Triangle d'or

 

Triangle d'or. Rapport a/b = nombre d'or φ. Angle au sommet : ${\displaystyle �}$ = 36°. Angles de base : 72° chacun.

Un triangle d'or (aigu) ou triangle sublime1 est un triangle isocèle dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est le nombre d'or ${\displaystyle �}$ :

${\displaystyle \frac{�}{�}=�=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618034}$

10! et temps Numération factorielle

Système de numération factorielle 

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Système de numération factorielle

 Une autre proposition est le soi-disant système numérique factoriel : 

Base 8 7 6 5 4 3 2 1 

Valeur de position 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1! 0!

 Placez la valeur en décimal 5040 720 120 24 6 2 1 1 

Chiffre le plus élevé autorisé 7 6 5 4 3 2 1 0 

Par exemple, le plus grand nombre qui pourrait être représenté avec six chiffres serait 543210,

 ce qui équivaut à 719 en décimal : 5 × 5! + 4 × 4! + 3 × 3! + 2 × 2! + 1 × 1! 

Ce n'est peut-être pas clair à première vue, mais le système de numérotation factorielle est sans ambiguïté et complet. 

Chaque nombre peut être représenté d'une et une seule manière car la somme des factorielles respectives multipliée par l'indice est toujours la prochaine factorielle moins un:

 Il existe une correspondance naturelle entre les entiers 0, ..., n ! - 1 et permutations de n éléments dans l'ordre lexicographique, qui utilise la représentation factorielle de l'entier, suivie d'une interprétation sous forme de code de Lehmer .

 L'équation ci-dessus est un cas particulier de la règle générale suivante pour toute représentation de base de base (standard ou mixte) qui exprime le fait que toute représentation de base de base (standard ou mixte) est sans ambiguïté et complète. 

Chaque nombre peut être représenté d'une et une seule manière car la somme des poids respectifs multipliée par l'indice est toujours le poids suivant moins un: , où , qui peut être facilement prouvée par induction mathématique . 

Base mixte - https://fr.other.wiki/wiki/Mixed_Radix#Primorial_number_system

6!=720

3628800=10!=2^8*3^4*5^2*7^1
10! secondes = 6 semaines=42 jours; 1 semaine = 7 jours,1 jour= 24 heures ....
12 mois de 30 jours environ ! par an,2 semestres 4 trimestres .......

10!=6*7 jours
10! = 6!×7!

Et 60 solutions entières à z^2=10!/y
par exemple (10!/567)^1/2=80

Idem pour (11!/77)^1/2 ; 30 solutions entières
par exemple (11!/6237)^1/2=80

72 solutions à z^2=12!/y

36 solutions pour (12!/y)^1/2
par exemple 

ETC.

A comprendre !!!!!!!

les 360°, temps et fréquence , cycles par seconde .....

Mécanique "classique" : nombre définissant distances etc ..i.e; :.la matière contenant du temps (durée de vie)
mécanique quantique : chiffres définissant le temps, via la factorielle,  puis la matière......
Le chiffre n'exprime que du temps le nombre exprime temps et matière et .... position (x,y,z) ou (x,y)

Une autre manière de créer le nombre : triangle de Pascal et son lien avec Fibonacci et stirling

Neuf fois sept =63=777 777 777 ( 3^2×7×37×333667)
différent de sept fois neuf = 63 =999 999 9 ( 3^2×239×4649)
suite LS de Conway
la pensée, la parole,l'écrit et le nombre .....

le temps donne le chiffre  le nombre donne le matériel .....

12345679=37*333667 le 8 est absent


777777777=3*777*333667

1/81= 0.012345679 012345679 01....

les sept,7, présents dans la Bible , apocalypse ...

30*4!*5!= 86400 secondes = 1 jour = ....

(10!+1)/7=518400.1428571428571428571428571428571428571428571428571428...

518400 secondes = 6 jours

777777777=9*86419753
777777777=3^2×7×37×333667
777777777 divides 100^9 - 1.
factors | 777777777 :
1 | 3 | 7 | 9 | 21 | 37 | 63 | 111 | 259 | 333 | 777 | 2331 | 333667 | 1001001 | 2335669 | 3003003 | 7007007 | 12345679 | 21021021 | 37037037 | 86419753 | 111111111 | 259259259 | 777777777 (24 divisors)
7.7715611723760957829654216766357421875 × 10^-16=7/2^53

Théorème de Wilson

Un exemple d'équation diophantienne utilisant ces outils pour sa résolution est le théorème de Wilson. Il correspond à la résolution de l'équation suivante, le signe ! désignant la fonction factorielle :

Les seules valeurs de x différentes de un vérifiant cette équation sont les nombres premiers.

autre écriture :

x^2 y = x + x!

