Les doigts du pianiste se promènent sur le clavier. Ses mains s'éloignent et se rejoignent. Les auditeurs se laissent envelopper par les sons du piano. Douze notes. Sept pour les touches blanches: Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si, et cinq pour les touches noires: Do#, Ré#, Fa#, Sol#, La#.
Pourquoi douze notes et pas quinze, ou neuf? La guitare, la flûte, et le saxophone se jouent aussi sur ces douze notes, qui forment l'alphabet de la musique occidentale. Les musiques issues d'autres cultures peuvent aussi souvent être décrites à l'aide de ces douze notes. Coïncidence? Transmission culturelle? Choix particulièrement agréable à l'oreille parmi les possibles?
Les notes du piano et le chant d'un duo
Notre tympan oscille sous l'effet des mouvements de l'air. Ces oscillations sont en général chaotiques. Quand la pluie bat les fenêtres, quand un restaurant bruisse de ses conversations, notre tympan se déforme comme la voile d'un bateau sous les caprices du vent. Parfois en revanche, les oscillations se font régulières. La 49e touche d'un piano déclenche un mouvement d'air qui fait vibrer notre tympan exactement 440 fois par seconde autour de sa position d'équilibre. C'est le La du diapason, de fréquence 440 hertz. Notre cerveau perçoit la régularité du battement, l'ordre et la cohérence dans les données qui lui parviennent. Le bruit devient alors note de musique à nos oreilles.
Un couple entonne un karaoké. La voix grave du chanteur émet un son à 220 hertz. Sa compagne chante simultanément à 440 hertz. La chanteuse fait vibrer notre tympan exactement deux fois plus vite que son compagnon. Les musiciens disent qu'elle chante une octave plus aiguë que son partenaire de duo. Une sensation de consonance et d'harmonie s'en dégage.
Le piano est conçu pour permettre une consonance similaire. Un appui simultané sur deux touches bien choisies émet un accord d'octave harmonieux correspondant à des fréquences doubles, tels deux chanteurs en duo. En pratique, les touches 1, 13, 25, 37, 49, 61, 73, 85 sont obtenues à partir du La du diapason en ajoutant et en retirant des octaves (c'est-à-dire en multipliant et en divisant la fréquence par 2 par rapport au La précédent, respectivement). On obtient toujours une note La, mais dans différentes tessitures.
Le karaoké se poursuit avec un autre duo. Un problème pratique se pose. Le chanteur émet une note à la fréquence de 220 Hz, trop grave pour sa partenaire. Mais elle ne peut pas monter d'une octave à 440 Hz, car chanter une fréquence aussi aiguë lui est impossible. Instinctivement, elle produit alors une note à 330 Hz, une fois et demie la fréquence de son compagnon, on dit «une quinte plus aiguë»: encore un duo agréable à écouter.
On s'attendrait à retrouver cette fréquence de 330 Hz sur le piano, afin que le piano puisse reproduire l'agréable duo en appuyant simultanément sur deux touches. Mais la touche la plus proche des 330 Hz de la chanteuse est la 44e touche du piano: un Mi qui émet une fréquence de 329,63 Hz. Le piano est moins consonant que le duo. D'où vient cette fréquence de 329,63 Hz?
Comment sont choisies les fréquences intermédiaires?
Sur le piano, on a découpé l'octave qui s'étale entre les touches 37 (La) et 49 (La plus aigu) en douze intervalles égaux. Entre une touche et la suivante, on multiplie la fréquence par environ 1,059 –de sorte qu'en répétant cette multiplication douze fois, on monte exactement d'une octave entre les touches 37 et 49, passant de 220 a 440 hertz. Au milieu se trouve la fréquence de 329,63 Hz.
La situation est en quelque sorte similaire à celle d'un vacancier qui part de la première ville (touche 37) vers sa destination finale (touche 49) en faisant douze étapes identiques (multiplication de la fréquence par 1,059 à chaque étape). Après la septième étape, il arrive touche 44 (fréquence 329,63 Hz). C'est proche de la ville étape qu'il souhaitait rejoindre (la quinte, 330 Hz), mais ce n'est pas exactement la ville étape.
Ce n'est pas surprenant; si nous découpons un voyage en étapes d'égales longueurs et sauf coïncidence, les villes à visiter se situent sur la route en milieu de journée, plutôt que dans la ville étape où nous dormons le soir. La quinte de la chanteuse (330 Hz) est coincée entre la touche Mi du piano (329,63 Hz) et la touche Fa (349,23 Hz).
