décomposition de la lumière du soleil : Péguérinos Espagne

Code de Lehmer permutohedron

 Le code de Lehmer, attribué à Derrick Lehmer1, mais connu depuis 1888 au moins2, associe à une permutation  σ  des éléments de  l'application  ƒ=L(σ)  définie3 sur  par

${\displaystyle f(i)={\text{Card}}\left\{j\ |\ 1\leq j\leq i{\text{ et }}\sigma (j)\leq \sigma (i)\right\}=L(\sigma ,i).}$

Les applications ƒ, encodant des permutations de ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathfrak {S}}_{n},\ }$ peuvent être identifiées aux suites ${\displaystyle \scriptstyle \ \left(f(i)\right)_{1\leq i\leq n}.\ }$ Comme

${\displaystyle 1\leq f(i)\leq i,}$

le code de Lehmer établit une correspondance L entre l'ensemble ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathfrak {S}}_{n}\ }$ et le produit cartésien

${\displaystyle [\![1,1]\!]\times [\![1,2]\!]\times [\![1,3]\!]\times \dots \times [\![1,n]\!].}$

Décodage[modifier | modifier le code]

Propriété — Le code de Lehmer L est une bijection de ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathfrak {S}}_{n}\ }$ dans ${\displaystyle \scriptstyle \ [\![1,1]\!]\times [\![1,2]\!]\times [\![1,3]\!]\times \dots \times [\![1,n]\!].}$

Un algorithme[modifier | modifier le code]

Un algorithme simple permet de reconstituer σ à partir de ƒ=L(σ). Par exemple, le code ƒ=113252 correspond à une permutation σ telle que σ(6)=2. En effet on voit que, par définition, L(σ,n)=σ(n). C'est le premier pas de l'algorithme :

• σ^-1=x6xxxx ;

l'avant-dernier terme de la suite ƒ, égal à L(σ,5)=5, signifie que parmi les 5 images possibles pour 5, (1,3,4,5,6), il faut choisir la 5^e, σ(5)=6 :

• σ^-1=x6xxx5 ;

le terme 2=L(σ,4), en 4^e position de la suite ƒ, signifie que parmi les 4 images possibles pour 4, (1,3,4,5), il faut choisir la 2^e, σ(4)=3 :

• σ^-1=x64xx5 ;

le terme 3=L(σ,3), en 3^e position de la suite ƒ, signifie que parmi les 3 images possibles pour 3, (1,4,5), il faut choisir σ(3)=5 :

• σ^-1=x64x35 ;

on termine avec σ(2)=1 :

• σ^-1=264x35 ;

puis σ(1)=4 :

• σ^-1=264135 ;

on a donc σ=(4,1,5,3,6,2). Il est clair d'après le déroulement de l'algorithme qu'à chaque pas, il y a exactement un choix pour σ(k). Donc chaque suite ƒ de ${\displaystyle \scriptstyle \ [\![1,1]\!]\times [\![1,2]\!]\times [\![1,3]\!]\times \dots \times [\![1,n]\!]\ }$ possède un antécédent et un seul dans ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathfrak {S}}_{n}.}$

Un algorithme alternatif[modifier | modifier le code]

Une autre possibilité est de construire σ^-1 directement à partir de ƒ=113252 de la manière suivante :

• insérer 1 à la 1^re et seule place possible dans la suite x, ce qui donne 1,
• insérer 2 à la 1^re des places possibles dans la suite x1x, ce qui donne 21,
• insérer 3 à la 3^e des places possibles dans la suite x2x1x, ce qui donne 213,
• insérer 4 à la 2^e des places possibles dans la suite x2x1x3x, ce qui donne 2413,
• insérer 5 à la 5^e des places possibles dans la suite x2x4x1x3x, ce qui donne 24135,
• insérer 6 à la 2^e des places possibles dans la suite x2x4x1x3x5x, ce qui donne 264135.

On peut maintenant déduire σ de σ^-1. Cette construction est justifiée par l'observation suivante : par définition, ƒ(i) est le rang de σ(i) quand on range la suite (σ(1), σ(2), σ(3), ... , σ(i-1), σ(i)) dans l'ordre croissant.

Applications en combinatoire et en probabilités[modifier | modifier le code]

Indépendance des rangs relatifs[modifier | modifier le code]

Ces applications découlent d'une propriété immédiate du code de Lehmer L(σ) vu comme suite de nombres entiers.