Exemples[modifier | modifier le code]

• Si p est égal à 2, alors (p – 1)! + 1 est égal à 2, un multiple de 2.
• Si p est égal à 3, alors (p – 1)! + 1 est égal à 3, un multiple de 3.
• Si p est égal à 4, alors (p – 1)! + 1 est égal à 7 qui n'est pas multiple de 4.
• Si p est égal à 5, alors (p – 1)! + 1 est égal à 25, un multiple de 5.
• Si p est égal à 6, alors (p – 1)! + 1 est égal à 121 qui n'est pas multiple de 6.
• Si p est égal à 17, alors (p – 1)! + 1 est égal à 20 922 789 888 001, un multiple de 17 car 17 × 1 230 752 346 353 = 20 922 789 888 001.

Le système de nombres factoriels fournit une représentation unique pour chaque nombre naturel, avec la restriction donnée sur les «chiffres» utilisés.

Aucun nombre ne peut être représenté de plus d'une manière car la somme des factorielles consécutives multipliée par leur indice est toujours la prochaine factorielle moins un: 

Cela peut être facilement prouvé avec une induction mathématique , ou simplement en remarquant que  : les termes suivants s'annulent, laissant le premier et le dernier terme (voir Série télescopique ) 

Cependant, lorsque vous utilisez des chiffres arabes pour écrire les chiffres (sans inclure les indices comme dans les exemples ci-dessus), leur simple concaténation devient ambiguë pour les nombres ayant un "chiffre" supérieur à 9. 

Le plus petit exemple est le nombre 10 × 10! = 36,288,000 10 , qui peut s'écrire A0000000000 ! = 10: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0 ! ,

 mais pas 100000000000 ! = 1: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0: 0 ! ce qui dénote 11! = 39 916 800 10

 . Ainsi, en utilisant les lettres A – Z pour désigner les chiffres 10, 11, 12, ..., 35 comme dans les autres bases-N, le plus grand nombre représentable est 36 × 36! - 1.

 Pour des nombres arbitrairement plus grands, il faut choisir une base pour représenter les chiffres individuels, disons décimal, et fournir une marque de séparation entre eux (par exemple en indiquant chaque chiffre par sa base, également donnée en décimal, comme 2 4 0 3 1 2 0 1 , ce nombre peut également s'écrire 2: 0: 1: 0 ! )

 En fait, le système numérique factoriel lui-même n'est pas vraiment un système numérique dans le sens de fournir une représentation pour tous les nombres naturels en utilisant seulement un alphabet fini de symboles, car il nécessite une marque de séparation supplémentaire.

Permutations Il existe une correspondance naturelle entre les entiers 0, ...,  n ! - 1 (ou de manière équivalente les nombres à n chiffres en représentation factorielle) et permutations de n éléments dans l' ordre lexicographique , lorsque les entiers sont exprimés sous forme factoradique. 

Ce mappage a été appelé le code Lehmer (ou table d'inversion). Système de numération factorielle - https://fr.other.wiki/wiki/Factorial_number_system

Charles Hermite

 De manière cohérente, 

Hermite voit le travail du mathématicien comme proche de celui du naturaliste : 

récolter des exemples,

 les comparer et les observer, 

les classer.

 Plusieurs de ses positions sont d'ailleurs partagées par ses correspondants, 

comme Thomas Stieltjes ou Leo Königsberger.

 Hermite approuve par exemple une phrase de Königsberger : 

« Il me semble que la tâche principale, actuellement, de même que pour l’histoire naturelle descriptive, consiste à amasser le plus possible de matériaux, et à découvrir des principes en classant et décrivant ces matériaux16 ».

 

Nombre pentagonal

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Représentation des quatre premiers nombres pentagonaux : la représentation du n-ième s'obtient en entourant la précédente d'un pentagone comportant 3n – 2 nouveaux points.

Les quatre premiers nombres pentagonaux sont1, 1 + 4 = 5, 5 + 7 = 12 et 12 + 10 = 22.

En mathématiques, un nombre pentagonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un pentagone. Pour tout entier n ≥ 1, d'après les formules générales pour les nombres polygonaux, le n-ième nombre pentagonal est donc la somme des n premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 31 :

${\displaystyle {�}_{5,�}=1+4+\cdots +(3�-2)=\frac{�(3�-1)}{2}=\frac{1}{3}{�}_{3,3�-1},}$

soit le tiers du (3n – 1)-ième nombre triangulaire et les dix premiers sont 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117 et 145 (suite A000326 de l'OEIS).

Les nombres pentagonaux sont importants dans la théorie des partitions d'entiers d'Euler et interviennent par exemple dans son théorème des nombres pentagonaux.

