Et si le temps n’existait pas ?

 Le temps, estime Carlo Rovelli, n’est qu’une question de perspective, et non une vérité universelle. C’est un point de vue que les humains ont en commun et qui est le produit de notre biologie, de notre évolution, de notre place sur terre et de la position de notre planète dans l’Univers.

“De notre point de vue – celui de créatures représentant une petite partie du monde –, le monde baigne dans le temps”, écrit le physicien. Au niveau quantique pourtant, les durées sont trop courtes pour être fragmentées, et le temps n’existe pas.

En fait, poursuit Rovelli, il n’existe rien du tout. L’Univers entier se compose d’une infinité d’événements. Ce qui nous semble être un objet – une pierre, par exemple – est en réalité un événement se déroulant à une vitesse dont nous n’avons pas conscience. Car cette pierre est en réalité dans un état de transformation constant. Considérée sur une échelle de temps suffisamment longue, elle aussi n’est qu’une forme éphémère, appelée à se transformer.

“Dans la grammaire élémentaire du monde, il n’y a espace, ni temps : uniquement des processus qui transforment les quantités physiques [ce qui peut être mesuré] les unes dans les autres, dont nous pouvons calculer les probabilités et les relations”, écrit Rovelli.

Un hasard, pas une nécessité

Si le temps nous semble s’écouler d’une façon ordonnée, c’est parce que nous nous trouvons sur la Terre, une planète caractérisée par une relation entropique unique avec le reste de l’Univers. La façon dont notre planète se déplace crée pour

[...]

Ephrat Livni

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La tablette de Plimpton Triplet pythagoricien

 Sur la tablette acheté en 1922 par Georges Arthur Plimpton à un marchand d’objets archéologiques se trouve quinze triplets pythagoriciens en écriture sexagésimale. On ne sait pas la nature de ce document, est-ce un précurseur de la trigonométrie ou un document didactique pour exercer des étudiants. Quoi qu’il en soit il prouve que vers 1800 avant notre ère le théorème de Pythagore était connu par les babyloniens et que cette recherche de triplets intéressait déjà les mathématiciens de l’époque.

Les triplets que l’on trouvent sur cette tablette ne sont pas les plus simples, on ne trouve pas (3,4,5) par exemple, ce qui laisse penser à un document pour l’apprentissage.

Voici les quinze triplets de la tablette Plimpton 322 :

1. (119, 120, 169)
2. (3 367,3 456,4 825)
3. (4 601, 4 800, 6 649)
4. (12 709, 13 500, 18 541)
5. (65, 72, 97)
6. (319, 360, 481)
7. (2 291, 2 700, 3 541)
8. (799, 960, 1 249)
9. (481, 600, 769)
10. (4 961, 6 480, 8 161)
11. (45, 60, 75)
12. (1 679, 2 400, 2 929)
13. (161, 240, 289)
14. (1 771, 2700, 3 229)
15. (56, 90, 106)   

Étranges n’est-ce pas ? Pourquoi ces triplets sont-ils aussi compliqués ?

Tous ces triplets sont primitifs, sauf le n°11, (45, 60, 75) qui un multiple de (3, 4, 5), le n°15 qui est un multiple de (28, 45, 53). Signalons en effet que pour un triplet Pythagoricien donné, on peut en trouver une infinité d’autres en multipliant chaque terme par le même nombre entier. Un triplet n’étant multiple d’aucun autre ou en terme plus technique, dont les termes sont premiers entre eux ou encore dont le plus grand diviseur commun est 1, est un triplet primitif.

source

Article du Monde

 

En 1623, Galilée dans Il Saggiatore écrit : « On ne peut comprendre [le livre de l’Univers] si l’on ne s’applique d’abord à en comprendre la langue et à connaître les caractères avec lesquels il est écrit. Il est écrit dans la langue mathématique (…)». Il fonde ce faisant la physique moderne comme scindée de la philosophie, et relevant entièrement de la rationalité mathématique.