Propriété — Sous la loi uniforme sur ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathfrak {S}}_{n},\ }$ L est une suite de variables indépendantes et uniformes ; L(i) suit la loi uniforme sur ${\displaystyle \scriptstyle \ [\![1,i]\!]\ }$.

En d'autres termes, si on tire une permutation aléatoire ω au hasard dans ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathfrak {S}}_{n},\ }$ avec équiprobabilité (chaque permutation a une probabilité 1/n! d'être choisie), alors son code de Lehmer ƒ=L(ω)=(L(1,ω), L(2,ω), L(3,ω), ... , L(n,ω)) est une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes. Cela contraste avec le comportement probabiliste de la suite (ω(1), ω(2), ω(3), ... , ω(n)) des images des entiers par la permutation aléatoire ω, qui fournit la description la plus naturelle de ω, mais qui est une suite de variables aléatoires dépendantes, donc moins maniable pour effectuer des calculs de probabilités. L'indépendance des composantes de L résulte d'un principe général concernant les variables aléatoires uniformes sur un produit cartésien.

Nombre de records[modifier | modifier le code]

Définition — Dans une suite u=(u_k)_1≤k≤n, il y a record vers le bas (resp. vers le haut) au rang k si u_k est strictement plus petit (resp. strictement plus grand) que chaque terme u_i tel que i<k.

Soit B(k) (resp. H(k)) l'évènement "il y a record vers le bas (resp. vers le haut) au rang k" , i.e. B(k) est l'ensemble des permutations de ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathfrak {S}}_{n}\ }$ qui présentent un record vers le bas au rang k. On a clairement

${\displaystyle \{\omega \in B(k)\}\Leftrightarrow \{L(k,\omega )=1\}\quad {\text{et}}\quad \{\omega \in H(k)\}\Leftrightarrow \{L(k,\omega )=k\}.}$

Ainsi le nombre N_b(ω) (esp. N_h(ω)) de records vers le bas (resp. vers le haut) de la permutation ω s'écrit comme une somme de variables de Bernoulli indépendantes de paramètres respectifs 1/k :

${\displaystyle N_{b}(\omega )=\sum _{1\leq k\leq n}\ 1\!\!1_{B(k)}\quad {\text{et}}\quad N_{b}(\omega )=\sum _{1\leq k\leq n}\ 1\!\!1_{H(k)}.}$

En effet, comme L(k) suit la loi uniforme sur ${\displaystyle \scriptstyle \ [\![1,k]\!],\ }$

${\displaystyle \mathbb {P} (B(k))=\mathbb {P} (L(k)=1)=\mathbb {P} (H(k))=\mathbb {P} (L(k)=k)={\tfrac {1}{k}}.}$

La fonction génératrice de la variable de Bernoulli ${\displaystyle 1\!\!1_{B(k)}}$ est

${\displaystyle G_{k}(s)={\frac {k-1+s}{k}},}$

donc la fonction génératrice de N_b est

${\displaystyle G(s)=\prod _{k=1}^{n}G_{k}(s)\ =\ {\frac {(s)_{\uparrow n}}{n!}},}$

ce qui permet de retrouver la forme produit de la série génératrice des nombres de Stirling de première espèce (non signés).

Nombre de cycles[modifier | modifier le code]

La correspondance fondamentale de Foata entraine que la loi de probabilité de N_b est aussi la loi du nombre de cycles de la décomposition d'une permutation tirée au hasard.

Le permutohedron de l’ordre n a n! vertices, dont chacun est adjacent à n − 1 autres. Le nombre de bords est (n − 1) n!/2, et leur longueur est √2.

Deux vertices connectés diffèrent en échangeant deux coordonnées, dont les valeurs diffèrent de 1. ^[3] La paire de places échangées correspond à la direction du bord. (Dans l’image de l’exemple, les vertices (3, 2, 1, 4) et (2, 3, 1, 4) sont reliées par un bord bleu et diffèrent en échangeant 2 et 3 sur les deux premières places. Les valeurs 2 et 3 diffèrent par 1. Tous les bords bleus correspondent à des swaps de coordonnées sur les deux premières places.)

