PI et CKPLAN

PI et CKPLAN

Bienvenue

“The methods of theoretical physics should be applicable to all those branches of thought in which the essential features are expressible with numbers.”

Paul Dirac ((from the speech at the Nobel Banquet in Stockholm, December 10, 1933)


"l'univers est nombre."
"l'univers est écrit en langage mathématique. " Galilée
Le nombre porte en lui sa dimension temporelle ET matérielle.



R.G.U. : Réalité Générale de l'Univers



et

le temps .






Et Dieu créa le nombre, comme mesure du temps, l'homme le chiffre.

Constante arithmétique (Cf constante cosmologique) :
CKPLAN=5,55382562855700000E-17



"13 chiffres significatifs, somme 66 "











Me signaler par E-Mail , ou au tel , les inepties, ou erreurs ou imprécisions, banalités, ouverture de portes ouvertes, en faisant référence au message ECRIT ou vous n’êtes pas d'accord ou dans le doute, ou dans la compréhension , et non pas à des considérations philosophiques ou littéraires, générales .



CARPE DIEM.



Rendons grâce à Dieu.


Suivez les mises à jour en inscrivant votre e-mail :

samedi 1 octobre 2022

142857

Tout nombre entier N peut s'écrire de façon unique (7xA+B), 
A étant un nombre entier et B un nombre entier compris entre 0 et 6.

Et je crois que j'oublie d'autres détails absolument importants, 
comme le fait que 666×667=444222 ; 
que 42 est la somme de deux nombres premiers consécutifs (42=19+23) ;
 que la plus petite façon d'écrire 1 en une somme de 4 fractions différentes est 1=1/2 + 1/3 + 1/7  + 1/42 ; 
 que le nombre 10 peut s'écrire comme somme d'entiers non nuls de 42 façons différentes ; 
qu'un nombre de la forme n7-n est toujours divisible par 42 .......

Nombre cyclique

142 857 est un nombre cyclique appelé aussi « nombre phénix » :
Les multiples successifs de 142 857 en forment les permutations circulaires :

1 x 142 857 = 142 857
2 x 142 857 = 285 714
3 x 142 857 = 428 571
4 x 142 857 = 571 428
5 x 142 857 = 714 285
6 x 142 857 = 857 142

Cette propriété est vérifiée par un nombre donné si et seulement si,
  • ce nombre est la période du développement décimal d'une fraction du type 1/n ;
  • cette période est de longueur n - 1.
Si la période est comprise entre 2 et n-2, seuls certains multiples du nombre seront une de ses permutations circulaires.
Les nombres de moins de cinquante chiffres possédant une telle propriété sont ainsi :
0 588 235 294 117 647 (16 chiffres, de 1/17) ;
052 631 578 947 368 421 (18 chiffres, de 1/19) ;
0 434 782 608 695 652 173 913 (22 chiffres, de 1/23) ;
0 344 827 586 206 896 551 724 137 931 (28 chiffres, de 1/29) ;
0 212 765 957 446 808 510 638 297 872 340 425 531 914 893 617 (46 chiffres, de 1/47).
On notera aussi les permutations circulaires suivantes :
142 857 / 2 = 71 428,5
142 857 / 5 = 28 571,4
Ou encore,
142 857 / 4 = 35714.25 (le 3 au début + le 5 à la fin = 8)