La suite a montré à quel point son intuition, qui était aussi et reste toujours un acte de foi, était juste : jusqu’à présent, les physiciens ont travaillé avec succès à dévoiler les lois mathématiques régissant les phénomènes, en présupposant à chaque fois leur existence. Les millénaires écoulés entre la naissance des mathématiques et leur utilisation en physique montrent au passage que ce rapprochement entre les phénomènes naturels et les lois mathématiques de notre rationalité humaine était loin d’être évident.

La suite de l’histoire fut bien sûr à double sens. On pourrait ainsi décrire en grand détail comment un grand nombre de théories et d’outils mathématiques, de la transformée de Fourier à la géométrie symplectique, furent inspirés par la physique. Mais en notre époque où celle-ci est souvent présentée débarrassée de son appareil théorique en vue de la rendre plus accessible, il est encore plus utile de rappeler ici à quel point la physique est depuis toujours articulée étroitement à la science mathématique, et ne peut se passer d’elle.

Un des exemples les plus étonnants de cette relation intime est sans conteste fourni par les nombres complexes. Au XVI^e siècle, les mathématiciens ont éprouvé le besoin d’adjoindre aux nombres ordinaires un nombre supplémentaire, baptisé i (pour « imaginaire »), dont la propriété principale est d’avoir un carré négatif : i² = -1. Les nombres augmentés de ce nombre imaginaire s’appellent les complexes, et se mettent tous sous la forme a + b·i, comme 2 + 3i.

Rien de plus abstrait donc que ce nombre fictif, vu que les nombres ordinaires ont tous un carré positif (2² = (-2) ² = 4) ! Et pourtant, les nombres complexes ont naturellement trouvé leur utilité en physique. Au XIX^e siècle ils ne sont d’abord utilisés que comme outil car ils simplifient les calculs des problèmes ondulatoires. Un outil commode certes, mais dont on pourrait parfaitement se dispenser.

L’abstraction confirmée par le réel

En revanche, quand en 1929 Erwin Schrödinger réussit à synthétiser dans l’équation qui porte son nom l’ensemble des règles quantiques – que trente ans de recherches expérimentales ininterrompues avaient peu à peu mises au jour de façon disparate et ad hoc –, une véritable surprise attendait la communauté des physiciens.

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Ce que la physique doit aux mathématiques (lemonde.fr)

CKPLAN

 5553825628557

somme des chiffres 66

number of 2s | 2

number of 3s | 1

number of 5s | 6

number of 6s | 1

number of 7s | 1

number of 8s | 2

(digits which do not occur in the representation are omitted)

 | base representation | digit sum

base 2 | 10100001101..._2 (43 digits) | 20

base 3 | 20112222110112..._3 (27 digits) | 29

base 4 | 11003101213031..._4 (22 digits) | 27

base 5 | 12114432133301..._5 (19 digits) | 37

base 6 | 15451220421451..._6 (17 digits) | 47

base 7 | 11121516556343..._7 (16 digits) | 51

base 8 | 12064316334061..._8 (15 digits) | 45

base 9 | 21587348662063_9 | 61

5553825628557×2^65 = 2.04900000000000130484771670196224 × 10^32

Mathématiques

 Le mathématicien présente à cet égard toutes les qualités pour occuper la place du fou.

 Son langage est hermétique au commun des mortels, car il parle de l’essence des choses et non de leur réalité perceptible, son discours porte sur le visible, sur le sensible, tout en se situant au delà du perceptible pour ne s’intéresser qu’à la construction qui l’ordonne et le structure. 

Comme le philosophe, comme le mystique soufi, il ne peut donc parler utilement qu’à ses pairs, aux initiés, à ceux qui peuvent le comprendre.