Le nombre de facettes est de 2ⁿ − 2, parce qu’ils correspondent à des sous-ensembles appropriés non vides S de {1 ... n}. Les vertices d’une facette correspondant au sous-ensemble S ont en commun, que leurs coordonnées sur les endroits en S sont plus petites que les autres. ^[4]

PI existence

 

Cosmos

 

Symbologie et Théorie des « formes symboliques »

L’histoire de la philosophie regorge d’usage de symbole. Héraclite fait du mythe un symbole de vérité. La philosophie de Platon est éminemment symbolique. Par exemple dans sa conception de l’amour en forme d’âme sœur, et dans sa célèbre allégorie de la caverne.

Ainsi les nombres peuvent être vus comme porteurs de sens et de valeurs hors fonction « arithmétique ». En philosophie, le symbole désigne un signe concret évoquant, de par sa nature, quelque chose d’imperceptible. Le nombre, abstrait par essence, ne peut être vu comme un symbole. Pourtant, de nombreuses études mentionnent les associations mentales issues de cette abstraction.

En voulant expliquer le lien Symbole-Nombre, Ernst Cassirer, philosophe allemand, voit le nombre comme une « forme symbolique », un invariant de la culture humaine. Selon lui, les formes « primitives » de la pensée en « symbole » pour se représenter le monde seraient le point de départ d’une genèse des formes culturelles plus sophistiquées.

En somme, le symbole produit par l’esprit permet à l’être humain de toujours mieux appréhender le monde qui l’entoure. Il produit des connaissances par la structure au moyen de concepts et idées toujours plus exactes. Démarrons cette histoire avec Pythagore.

Pythagore, la mystique et la musique des nombres

Le Tétraktys, symbole de la symbolique pythagoricienne. Wikimedia, CC BY

Philolaos de Crotone, membre du groupe des pythagoriciens, établit ainsi une synesthésie (association de deux ou plusieurs sens à partir d’un seul stimulus) entre la géométrie et le chiffre. Le Un signifiait le tout, l’unique. Il était symbolisé par le point. Le deux, la dualité, la droite le symbolise. Le trois englobe dualité et unicité. C’est le plan. Le quatre est la tétrade (saisons, éléments). C’est un volume géométrique. La somme des 4 premiers nombres donne 10. Ils forment le Tétraktys, symbole pythagoricien par excellence. A la Renaissance, il sera repris dans la philosophie néoplatonicienne de Nicolas de Cues

Les pythagoriciens érigeaient les mathématiques en spiritualité et les nombres en symboles mystiques. Pythagore développa toute une symbolique associant nombre, élément géométrique mais aussi gamme musicale et organisation du Cosmos. Platon, via Socrate, identifie Idées et Nombres en distinguant ces derniers de leur valeur purement arithmétique : ce qui est un participe à l’Idée de « 1 » (Monade), ce qui est deux à l’Idée de « 2 » (Dyade). Pythagore sépare la valeur purement arithmétique du nombre pour le transformer en « Idée ». Celle-ci pourra être utilisée en tant que symbole auqeul on affectera différentes propriétés géométriques, philosophiques, etc.

La pensée pythagoricienne se résume par une formule : « les choses sont des nombres ». Les principes des mathématiques sont les principes de tous les êtres.

Platon (à gauche) et Pythagore (à droite) dans l’Ecole d’Athènes de Raphaël, exposé au Musée du Vatican à Rome. Wikimedia, CC BY

Dans le Timée, Platon décrit comment le Démiurge modèle le Cosmos à l’aide d’une habile structure harmonique basée sur des calculs d’influence pythagoricienne : une double progression géométrique de raison 2 (1, 2, 4, 8) et 3 (1, 3, 9, 27). La première donne les octaves par doublement successifs des intervalles (1, 2, 4, 8 = Do1, Do2, Do3, Do4…), alors que la suivante forme les douzièmes justes (1 = Do, 3 = Sol, 9 = Ré, 27 = La, 81 = Mi, 243 = Si…). On peut alors combler les intervalles musicaux doubles ou triples pour former la gamme complète dite de Pythagore. Toutes ces idées seront reprises bien plus tard par Kepler.

Quelques nombres symboliques en mathématiques

Certains nombres en mathématiques ont acquis un statut de « superstar » en termes de popularité historique pour ce qu’ils incarnent en plus de leur valeur arithmétique. Des nombres qui font le liant et le lien entre les mathématiques, les sciences naturelles, la philosophie, les lettres et les arts.

