurs associées aux chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne reste qu’un seul chiffre.
  4 + 5 + 7 = 16 et 1 + 6 = 7.
  La racine numérique de 457 est 7.
• Prenons le nombre 4589.
  4 + 5 + 8 + 9 = 26 et 2 + 6 = 8.
  La racine numérique de 4589 est 8.

NOTE DIDACTIQUE

La notion de racine numérique d’un nombre est malheureusement peu utilisée dans l’enseignement. Elle pourrait être fort utile pour vérifier certains caractères de divisibilité. La somme digitale est également utile dans un tel cas.

Elle peut aussi être utilisée pour faire apparaitre certaines propriétés de certains nombres comme par exemple :

• la racine numérique d’un carré parfait est 1, 4, 7, ou 9.
• la racine numérique d’un nombre premier (à l’exception de 3) est 1, 2, 4, 5, 7, ou 8.

La racine numérique ou le résidu d’un nombre peuvent aussi être étudiés à l’aide de la congruence modulo n.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit ${\displaystyle n}$ un entier naturel. Pour une base ${\displaystyle b>1}$ donnée on définit la somme des chiffres de ${\displaystyle n}$ en base ${\displaystyle b}$, notée ${\displaystyle F_{b}(n):\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ par

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

où ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ est le nombre de chiffres de ${\displaystyle n}$ base ${\displaystyle b}$, et

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

est la valeur du i^ème chiffre. ${\displaystyle n}$ est un résidu si c'est un point fixe de ${\displaystyle F_{b}}$, c'est-à-dire si ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$.

En base ${\displaystyle b}$ les seuls résidus possibles sont les nombres de 0 à ${\displaystyle b-1}$. En effet si ${\displaystyle n\geq b}$ on a nécessairement ${\displaystyle F_{b}(n)<n}$ car ${\displaystyle k>1}$ et donc

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}d_{i}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$.

En revanche, si ${\displaystyle n<b}$ on a ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$.

Les seuls résidus possibles sont donc compris entre 0 et ${\displaystyle b-1}$ ; de plus, il n'y a pas de cycle en dehors des points fixes, ce qui garantit que l'application répétée de la fonction ${\displaystyle F_{b}}$ aboutit nécessairement au résidu en un nombre fini d'étapes.

Persistance additive[modifier | modifier le code]

La persistance additive d'un nombre ${\displaystyle n}$ est le nombre de fois où l'on doit sommer les chiffres pour atteindre son résidu. 

En d'autres termes, il s'agit du nombre d'itérations de ${\displaystyle F_{b}}$ nécessaires pour atteindre son point fixe.

Par exemple la persistance additive de 65 535 en base 10 est de 2, puisque l'on passe par deux étapes (25 et 7) pour atteindre le résidu.

Quelle que soit la base ${\displaystyle b}$, la persistance additive n'est pas bornée,

 c'est-à-dire qu'il existe des nombres dont la persistance additive est arbitrairement grande.

Démonstration : 

s'il existait une plus grande persistance additive M, soit n un nombre dont la persistance additive est M.

 Le nombre s'écrivant comme n fois le chiffre 1 a une persistance additive de M+1 

(il faut une étape pour sommer tous les 1 puis M étapes pour obtenir le résidu de n), 

ce qui contredit l'hypothèse.

Congruence modulo 9[modifier | modifier le code]

Le nombre 10 et ses puissances successives (100, 1000, etc.) étant congrus à 1 modulo 9,

 un nombre écrit en base 10 est congru à la somme de ses chiffres 

(propriétés algébriques des congruences).

 Ainsi, dans le cas d'un nombre à trois chiffres qui s'écrit abc, comme 10 ≡ 1 (mod 9) et 10² ≡ 1² ≡ 1(mod 9)${\displaystyle {\overline {abc}}^{10}=10^{2}a+10b+c\equiv a+b+c{\pmod {9}}.}$Cette somme étant nécessairement plus petite que le nombre initial dès que celui-ci a plusieurs chiffres, 

le procédé itératif se termine sur un nombre à un seul chiffre, non nul dès que l'entier initial est non nul. 

Celui-ci caractérise la classe de congruence puisqu'il y a exactement 9 chiffres différents de 0 et 9 classes de congruences3. 

On en déduit le reste de la division par 9 du nombre initial, appelé aussi résidu modulo 9 de ce nombre4.

• si la somme des chiffres itérée de n est 9, le reste de la division de n par 9 est 0 ;
• 
  
• sinon, la somme des chiffres itérée de n égale le reste de la division de n par 9.
• 
  

WIKIPEDIA

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Valeur approchée
x≈-5.5538256285569999868896232804644758216246×10^-17

Pour préciser le commentaire de G Villemin:

CKPLAN

 5553825628557

somme des chiffres 66

number of 2s | 2

number of 3s | 1

number of 5s | 6

number of 6s | 1

number of 7s | 1

number of 8s | 2

(digits which do not occur in the representation are omitted)

 | base representation | digit sum

base 2 | 10100001101..._2 (43 digits) | 20

base 3 | 20112222110112..._3 (27 digits) | 29

base 4 | 11003101213031..._4 (22 digits) | 27

base 5 | 12114432133301..._5 (19 digits) | 37

base 6 | 15451220421451..._6 (17 digits) | 47

base 7 | 11121516556343..._7 (16 digits) | 51

base 8 | 12064316334061..._8 (15 digits) | 45

base 9 | 21587348662063_9 | 61

5553825628557×2^65 = 2.04900000000000130484771670196224 × 10^32

CKPLAN*2^65

2049/2^65 =  5.553825628556996463203176972456276416778564453125 × 10^-17

2049/36893488147419103232