  Multiplications de 8 à 14

Nous avons vu plus haut que les multiplications de 142 857 par les nombres 1 à 6 produisaient des permutations circulaires de ce dernier.
Les multiplications de 142 857 par 8 à 13 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité que le dernier chiffre N se transforme en (N-1), l'unité « passant devant » (l'unité correspond au million)
8 x 142 857 = 1 142 856 (le 7, dernier chiffre de la multiplication par 1, devient 1+6)
9 x 142 857 = 1 285 713 (le 4, dernier chiffre de la multiplication par 2, devient 1+3)
10 x 142 857 = 1 428 570 (le 1, dernier chiffre de la multiplication par 3, devient 1+0)
11 x 142 857 = 1 571 427 (le 8, dernier chiffre de la multiplication par 4, devient 1+7)
12 x 142 857 = 1 714 284 (le 5, dernier chiffre de la multiplication par 5, devient 1+4)
13 x 142 857 = 1 857 141 (le 2, dernier chiffre de la multiplication par 6, devient 1+1)
La multiplication par 7 de 142 857 donne évidemment 999 999 (puisque 142 857 est le développement périodique de la partie décimale de la division 1/7).
On note que la multiplication par 14 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre N en (N-1), l'unité « passant devant »
14 x 142 857 = 1 999 998 (le 9, dernier chiffre de la multiplication par 7, devient 1+8)

  Multiplications de 15 à 21

Les multiplications de 142 857 par 15 à 21 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité cette fois que le dernier chiffre N se transforme en (N-2), le 2 « passant devant » (2 correspond à 2 millions)
15 x 142 857 = 2 142 855 (le 7, dernier chiffre de la multiplication par 1, devient 2+5)
16 x 142 857 = 2 285 712 (le 4, dernier chiffre de la multiplication par 2, devient 2+2)
17 x 142 857 = 2 428 569 (le 1, dernier chiffre de la multiplication par 3, devient 2+(-1))
18 x 142 857 = 2 571 426 (le 8, dernier chiffre de la multiplication par 4, devient 2+6)
19 x 142 857 = 2 714 283 (le 5, dernier chiffre de la multiplication par 5, devient 2+3)
20 x 142 857 = 2 857 140 (le 2, dernier chiffre de la multiplication par 6, devient 2+0)
La multiplication par 17 fait apparaître une difficulté ; la règle s'applique sans s'appliquer. En effet, le problème de la décomposition du chiffre 1 en 2+(-1) « oblige » à retirer une unité au chiffre des dizaines et à mettre 9 au niveau des unités. La permutation de 142 857 est moins visible.
La multiplication par 21 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre N en (N-2), le 2 « passant devant »
21 x 142 857 = 2 999 997 (le 9, dernier chiffre de la multiplication par 7, devient 2+7)

  Multiplications suivantes

Pour les multiplications de 22 à 28, le dernier chiffre N devient (N-3), le 3 passant devant.
Pour les multiplications de 29 à 35, le dernier chiffre N devient (N-4), le 4 passant devant.
Et ainsi de suite.
L'explication est assez simple. Tout nombre entier N peut s'écrire de façon unique (7xA+B), A étant un nombre entier et B un nombre entier compris entre 0 et 6.
La multiplication par N devient :
N x 142 857 = (7xA+B) x 142 857 = A x (7 x 142 857) + B x 142 857 = A x (999 999) + B x 142 857 = (A x 1 000 000 - A) + B x 142 857
B étant compris entre 0 et 6, le produit B x 142 857 fait apparaître la permutation.
Le terme (A x 1 000 000 - A) explique la décomposition du dernier chiffre N de la permutation en (N-A) et A « passant devant » (A millions)
Comme nous l'avons vu plus haut pour la multiplication par 17, les décompositions faisant apparaître un nombre négatif vont devenir de plus en plus fréquentes à mesure que le multiplicateur croît et la permutation deviendra de moins en moins visible.