Parmi eux on trouve Pi et Phi alias le nombre d’or (encore appelé la divine proportion à la Renaissance). Ce dernier est connu comme la solution positive de l’équation x² = x + 1, mais son usage est déjà connu des pythagoriciens pour l’étude des polyèdres.

C’est en voulant décrire la croissance d’une population de lapins, que Fibonacci définit la suite, dite de Fibonacci. Cette suite a pour limite le nombre d’or. Les étamines d’un tournesol engendrent des spirales logarithmiques liées à cette suite donc au nombre d’or.

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À lire aussi : La merveilleuse présence des mathématiques dans la nature

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À la fin du XV^e siècle, Luca Pacioli rédige un livre intitulé La divine proportion, illustré par Léonard de Vinci et son célèbre Homme de Vitruve. Le nombre d’or revêt la forme symbolique et sera présent dans les Arts. Au XX^e siècle, compositeur Iannis Xenakis l’utilise pour certaines de ses compositions, mais il passionne aussi l’architecte Le Corbusier et l’écrivain Paul Valéry (Cantique des colonnes (1922)).

L’Homme de Vitruve. Léonardo Da Vinci. Pixabay, CC BY

Autre nombre laissant présager de l’existence d’une transcendance esthétique : Pi. Défini initialement comme le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien, ce nombre irrationnel, (il n’est pas possible de l’écrire comme une fraction de deux nombres entiers) et transcendant, (il ne pourrait être solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers) représente une sorte d’infini abstrait, un défi à l’entendement humain. Il fascine depuis plus de 4000 ans.

Le « e » de Google est-il « exponentielle » ?

Le nom de l’entreprise Google a pour origine le terme mathématique « googol » (gogol en français), qui désigne 10¹⁰⁰, c’est-à-dire un nombre commençant par 1 suivi de cent zéros. Ce nombre exprime les dimensions potentiellement colossales et universelles du monde d’internet, et reflète la vocation initiale d’activité de l’entreprise : organiser l’immense volume d’information disponible sur le Web et dans le monde.

Quel est le lien avec « e » la base des logarithmes naturels, c’est-à-dire le nombre défini par ln(e) = 1, cette constante mathématique, également appelée nombre d’Euler et qui vaut environ 2,71828 ? Voici la réponse…

Pour son introduction en bourse en 2004, Google a annoncé vouloir lever non pas un chiffre rond comme c’est généralement le cas, mais 2 718 281 828 dollars, soit « e » milliards de dollars. Google est aussi à l’origine d’une campagne de recrutement originale en juillet 2004 : des panneaux mentionnant ({premier nombre premier à 10 chiffres trouvé dans les décimales successives de e}.com) affichés dans certains campus américains incitaient les curieux à visiter un site (aujourd’hui disparu) « 7427466391.com ». Là, le visiteur devait résoudre un problème encore plus difficile, qui lui-même le renvoyait sur le site Google Labs où il était invité à soumettre un CV. Le premier nombre premier à 10 chiffres dans les décimales de e est 7 427 466 391, qui commence à la 99^e décimale.

 

Un jour = 24 heures ....

Tore

 Équation cartésienne :  soit 

Tore (mathcurve.com)

Électrodynamique quantique et Diagrammes de Feynman

 

Système d'unités de Planck

 Les unités de Planck sont alors ainsi définies :

Nom	Dimension	Formule	Valeur approchée (en unités du SI)
Longueur de Planck	longueur (L)	${\displaystyle l_{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {G\hbar }{c^{3}}}}}$	1,616 × 10−35 m
Masse de Planck	masse (M)	${\displaystyle m_{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {c\hbar }{G}}}}$	2,177 × 10−8 kg
Temps de Planck	temps (T)	${\displaystyle t_{\mathrm {P} }={\frac {l_{\mathrm {P} }}{c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}}$	5,391 × 10−44 s
Température de Planck	température (Θ)	${\displaystyle T_{\mathrm {P} }={\frac {m_{\mathrm {P} }c^{2}}{k_{B}}}={\frac {\sqrt {c^{5}{\frac {\hbar }{G}}}}{k_{B}}}}$	1,416 833 139 × 1032 K
Charge de Planck	charge électrique (Q)	${\displaystyle q_{\mathrm {P} }={\sqrt {c\hbar 4\pi \varepsilon _{0}}}}$	1,875 × 10−18 C

Inversement, les constantes de la physique peuvent être exprimées simplement en utilisant les unités de base de Planck :