 Il se situe de facto en marge de la société où il vit, celle-ci l’habite plus qu’il ne l’habite, parce qu’il demeure en dehors de l’écume de ses codes, parce qu’il perce ses vérités et détruit ses mythes.

Et si on a rarement vu des mathématiciens sur les bûchers, ce n’est pas que leurs écrits n’en fussent pas passibles.

 On prête par exemple à Grigori Perelman, qui refusa la médaille Fields en 2006 et le prix Clay en 2010, pour sa démonstration de la conjecture de Poincaré, un des « sept problèmes du millénaire » recensés par ce dernier et dotés d’un million de dollars, cette explication des raisons de son attitude : 

« Pourquoi ai-je mis tant d'années pour résoudre la conjecture de Poincaré ? 

J'ai appris à détecter les vides.

 Avec mes collègues nous étudions les mécanismes visant à combler les vides sociaux et économiques.

 Les vides sont partout.

 On peut les détecter et cela donne beaucoup de possibilités… 

Je sais comment diriger l'Univers.

Dites-moi alors, à quoi bon courir après un million de dollars ? »

.../...

J’ai toujours été intrigué pour ma part par cette réaction du plus grand nombre de mes interlocuteurs lorsque j’en venais à leur avouer ma profession :

 « Moi, je n’ai jamais rien compris aux Maths », répondaient-ils le plus souvent.

 « Lakoum dinoukoum wa lana dinouna », semblaient-ils ainsi proclamer, consommant instantanément la rupture du dialogue entre eux et moi, sur ce sujet tout au moins.

 Révélant à quel point le désert mathématique est abyssal dans notre société, car imaginerait-on un instant le dernier des ignorants proclamer sans honte qu’il ne comprendrait rien à l’histoire, à la biologie, ou même à la philosophie dont la prégnance au Lycée est pourtant si anecdotique ?

 Alors que les mathématiques nous bercent, certes à notre corps défendant le plus souvent, depuis que nous avons ouvert les yeux sur le monde, leur utilité apparaît toute relative à l’écrasante majorité de la population qui s’en passe fort bien.

 Les mathématiciens pourraient s’en consoler en invoquant Fontenelle, qui écrivait en 1699 : 

«On appelle d’ordinaire inutiles les choses que l’on ne comprend pas », 

mais cette consolation suffira-t-elle aux esprits rationnels qu’ils sont ?

.../...

Mohamed Jaoua

Source

Théorème de Wilson

 

Théorème de Wilson

Un exemple d'équation diophantienne utilisant ces outils pour sa résolution est le théorème de Wilson. Il correspond à la résolution de l'équation suivante, le signe ! désignant la fonction factorielle :

Les seules valeurs de x différentes de un vérifiant cette équation sont les nombres premiers.

Théorème de Wilson — Un entier p strictement plus grand que 1 est un nombre premier si et seulement s'il divise (p – 1)! + 1, c'est-à-dire si et seulement si1 :

${\displaystyle (p-1)!+1\equiv 0{\pmod {p}}.}$

Exemples[modifier | modifier le code]

• Si p est égal à 2, alors (p – 1)! + 1 est égal à 2, un multiple de 2.
• Si p est égal à 3, alors (p – 1)! + 1 est égal à 3, un multiple de 3.
• Si p est égal à 4, alors (p – 1)! + 1 est égal à 7 qui n'est pas multiple de 4.
• Si p est égal à 5, alors (p – 1)! + 1 est égal à 25, un multiple de 5.
• Si p est égal à 6, alors (p – 1)! + 1 est égal à 121 qui n'est pas multiple de 6.
• Si p est égal à 17, alors (p – 1)! + 1 est égal à 20 922 789 888 001, un multiple de 17 car 17 × 1 230 752 346 353 = 20 922 789 888 001.

Théorème de Wilson — Wikipédia (wikipedia.org)

 

Cristal temporel

 Dans un nouveau document de recherche, les scientifiques de Google affirment avoir utilisé un processeur quantique pour une application scientifique utile : l'observation d'un véritable cristal de temps.

