Système d'unités de Planck

 Les unités de Planck sont alors ainsi définies :

Nom	Dimension	Formule	Valeur approchée (en unités du SI)
Longueur de Planck	longueur (L)	${\displaystyle l_{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {G\hbar }{c^{3}}}}}$	1,616 × 10−35 m
Masse de Planck	masse (M)	${\displaystyle m_{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {c\hbar }{G}}}}$	2,177 × 10−8 kg
Temps de Planck	temps (T)	${\displaystyle t_{\mathrm {P} }={\frac {l_{\mathrm {P} }}{c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}}$	5,391 × 10−44 s
Température de Planck	température (Θ)	${\displaystyle T_{\mathrm {P} }={\frac {m_{\mathrm {P} }c^{2}}{k_{B}}}={\frac {\sqrt {c^{5}{\frac {\hbar }{G}}}}{k_{B}}}}$	1,416 833 139 × 1032 K
Charge de Planck	charge électrique (Q)	${\displaystyle q_{\mathrm {P} }={\sqrt {c\hbar 4\pi \varepsilon _{0}}}}$	1,875 × 10−18 C

Inversement, les constantes de la physique peuvent être exprimées simplement en utilisant les unités de base de Planck :

• ${\displaystyle c={\frac {l_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }}}}$
• ${\displaystyle \hbar ={\frac {m_{\mathrm {P} }l_{\mathrm {P} }^{2}}{t_{\mathrm {P} }}}}$
• ${\displaystyle G={\frac {l_{\mathrm {P} }^{3}}{m_{\mathrm {P} }t_{\mathrm {P} }^{2}}}}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}={\frac {q_{\mathrm {P} }^{2}t_{\mathrm {P} }^{2}}{4\pi m_{\mathrm {P} }l_{\mathrm {P} }^{3}}}}$
• ${\displaystyle k_{B}={\frac {m_{\mathrm {P} }l_{\mathrm {P} }^{2}}{t_{\mathrm {P} }^{2}T_{\mathrm {P} }}}}$

Unités dérivées[modifier | modifier le code]

À partir des unités de base il est bien entendu possible de définir n'importe quelle unité physique. Les unités dérivées effectivement intéressantes sont celles qui auront une signification physique en termes de maximum ou minimum atteignable par une certaine entité.

Nom	Dimension	Formule	Valeur approchée (en unités du SI)
Force de Planck	force (M L T-2)	${\displaystyle F_{\mathrm {P} }={\frac {m_{\mathrm {P} }l_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }^{2}}}={\frac {c^{4}}{G}}}$	1,210 × 1044 N
Énergie de Planck	énergie (M L2 T-2)	${\displaystyle E_{\mathrm {P} }=F_{\mathrm {P} }l_{\mathrm {P} }=c^{2}{\sqrt {\frac {c\hbar }{G}}}}$	1019 GeV = 1,956 × 109 J
Puissance de Planck	puissance (M L2 T-3)	${\displaystyle P_{\mathrm {P} }={\frac {E_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }}}={\frac {c^{5}}{G}}}$	3,629 × 1052 W
Quantité de mouvement de Planck	Quantité de mouvement (M L T-1)	${\displaystyle p={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}}$	6.5 N.s
Densité de Planck	masse volumique (M L-3)	${\displaystyle \rho _{\mathrm {P} }={\frac {m_{\mathrm {P} }}{l_{\mathrm {P} }^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}}$	5,1 × 1096 kg/m3
Fréquence de Planck	fréquence (T-1)	${\displaystyle \omega _{\mathrm {P} }={\frac {1}{t_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}}$	1,855 × 1043 rad/s
Pression de Planck	pression (M L-1 T-2)	${\displaystyle p_{\mathrm {P} }={\frac {F_{\mathrm {P} }}{l_{\mathrm {P} }^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}$	4,635 × 10113 Pa
Courant de Planck	courant électrique (Q T-1)	${\displaystyle I_{\mathrm {P} }={\frac {q_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \varepsilon _{0}}{G}}}}$	3,479 × 1025 A
Tension de Planck	tension (M L2 T-2 Q-1)	${\displaystyle V_{\mathrm {P} }={\frac {E_{\mathrm {P} }}{q_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \varepsilon _{0}}}}}$	1,043 2 × 1027 V
Impédance de Planck	résistance électrique (M L2 T-1 Q-2)	${\displaystyle Z_{\mathrm {P} }={\frac {V_{\mathrm {P} }}{I_{\mathrm {P} }}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}}$	2,998 6 × 101 Ω
Masse linéique de Planck	(M L-1)	${\displaystyle \lambda ={\frac {m_{l}}{l_{\mathrm {P} }}}={\frac {c^{2}}{G}}}$	1,346 64 × 1027 kg m−1
Impédance mécanique de Planck	(M T-1)	${\displaystyle D={\frac {m_{l}}{t_{\mathrm {P} }}}={\frac {c^{3}}{G}}}$	4,037 11 × 1035 kg s−1

La masse linéique de Planck est le rapport de la masse au rayon d'un trou noir de Schwarzschild, de compacité égale à un.