• ${\displaystyle c={\frac {l_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }}}}$
• ${\displaystyle \hbar ={\frac {m_{\mathrm {P} }l_{\mathrm {P} }^{2}}{t_{\mathrm {P} }}}}$
• ${\displaystyle G={\frac {l_{\mathrm {P} }^{3}}{m_{\mathrm {P} }t_{\mathrm {P} }^{2}}}}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}={\frac {q_{\mathrm {P} }^{2}t_{\mathrm {P} }^{2}}{4\pi m_{\mathrm {P} }l_{\mathrm {P} }^{3}}}}$
• ${\displaystyle k_{B}={\frac {m_{\mathrm {P} }l_{\mathrm {P} }^{2}}{t_{\mathrm {P} }^{2}T_{\mathrm {P} }}}}$

Unités dérivées[modifier | modifier le code]

À partir des unités de base il est bien entendu possible de définir n'importe quelle unité physique. Les unités dérivées effectivement intéressantes sont celles qui auront une signification physique en termes de maximum ou minimum atteignable par une certaine entité.

Nom	Dimension	Formule	Valeur approchée (en unités du SI)
Force de Planck	force (M L T-2)	${\displaystyle F_{\mathrm {P} }={\frac {m_{\mathrm {P} }l_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }^{2}}}={\frac {c^{4}}{G}}}$	1,210 × 1044 N
Énergie de Planck	énergie (M L2 T-2)	${\displaystyle E_{\mathrm {P} }=F_{\mathrm {P} }l_{\mathrm {P} }=c^{2}{\sqrt {\frac {c\hbar }{G}}}}$	1019 GeV = 1,956 × 109 J
Puissance de Planck	puissance (M L2 T-3)	${\displaystyle P_{\mathrm {P} }={\frac {E_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }}}={\frac {c^{5}}{G}}}$	3,629 × 1052 W
Quantité de mouvement de Planck	Quantité de mouvement (M L T-1)	${\displaystyle p={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}}$	6.5 N.s
Densité de Planck	masse volumique (M L-3)	${\displaystyle \rho _{\mathrm {P} }={\frac {m_{\mathrm {P} }}{l_{\mathrm {P} }^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}}$	5,1 × 1096 kg/m3
Fréquence de Planck	fréquence (T-1)	${\displaystyle \omega _{\mathrm {P} }={\frac {1}{t_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}}$	1,855 × 1043 rad/s
Pression de Planck	pression (M L-1 T-2)	${\displaystyle p_{\mathrm {P} }={\frac {F_{\mathrm {P} }}{l_{\mathrm {P} }^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}$	4,635 × 10113 Pa
Courant de Planck	courant électrique (Q T-1)	${\displaystyle I_{\mathrm {P} }={\frac {q_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \varepsilon _{0}}{G}}}}$	3,479 × 1025 A
Tension de Planck	tension (M L2 T-2 Q-1)	${\displaystyle V_{\mathrm {P} }={\frac {E_{\mathrm {P} }}{q_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \varepsilon _{0}}}}}$	1,043 2 × 1027 V
Impédance de Planck	résistance électrique (M L2 T-1 Q-2)	${\displaystyle Z_{\mathrm {P} }={\frac {V_{\mathrm {P} }}{I_{\mathrm {P} }}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}}$	2,998 6 × 101 Ω
Masse linéique de Planck	(M L-1)	${\displaystyle \lambda ={\frac {m_{l}}{l_{\mathrm {P} }}}={\frac {c^{2}}{G}}}$	1,346 64 × 1027 kg m−1
Impédance mécanique de Planck	(M T-1)	${\displaystyle D={\frac {m_{l}}{t_{\mathrm {P} }}}={\frac {c^{3}}{G}}}$	4,037 11 × 1035 kg s−1

La masse linéique de Planck est le rapport de la masse au rayon d'un trou noir de Schwarzschild, de compacité égale à un.

Normalisations alternatives[modifier | modifier le code]

Le facteur 4π[modifier | modifier le code]

Comme indiqué ci-dessus, les unités de Planck sont définies en « normalisant » à l'unité la valeur numérique de certaines constantes fondamentales. Cependant, le choix des constantes à normaliser n'est pas unique, et le choix habituellement présenté n'est pas nécessairement le meilleur. De plus, ces constantes fondamentales se retrouvent dans différentes équations de physiques parfois affectées d'une constante numérique différente, et il n'est pas évident de choisir celle des équations qui devra être ainsi simplifiée au détriment des autres.