Si le terme "cristal de temps" fait penser à de la science-fiction, c'est parce que c'est le cas. Les cristaux de temps ne sont rien de moins qu'une nouvelle "phase de la matière", selon les termes des chercheurs. Cela est théorisé depuis quelques années déjà comme un nouvel état qui pourrait potentiellement rejoindre les rangs des solides, des liquides, des gaz, des cristaux, etc. L'article universitaire doit cependant encore faire l'objet d'un examen par les pairs.

Les cristaux de temps sont également difficiles à trouver. Mais les scientifiques de Google déclarent à présent, de manière plutôt excitante, que leurs résultats établissent une "approche évolutive" pour étudier les cristaux de temps sur les processeurs quantiques actuels.

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Les systèmes tendent naturellement vers un état état ayant l'énergie la plus faible possible

Pour comprendre pourquoi les cristaux temporels sont intéressants, il faut avoir quelques notions de physique. Et notamment connaître la deuxième loi de la thermodynamique. Elle stipule que les systèmes tendent naturellement vers un état état ayant l'énergie la plus faible possible, également appelé équilibre thermique. C'est pourquoi un glaçon fond dans un verre d'eau à température ambiante, par exemple.

Cette tendance irrésistible à l'équilibre thermique, décrite dans la deuxième loi de la thermodynamique, reflète le fait que toutes les choses tendent à évoluer vers des états moins utiles et aléatoires. Au fil du temps, les systèmes dégénèrent inévitablement en chaos et en désordre, une notion connue sous le nom d'entropie.

Les cristaux de temps, en revanche, ne parviennent pas à s'installer en équilibre thermique. Au lieu de dégénérer lentement vers l'aléatoire, ils restent coincés dans deux configurations à haute énergie entre lesquelles ils passent - et ce processus de va-et-vient peut durer éternellement, dans ce que les scientifiques appellent le "mouvement perpétuel".

"Les seuls cristaux de temps stables que nous avons envisagés dans des systèmes fermés relèvent de la mécanique quantique"

Pour mieux expliquer ce phénomène, Curt von Keyserlingk, maître de conférences à l'école de physique et d'astronomie de l'université de Birmingham, qui n'a pas participé à la dernière expérience de Google, sort quelques diapositives d'un exposé d'introduction aux futurs étudiants de premier cycle. "Ils font généralement semblant de comprendre, alors cela pourrait être utile", prévient von Keyserlingk à ZDNet.

Tout commence par une expérience de pensée. Prenez une boîte dans un système fermé et isolé du reste de l'univers. Mettez-y quelques dizaines de pièces de monnaie et secouez-la un million de fois. En rebondissant les unes sur les autres, les pièces changent de position au hasard. Un état de plus en plus chaotique. En ouvrant la boîte, on s'attend à ce que la moitié des pièces soient sur le côté pile et l'autre moitié sur le côté face.

Peu importe que l'expérience ait commencé avec plus de pièces sur le côté pile ou plus de pièces sur le côté face : le système oublie la configuration initiale et devient de plus en plus aléatoire et chaotique à mesure qu'il est secoué.

Ce système fermé, lorsqu'il est traduit dans le domaine quantique, est le cadre parfait pour tenter de trouver des cristaux de temps. "Les seuls cristaux de temps stables que nous avons envisagés dans des systèmes fermés relèvent de la mécanique quantique", explique M. von Keyserlingk.

Les cristaux de temps défient toute attente

C'est là qu'intervient le processeur quantique de Google, Sycamore. Il est bien connu pour avoir atteint la suprématie quantique, et les utilisateurs actuels cherchent maintenant une sorte d'application utile pour l'informatique quantique.