Normalisations alternatives[modifier | modifier le code]

Le facteur 4π[modifier | modifier le code]

Comme indiqué ci-dessus, les unités de Planck sont définies en « normalisant » à l'unité la valeur numérique de certaines constantes fondamentales. Cependant, le choix des constantes à normaliser n'est pas unique, et le choix habituellement présenté n'est pas nécessairement le meilleur. De plus, ces constantes fondamentales se retrouvent dans différentes équations de physiques parfois affectées d'une constante numérique différente, et il n'est pas évident de choisir celle des équations qui devra être ainsi simplifiée au détriment des autres.

Le facteur 4π, par exemple, est omniprésent en physique théorique, fondamentalement parce que dans un espace à trois dimensions8 la surface d'une sphère de rayon r est 4π.r². C'est fondamentalement pour cette raison, et à cause des différentes lois de conservation du flux, et du calcul de divergence appliqués à la densité de flux, que beaucoup de phénomènes physiques suivent une loi en carré inverse, comme la loi de Gauss ou la loi de l'attraction universelle. Le champ gravitationnel ou le champ électrique produit par une particule ponctuelle a une symétrie sphérique ; et le facteur 4π qui apparaît par exemple dans l'expression de la loi de Coulomb vient de ce que le flux d'un champ électrostatique est uniformément réparti sur la surface de la sphère, et que son intégrale sur la sphère (qui donne le flux total) se conserve quand le rayon de cette sphère varie — mais il en est fondamentalement de même pour le champ gravitationnel.

Dans la réduction des lois physiques correspondantes, la question devient alors de savoir s'il vaut mieux réduire l'attraction élémentaire physiquement perceptible (ce qui impose un facteur 4π dans l'expression du flux élémentaire créé par une particule), ou s'il faut réduire le flux élémentaire d'une particule (faisant apparaître un facteur 4π dans l'expression de la force associée).

Constante gravitationnelle et facteur 4π[modifier | modifier le code]

Avant l'émergence de la relativité restreinte en 1905, la loi de l'attraction universelle telle que formulée par Isaac Newton était considérée comme exacte (au lieu de n'être qu'une approximation valable aux faibles vitesses et aux faibles champs de gravité), et la « constante universelle de gravitation » avait été historiquement définie par Newton sans considération particulière à des considérations de conservation de flux. Dans ce contexte, il était naturel que le choix de Planck, dans son article de 1899, ait été de normaliser cette constante G à l'unité. Mais dans les descriptions ultérieures de la gravité données par la relativité générale, qui apparaissent à présent plus fondamentales que les équations de l'attraction universelle, la constante gravitationnelle apparaît toujours dans les formules multipliées par 4π, ou par un petit multiple de ce nombre.

S'il fallait aujourd'hui normaliser cette constante dans un système naturel d'unités, le choix serait plutôt fait de simplifier ces équations plus fondamentales, quitte à faire apparaître un facteur 1/4π dans l'expression de l'attraction newtonienne. C'est ce même facteur qui apparaît dans la loi de Coulomb, quand elle est exprimée en termes de la permittivité du vide. Et, de fait, des normalisations alternatives en unités naturelles conservent ce facteur aussi bien dans l'expression de la gravitation que dans celle des lois de Coulomb, si bien que les équations de Maxwell en électromagnétisme et en gravitoélectromagnétisme prennent une forme similaire à celle de l'électromagnétisme dans le système SI, qui n'a pas ce facteur 4π.

En normalisant à l'unité la constante 4πG :

• Le théorème de Gauss pour la gravitation se réduit à Φ_g = −M.
• La formule de Bekenstein–Hawking donnant l'entropie d'un trou noir en fonction de sa masse m_BH et de la surface A_BH de son horizon se simplifie en S_BH = πA_BH = (m_BH)², si A_BH et m_BH sont mesurées dans les unités de Planck alternatives décrites ci-après.
• L'impédance caractéristique d'une onde gravitationnelle dans le vide, qui vaut 4πG/c, est égale à l'unité en unité réduite.
• Il n'y a plus de facteur 4π qui apparaisse dans les équations de gravitoélectromagnétisme applicables en champ gravitationnel faible ou dans un espace de Minkowski localement plat. Ces équations ont la même forme que les équations de Maxwell, où la densité de masse joue le rôle de la densité de charge, et où 1/4πG remplace ε₀.

En normalisant plutôt la constante 8πG, on peut éliminer ce facteur de l'équation d'Einstein, de la formule d'action d'Einstein-Hilbert, des équations de Friedmann, et de l'équation de Poisson pour la gravitation. Ces unités de Planck, modifiées de manière que 8πG = 1, sont connues sous le nom de « unités de Planck réduites », parce que la masse de Planck réduite est divisée par √8π. En outre, les équations de Bekenstein–Hawking pour l'entropie d'un trou noir se simplifient en S_BH = 2(m_BH)² = 2πA_BH.