Nombre de Kaprekar

n-nombre de Kaprekar[modifier | modifier le code]

Soient ${\displaystyle a\geq 2}$ et ${\displaystyle n\geq 1}$ deux entiers. On dit qu'un entier ${\displaystyle k}$ est un ${\displaystyle n}$-nombre de Kaprekar en base ${\displaystyle a}$ s'il existe deux entiers naturels ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ tels que :
${\displaystyle k^{2}=ua^{n}+v,\quad 0<v<a^{n}\quad {\text{et}}\quad k=u+v.}$ Les 30 premiers^[1] nombres de Kaprekar en base dix sont :

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2 223, 2 728, 4 879, 4 950, 5 050, 5 292, 7 272, 7 777, 9 999, 17 344, 22 222, 38 962, 77 778, 82 656, 95 121, 99 999, 142 857, 148 149, 181 819, 187 110, 208 495 et 318 682.

Dans l'inventaire que fait Kaprekar en 1980^[2], il oublie étonnamment tous les nombres de la forme ${\displaystyle 10^{n}-1}$ ainsi que les nombres 181 819 et 818 181. L'oubli est rectifié en 1981 par Mannis Charosh^[3], qui met au point une méthode de génération de grands nombres de Kaprekar.
En 2000, Douglas Iannucci^[4] démontre que les n-nombres de Kaprekar en base dix sont en bijection avec les diviseurs unitaires de ${\displaystyle 10^{n}-1}$ et montre comment les obtenir à partir de la décomposition en facteurs premiers de ${\displaystyle 10^{n}-1}$. Il démontre en outre que si k est un n-nombre de Kaprekar, il en est de même de ${\displaystyle 10^{n}-k}$.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Kaprekar