Un processeur quantique, par définition, est un outil parfait pour reproduire un système mécanique quantique. Dans ce scénario, l'équipe de Google a représenté les pièces de monnaie dans la boîte par des qubits tournant vers le haut et vers le bas dans un système fermé. Et au lieu de secouer la boîte, ils ont appliqué un ensemble d'opérations quantiques spécifiques qui peuvent changer l'état des qubits. Ce qu'ils ont répété plusieurs fois.

C'est ici que les cristaux de temps défient toute attente. En observant le système après un certain nombre d'opérations, ou de secousses, on constate que la configuration des qubits n'est pas aléatoire, mais ressemble plutôt à la configuration initiale.

Le cristal temporel n'oublie pas

"Le premier ingrédient d'un cristal temporel est qu'il se souvient de ce qu'il faisait au départ. Il n'oublie pas", explique M. von Keyserlingk. "Le système de pièces dans une boîte oublie, mais pas un système de cristal de temps".

Et cela ne s'arrête pas là. Si vous secouez le système un nombre de fois pair, vous obtiendrez une configuration similaire à celle d'origine. Mais si vous le secouez un nombre de fois impair, vous obtiendrez une autre configuration, dans laquelle pile est devenue face et vice-versa.

Et quel que soit le nombre d'opérations effectuées sur le système, il basculera toujours, faisant régulièrement l'aller-retour entre ces deux états.

Rupture de la symétrie du temps

Les scientifiques appellent cela une rupture de la symétrie du temps. C'est pourquoi les cristaux de temps sont appelés ainsi. En effet, l'opération effectuée pour stimuler le système est toujours la même, et pourtant la réponse ne survient qu'une fois sur deux.

"Dans l'expérience de Google, ils effectuent une série d'opérations sur cette chaîne de spins, puis ils refont exactement la même chose, encore et encore. Ils font la même chose au centième pas qu'au millionième pas, s'ils vont aussi loin", explique M. von Keyserlingk. "Ils soumettent donc le système à un ensemble de conditions symétriques, et pourtant le système réagit d'une manière qui brise cette symétrie. C'est la même chose toutes les deux périodes au lieu de toutes les périodes. C'est ce qui en fait littéralement un cristal temporel."

Le comportement des cristaux de temps, d'un point de vue scientifique, est fascinant. Contrairement à tous les autres systèmes connus, ils ne tendent pas vers le désordre et le chaos. Contrairement aux pièces de monnaie dans la boîte, ils s'opposent à la loi de l'entropie en restant bloqués dans un état spécial, celui du cristal de temps.

Un précédent au Pays-Bas

En d'autres termes, ils défient la deuxième loi de la thermodynamique, qui définit la direction que prennent tous les événements naturels. Réfléchissez-y un instant.

Ces systèmes spéciaux ne sont pas faciles à observer. Les cristaux de temps sont un sujet d'intérêt depuis 2012, lorsque le professeur du MIT Frank Wilczek, lauréat du prix Nobel, a commencé à y réfléchir. Et la théorie a été réfutée, débattue et contredite à de nombreuses reprises depuis lors.

Plusieurs tentatives ont été faites pour créer et observer des cristaux de temps à ce jour, avec plus ou moins de succès. Ce n'est que le mois dernier qu'une équipe de l'université technologique de Delft, aux Pays-Bas, a publié une étude montrant qu'elle avait construit un cristal de temps dans un processeur en diamant, bien qu'il s'agisse d'un système plus petit que celui revendiqué par Google.

Cette expérience ne prouve en rien la question de la suprématie quantique

Les chercheurs du géant de la recherche ont utilisé une puce contenant 20 qubits pour servir de cristal de temps - beaucoup plus, selon von Keyserlingk, que ce qui a été réalisé jusqu'à présent et que ce qui pourrait être réalisé avec un ordinateur classique.

Avec un ordinateur portable, il est assez facile de simuler environ 10 qubits, explique von Keyserlingk. Au-delà, les limites du matériel actuel sont vite atteintes : chaque qubit supplémentaire nécessite une quantité exponentielle de mémoire.