Test des nombres pentagonaux[modifier | modifier le code]

Un réel positif x est pentagonal si et seulement si l'équation du second degré 3n² – n – 2x possède une solution entière n > 0, c'est-à-dire si le réel suivant est entier :

${\displaystyle �=\frac{1+\sqrt{24�+1}}{6}.}$

Lorsque n est entier, x est le n-ième nombre pentagonal.

Nombres pentagonaux généralisés[modifier | modifier le code]

Les nombres pentagonaux généralisés sont les nombres de la forme n(3n – 1)/2, mais avec n entier relatif, ou encore : les nombres de la forme n(3n ± 1)/2 avec n entier naturel. Les vingt premiers termes de cette suite d'entiers sont 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126 et 145 (suite A001318 de l'OEIS).

Nombre pentatopique

 

Pentatope number

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Derivation of pentatope numbers from a left-justified Pascal's triangle

A pentatope number is a number in the fifth cell of any row of Pascal's triangle starting with the 5-term row 1 4 6 4 1, either from left to right or from right to left.

The first few numbers of this kind are:

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365 (sequence A000332 in the OEIS)

A pentatope with side length 5 contains 70 3-spheres. Each layer represents one of the first five tetrahedral numbers. For example, the bottom (green) layer has 35 spheres in total.

Pentatope numbers belong to the class of figurate numbers, which can be represented as regular, discrete geometric patterns.^[1]

Formula[edit]

The formula for the nth pentatope number is represented by the 4th rising factorial of n divided by the factorial of 4:

${\displaystyle {�}_{�}=\frac{�!}{4!(�-4)!}=\frac{�(�+1)(�+2)(�+3)}{24}.}$

The pentatope numbers can also be represented as binomial coefficients:

${\displaystyle {�}_{�}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{�+3}{4}),}$

which is the number of distinct quadruples that can be selected from n + 3 objects, and it is read aloud as "n plus three choose four".

Properties[edit]

Two of every three pentatope numbers are also pentagonal numbers. To be precise, the (3k − 2)th pentatope number is always the (3k² − k/2)th pentagonal number and the (3k − 1)th pentatope number is always the (3k² + k/2)th pentagonal number. The (3k)th pentatope number is the generalized pentagonal number obtained by taking the negative index −3k² + k/2 in the formula for pentagonal numbers. (These expressions always give integers).^[2]

The infinite sum of the reciprocals of all pentatope numbers is 4/3.^[3] This can be derived using telescoping series.

${\displaystyle \sum _{�=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4!}{�(�+1)(�+2)(�+3)}=\frac{4}{3}.}$

Pentatope numbers can be represented as the sum of the first n tetrahedral numbers:^[2]

${\displaystyle {�}_{�}=\sum _{�=1}^{�}�{�}_{�},}$

and are also related to tetrahedral numbers themselves:

${\displaystyle {�}_{�}=\frac{1}{4}(�+3)�{�}_{�}.}$

No prime number is the predecessor of a pentatope number (it needs to check only -1 and 4=2²), and the largest semiprime which is the predecessor of a pentatope number is 1819.

Similarly, the only primes preceding a 6-simplex number are 83 and 461.

Test for pentatope numbers[edit]

We can derive this test from the formula for the nth pentatope number.

Given a positive integer x, to test whether it is a pentatope number we can compute

${\displaystyle �=\frac{\sqrt{5+4\sqrt{24�+1}}-3}{2}.}$^{[citation needed]}

The number x is pentatope if and only if n is a natural number. In that case x is the nth pentatope number.

Generating function[edit]

The generating function for pentatope numbers is^[4]

${\displaystyle \frac{�}{(1-�{)}^5}=�+5{�}^2+15{�}^3+35{�}^4+\dots .}$

Applications[edit]

In biochemistry, the pentatope numbers represent the number of possible arrangements of n different polypeptide subunits in a tetrameric (tetrahedral) protein.

Nombre pentatopique

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Un pentatope à 70 sphères. Chaque niveau représente un des 5 premiers nombres tétraédriques. Par exemple, le niveau vert possède 35 sphères en tout.

Un nombre pentatopique est un nombre de la cinquième diagonale descendante du triangle de Pascal. Les premiers nombres de cette sorte sont 1, 5, 15, 35, 70, et 126.

Les nombres pentatopiques sont des nombres figurés. Ils peuvent idéalement être représentés en dimension 4 par un polytope constitué d'un empilement de tétraèdres réguliers.

Le nombre pentatopique de rang n est donc la somme des n premiers nombres tétraédriques

${\displaystyle {�}_4(�)=\sum _{�=1}^{�}{�}_3(�)=\sum _{�=1}^{�}(\genfrac{}{}{0ex}{}{�+2}{3})}$

On obtient donc la formule

${\displaystyle {�}_4(�)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{�+3}{4})}$

Il n'est donc pas surprenant de les rencontrer dans la cinquième diagonale du triangle de Pascal.