Nombre d'Or

http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm#historique

Surface et temps ....KEPLER



http://sites.google.com/site/tpenombredor/ii-le-nombre-d-or-dans-le-regne-vegetal-et-animal

Définition alternative du nombre d'or — Le nombre d'or est l'unique solution positive de l'équation du second degré suivante :

Cette équation est équivalente à celle indiquant que l'inverse de l'inconnue x est égal à x - 1, ce qui implique que le développement décimal de 1/x est le même que celui de x, auquel on a retranché sa partie entière.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_cyclique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_alg%C3%A9brique_des_nombres

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_quadratique

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal_p%C3%A9riodique

Un nombre décimal est un nombre qui admet un développement décimal limité, c'est-à-dire ne comportant qu'un nombre fini de décimales autres que zéro.

La méthode de calcul des fractions à partir des décimales répétées, par exemple, dans le cas de 0,9999…=0,9 conduit à un paradoxe apparent :

L'égalité 1 = 0,999… est parfois contestée de façon naïve. Un bon argument est que si deux nombres réels sont distincts, alors il existe une infinité d'autres nombres réels entre les deux (strictement). Or, il n'existe aucun autre réel entre 0,99999 (une infinité de 9) et 1. C'est donc un seul et même réel, écrit de deux manières différentes.

Certains^[Qui ?] argumentent que, dans la seconde étape ci-dessus, 10x vaut 9,9999…0 et non 9,9999. Mais ce n'est pas le cas ; le second membre ne se termine pas (il est récurrent) et donc il n'y a pas de fin pour laquelle un zéro peut être trouvé.

L'écriture de 1 sous forme 0,9999… pose le problème de l'unicité de l'écriture décimale d'un nombre. L'écriture sous forme 0,999…. est alors considérée comme un développement décimal impropre. Mais cela ne signifie pas que l'on ne soit jamais amené à l'écrire. En effet, le travail sur l'écriture décimale de 1/3, par exemple, conduit aux égalités :

Ou encore, lorsqu'il s'agit de déterminer le développement décimal de 1 - x, connaissant celui de x, la forme 0,999… est plus adaptée:

x = 0,52121…= 0,521

1- x = 0,99999…- 0,52121…= 0,47878…=0,478

Pour d'autres preuves de cette égalité, voir l'article Développement décimal de l'unité. Le raisonnement mené sur cet exemple peut l'être sur tout autre nombre décimal et donc en particulier tout nombre entier. La conclusion étant :

Développement décimal périodique d'un nombre décimal — Tout nombre décimal différent de 0 admet deux développements décimaux périodiques : l'un dont la période est 9, l'autre dont elle est 0.

• Exemples : 2,5=2,49999 et -0,6001=-0,60009999. Dans les deux exemples qui précèdent, le premier développement décimal est dit développement décimal propre et le deuxième développement décimal est dit développement décimal impropre.
• Remarque : un nombre réel qui possède deux développements décimaux distincts est nécessairement un nombre décimal différent de 0.