Le scientifique se garde bien d'affirmer que cette nouvelle expérience est une démonstration de la suprématie quantique. "Ils ne sont pas encore assez loin pour que je puisse dire que c'est impossible à faire avec un ordinateur classique, parce qu'il pourrait y avoir une façon intelligente de le faire sur un ordinateur classique à laquelle je n'ai pas pensé", dit von Keyserlingk. "Mais je pense que c'est de loin la démonstration expérimentale la plus convaincante d'un cristal temporel à ce jour".

Les cristaux temporels ne sont pas près de trôner dans nos salons

La portée et le contrôle de l'expérience de Google signifient qu'il est possible d'examiner les cristaux temporels pendant plus longtemps, d'effectuer des séries de mesures détaillées, de faire varier la taille du système, etc. En d'autres termes, il s'agit d'une démonstration utile qui pourrait véritablement faire progresser la science - et, à ce titre, elle pourrait être essentielle pour montrer le rôle central que les simulateurs quantiques joueront pour permettre des découvertes en physique.

Il y a, bien sûr, quelques mises en garde. Comme tous les ordinateurs quantiques, le processeur de Google souffre toujours de la décohérence, qui peut entraîner une dégradation des états quantiques des qubits et signifie que les oscillations des cristaux de temps s'éteignent inévitablement lorsque l'environnement interfère avec le système.

L'auteur de l'étude affirme toutefois que ce problème pourrait être atténué à mesure que le processeur est mieux isolé.

Une chose est sûre : les cristaux temporels ne sont pas près de trôner dans nos salons, car les scientifiques n'ont pas encore trouvé d'application utile définitive pour eux. Il est donc peu probable que l'expérience de Google ait eu pour but d'explorer la valeur commerciale des cristaux de temps. Elle montre plutôt ce qui pourrait être une autre application précoce de l'informatique quantique, et une nouvelle démonstration des prouesses technologiques de l'entreprise dans un nouveau domaine de développement très concurrentiel.

décomposition de la lumière du soleil : Péguérinos Espagne

Code de Lehmer permutohedron

 Le code de Lehmer, attribué à Derrick Lehmer1, mais connu depuis 1888 au moins2, associe à une permutation  σ  des éléments de  l'application  ƒ=L(σ)  définie3 sur  par

${\displaystyle f(i)={\text{Card}}\left\{j\ |\ 1\leq j\leq i{\text{ et }}\sigma (j)\leq \sigma (i)\right\}=L(\sigma ,i).}$

Les applications ƒ, encodant des permutations de ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathfrak {S}}_{n},\ }$ peuvent être identifiées aux suites ${\displaystyle \scriptstyle \ \left(f(i)\right)_{1\leq i\leq n}.\ }$ Comme

${\displaystyle 1\leq f(i)\leq i,}$

le code de Lehmer établit une correspondance L entre l'ensemble ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathfrak {S}}_{n}\ }$ et le produit cartésien

${\displaystyle [\![1,1]\!]\times [\![1,2]\!]\times [\![1,3]\!]\times \dots \times [\![1,n]\!].}$

Décodage[modifier | modifier le code]

Propriété — Le code de Lehmer L est une bijection de ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathfrak {S}}_{n}\ }$ dans ${\displaystyle \scriptstyle \ [\![1,1]\!]\times [\![1,2]\!]\times [\![1,3]\!]\times \dots \times [\![1,n]\!].}$

Un algorithme[modifier | modifier le code]

Un algorithme simple permet de reconstituer σ à partir de ƒ=L(σ). Par exemple, le code ƒ=113252 correspond à une permutation σ telle que σ(6)=2. En effet on voit que, par définition, L(σ,n)=σ(n). C'est le premier pas de l'algorithme :