Le musicien insatisfait va évidemment essayer d'améliorer la justesse de son piano, et s'approcher au plus près de la justesse de la chanteuse. Une idée pour améliorer la consonance de la quinte est de changer le nombre d'étapes du parcours. Si une ville qu'on cherche à approcher est loin des points étapes quand on fait le chemin en douze jours, parcourir le chemin en 11 ou 13 jours permet peut-être d'approcher davantage la ville intermédiaire?
Découper l'octave
Le problème mathématique sous-jacent est de déterminer le meilleur découpage possible de l'octave (combien d'étapes?) pour passer au plus près de la quinte juste de la chanteuse en faisant des intervalles égaux. Les mathématiciens donnent le nom d'approximation diophantienne à ce problème mathématique.
Quelques lignes de calcul que j'épargne au lecteur montrent que l'approximation musicale de la quinte lors de ce découpage s'incarne mathématiquement en l'approximation du nombre log(3/2)/log(2)=0,584962... par une fraction.
Il existe des nombres, dits irrationnels, qui ne sont pas des fractions, connus des Grecs environ cinq siècles avant notre ère. Le nombre irrationnel le plus connu est π = 3,14159... Le nombre qui nous intéresse est log(3/2)/log(2) = 0,584962... Il est proche de la fraction 3/5 = 0,6 ou de la fraction 58/100 = 0,58, mais tout comme π, ce n'est pas une fraction exacte. Musicalement, cela implique que la quinte du piano ne peut pas être aussi juste que celle de la chanteuse, indépendamment du nombre de notes choisi pour découper l'octave.
À défaut de pouvoir concevoir un instrument exactement juste, essayons de le rendre le plus agréable possible à nos oreilles. Mathématiquement, nous devons choisir des fractions approximant au mieux log(3/2)/log(2). Il existe une théorie, dite théorie des fractions continues, qui donne les bonnes approximations d'un nombre irrationnel. Par exemple π = 3,1415927... n'est pas une fraction, mais peut s'approximer par 22/7 = 3,142857... ou par 355/113 = 3,1415929... Dans notre cas, log(3/2)/log(2) = 0,584962... peut s'approximer en 3/5 = 0,6, en 7/12=0,58333... en 31/53 = 0,584905... ou avec des dénominateurs plus grands.
Concrètement, il nous faut choisir une approximation parmi celles proposées.
Si on choisissait 3/5 = 0,6, on couperait l'octave en 5 et la quinte approchée s'obtiendrait en se déplaçant de 3 touches sur le piano. Wikipédia dit que certaines gammes précolombiennes utilisaient ce système;
si on choisissait 7/12 = 0,58333... –comme c'est le cas sur les pianos de nos jours–, on divise l'octave en 12 et la quinte approchée s'obtient en se déplaçant de 7 touches, blanches et noires incluses;
si on choisissait 31/53 = 0,584905... la quinte serait plus juste, mais un piano avec 53 notes par octave serait particulièrement difficile à jouer!
si on choisissait une autre approximation, soit la quinte serait plus fausse, soit il y aurait beaucoup plus de 12 touches par octave.
En résumé, les octaves et les quintes sont des données assez universelles liées au chant et aux consonances naturelles pour nos oreilles. Le découpage de l'octave en 12 intervalles est mathématiquement optimal: il permet une quinte la plus juste possible, dans un format compact, et dans un tempérament égal (avec des intervalles égaux). En d'autres termes, si on souhaite un nombre de touches pas trop grand et humainement gérable, des intervalles égaux, et une quinte presque juste, alors le choix de douze notes s'impose naturellement.
Une blague potache dit que Dieu a inventé les équations de la physique en se pliant aux mathématiques. La musique subit-elle aussi le joug des mathématiques? Les musiciens et les chanteurs font-ils des mathématiques sans le savoir?
![\phi :{\begin{array}[t]{lcl}{\mathbb {T}}^{2}&\to &{\mathbb {T}}^{2}\\P{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}&\mapsto &P'{\begin{pmatrix}(x+y)\mod 1\\(x+2y)\mod 1\end{pmatrix}}\end{array}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4245e5f6bb3c96dbc4cb0b7ed2493816ebe7d179)
![\psi :{\begin{array}[t]{lcl}I_{{N,N}}&\to &I_{{N,N}}\\P{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}&\mapsto &P'{\begin{pmatrix}(x+y)\mod N\\(x+2y)\mod N\end{pmatrix}}\end{array}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27033cc1e2d93b88614058ffe5ac763ad3e5131)