  Addition, et carré

142 857² = 20 408 122 449
20 408 + 122 449 = 142 857
20 + 408 + 122 + 449 = 999
14 + 28 + 57 = 99
142 + 857 = 999
142 857 x 7 = 999 999

Lien avec 9, 99, 999 et 999 999

De nombreuses identités remarquables lient 142 857 aux nombres de la forme 10^n-1 :
7 x 142 857 = 999 999
142 + 857 = 999
14 + 28 + 57 = 99
1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 ou 2 + 7 = 9
Elles sont liées au fait que 142857 est la période du développement décimal de la fraction 1/7 et se généralisent aux autres périodes de fractions du type 1/n par exemple :
  • 333 (de 1/3)
  • 09 (de 1/11)
  • 076 923 (de 1/13)
On peut aussi remarquer que 2 est un élément d'ordre 6 modulo 9:
2^1 \mod 9 \equiv 2
2^2 \mod 9 \equiv 4
2^3 \mod 9 \equiv 8
2^4 \mod 9 \equiv 7
2^5 \mod 9 \equiv 5
2^6 \mod 9 \equiv 1
et l'on voit réapparaître les chiffres 1, 4, 2, 8, 5 et 7.
À partir de 7 x 142 857 = 999 999, on peut déduire
142 857 x 7 x n = (n x 1000000) - n,

ce qui permet de calculer mentalement rapidement n'importe quel multiple de 142857.

http://dictionnaire.sensagent.leparisien.fr/142%20857%20NOMBRE/fr-fr/


Nombre de Kaprekar


142 857 est un nombre de Kaprekar :

1428572 = 020408 122449
142857 = 020408 + 122449

De même en le multipliant par n'importe quel nombre, en additionnant les morceaux du résultat par groupes de 6 en partant de la fin et ainsi de suite avec le nouveau résultat on obtient le nombre 142857 avec un éventuel décalage (donc 142857 x 1, 2, … ou 6) ou 999999 (= 142857 x 7), exemple :

142857 x 56 = 7999992
⇒ 7 + 999992 = 999999 = 142857 x 7
142857 x 125 = 17857125
⇒ 17 + 857125 = 857142 = 142857 x 6
142857 x 7841131285974854689745213 = 1120160492120509816412931893541
⇒ 1 + 120160 + 492120 + 509816 + 412931 + 893541 = 2428569
⇒ 2 + 428569 = 428571 = 142857 x 3

On notera également

1428574 = 000416 491461 893377 757601
142857 x 15 = 000416 + 491461 + 893377 + 757601

et

1428578 = 173465 137830 082936 774412 507898 191113 275201
142857 x 15 = 173465 + 137830 + 082936 + 774412 + 507898 + 191113 + 275201

Cette décomposition d'un multiple comme somme de sous-nombres d'une puissance est partagée par les périodes d'un développement décimal de fraction, par exemple :

  • 333 (de 1/3)
  • 09 (de 1/11)
  • 047619 (de 1/19)
  • 142 857 = 33 x 11 x 13 x 37
    1/7 = 0.142857 142857 142857 …
    Ancienne approximation de pi : 22/7 = 3.142857
    326451 peut être considéré comme le jumeau de 142857…
    142857 x 3 = 428571
    142857 x 2 = 285714
    142857 x 6 = 857142
    142857 x 4 = 571428
    142857 x 5 = 714285
    142857 x 1 = 142857
    10 = 3 + (7 x 1)
    100 = 2 + (7 x 14)
    1000 = 6 + (7 x 142)
    10000 = 4 + (7 x 1428)
    100000 = 5 + (7 x 14285)
    1000000 = 1 + (7 x 142857)
    On peut visualiser certaines propriétés de 142857 avec la roue de six évoquée par Dom Néroman dans son livre la leçon de Platon.
    On y remarque que la somme des nombres opposés est égale à 9 dans la roue extérieure, et à 7 à l'intérieur
(10!+1)/7=518400.1428571428571428571428571428571428571428571428571428...
518400 secondes = 6 jours




  • La fraction continue de π peut être utilisée pour générer des approximations rationnelles successives. Ce sont les meilleures approximations rationnelles possibles de π par rapport à la taille de leurs dénominateurs. Voici une liste des treize premières fractions :
.

Aucun commentaire:

Bases de numération

From: To:
Result:
UnitConversion.org - the ultimate unit conversion resource.