Le facteur 4π, par exemple, est omniprésent en physique théorique, fondamentalement parce que dans un espace à trois dimensions8 la surface d'une sphère de rayon r est 4π.r². C'est fondamentalement pour cette raison, et à cause des différentes lois de conservation du flux, et du calcul de divergence appliqués à la densité de flux, que beaucoup de phénomènes physiques suivent une loi en carré inverse, comme la loi de Gauss ou la loi de l'attraction universelle. Le champ gravitationnel ou le champ électrique produit par une particule ponctuelle a une symétrie sphérique ; et le facteur 4π qui apparaît par exemple dans l'expression de la loi de Coulomb vient de ce que le flux d'un champ électrostatique est uniformément réparti sur la surface de la sphère, et que son intégrale sur la sphère (qui donne le flux total) se conserve quand le rayon de cette sphère varie — mais il en est fondamentalement de même pour le champ gravitationnel.

Dans la réduction des lois physiques correspondantes, la question devient alors de savoir s'il vaut mieux réduire l'attraction élémentaire physiquement perceptible (ce qui impose un facteur 4π dans l'expression du flux élémentaire créé par une particule), ou s'il faut réduire le flux élémentaire d'une particule (faisant apparaître un facteur 4π dans l'expression de la force associée).

Constante gravitationnelle et facteur 4π[modifier | modifier le code]

Avant l'émergence de la relativité restreinte en 1905, la loi de l'attraction universelle telle que formulée par Isaac Newton était considérée comme exacte (au lieu de n'être qu'une approximation valable aux faibles vitesses et aux faibles champs de gravité), et la « constante universelle de gravitation » avait été historiquement définie par Newton sans considération particulière à des considérations de conservation de flux. Dans ce contexte, il était naturel que le choix de Planck, dans son article de 1899, ait été de normaliser cette constante G à l'unité. Mais dans les descriptions ultérieures de la gravité données par la relativité générale, qui apparaissent à présent plus fondamentales que les équations de l'attraction universelle, la constante gravitationnelle apparaît toujours dans les formules multipliées par 4π, ou par un petit multiple de ce nombre.

S'il fallait aujourd'hui normaliser cette constante dans un système naturel d'unités, le choix serait plutôt fait de simplifier ces équations plus fondamentales, quitte à faire apparaître un facteur 1/4π dans l'expression de l'attraction newtonienne. C'est ce même facteur qui apparaît dans la loi de Coulomb, quand elle est exprimée en termes de la permittivité du vide. Et, de fait, des normalisations alternatives en unités naturelles conservent ce facteur aussi bien dans l'expression de la gravitation que dans celle des lois de Coulomb, si bien que les équations de Maxwell en électromagnétisme et en gravitoélectromagnétisme prennent une forme similaire à celle de l'électromagnétisme dans le système SI, qui n'a pas ce facteur 4π.

En normalisant à l'unité la constante 4πG :

• Le théorème de Gauss pour la gravitation se réduit à Φ_g = −M.
• La formule de Bekenstein–Hawking donnant l'entropie d'un trou noir en fonction de sa masse m_BH et de la surface A_BH de son horizon se simplifie en S_BH = πA_BH = (m_BH)², si A_BH et m_BH sont mesurées dans les unités de Planck alternatives décrites ci-après.
• L'impédance caractéristique d'une onde gravitationnelle dans le vide, qui vaut 4πG/c, est égale à l'unité en unité réduite.
• Il n'y a plus de facteur 4π qui apparaisse dans les équations de gravitoélectromagnétisme applicables en champ gravitationnel faible ou dans un espace de Minkowski localement plat. Ces équations ont la même forme que les équations de Maxwell, où la densité de masse joue le rôle de la densité de charge, et où 1/4πG remplace ε₀.

En normalisant plutôt la constante 8πG, on peut éliminer ce facteur de l'équation d'Einstein, de la formule d'action d'Einstein-Hilbert, des équations de Friedmann, et de l'équation de Poisson pour la gravitation. Ces unités de Planck, modifiées de manière que 8πG = 1, sont connues sous le nom de « unités de Planck réduites », parce que la masse de Planck réduite est divisée par √8π. En outre, les équations de Bekenstein–Hawking pour l'entropie d'un trou noir se simplifient en S_BH = 2(m_BH)² = 2πA_BH.