• σ^-1=x6xxxx ;

l'avant-dernier terme de la suite ƒ, égal à L(σ,5)=5, signifie que parmi les 5 images possibles pour 5, (1,3,4,5,6), il faut choisir la 5^e, σ(5)=6 :

• σ^-1=x6xxx5 ;

le terme 2=L(σ,4), en 4^e position de la suite ƒ, signifie que parmi les 4 images possibles pour 4, (1,3,4,5), il faut choisir la 2^e, σ(4)=3 :

• σ^-1=x64xx5 ;

le terme 3=L(σ,3), en 3^e position de la suite ƒ, signifie que parmi les 3 images possibles pour 3, (1,4,5), il faut choisir σ(3)=5 :

• σ^-1=x64x35 ;

on termine avec σ(2)=1 :

• σ^-1=264x35 ;

puis σ(1)=4 :

• σ^-1=264135 ;

on a donc σ=(4,1,5,3,6,2). Il est clair d'après le déroulement de l'algorithme qu'à chaque pas, il y a exactement un choix pour σ(k). Donc chaque suite ƒ de ${\displaystyle \scriptstyle \ [\![1,1]\!]\times [\![1,2]\!]\times [\![1,3]\!]\times \dots \times [\![1,n]\!]\ }$ possède un antécédent et un seul dans ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathfrak {S}}_{n}.}$

Un algorithme alternatif[modifier | modifier le code]

Une autre possibilité est de construire σ^-1 directement à partir de ƒ=113252 de la manière suivante :

• insérer 1 à la 1^re et seule place possible dans la suite x, ce qui donne 1,
• insérer 2 à la 1^re des places possibles dans la suite x1x, ce qui donne 21,
• insérer 3 à la 3^e des places possibles dans la suite x2x1x, ce qui donne 213,
• insérer 4 à la 2^e des places possibles dans la suite x2x1x3x, ce qui donne 2413,
• insérer 5 à la 5^e des places possibles dans la suite x2x4x1x3x, ce qui donne 24135,
• insérer 6 à la 2^e des places possibles dans la suite x2x4x1x3x5x, ce qui donne 264135.

On peut maintenant déduire σ de σ^-1. Cette construction est justifiée par l'observation suivante : par définition, ƒ(i) est le rang de σ(i) quand on range la suite (σ(1), σ(2), σ(3), ... , σ(i-1), σ(i)) dans l'ordre croissant.

Applications en combinatoire et en probabilités[modifier | modifier le code]

Indépendance des rangs relatifs[modifier | modifier le code]

Ces applications découlent d'une propriété immédiate du code de Lehmer L(σ) vu comme suite de nombres entiers.

Propriété — Sous la loi uniforme sur ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathfrak {S}}_{n},\ }$ L est une suite de variables indépendantes et uniformes ; L(i) suit la loi uniforme sur ${\displaystyle \scriptstyle \ [\![1,i]\!]\ }$.

En d'autres termes, si on tire une permutation aléatoire ω au hasard dans ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathfrak {S}}_{n},\ }$ avec équiprobabilité (chaque permutation a une probabilité 1/n! d'être choisie), alors son code de Lehmer ƒ=L(ω)=(L(1,ω), L(2,ω), L(3,ω), ... , L(n,ω)) est une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes. Cela contraste avec le comportement probabiliste de la suite (ω(1), ω(2), ω(3), ... , ω(n)) des images des entiers par la permutation aléatoire ω, qui fournit la description la plus naturelle de ω, mais qui est une suite de variables aléatoires dépendantes, donc moins maniable pour effectuer des calculs de probabilités. L'indépendance des composantes de L résulte d'un principe général concernant les variables aléatoires uniformes sur un produit cartésien.

Nombre de records[modifier | modifier le code]

Définition — Dans une suite u=(u_k)_1≤k≤n, il y a record vers le bas (resp. vers le haut) au rang k si u_k est strictement plus petit (resp. strictement plus grand) que chaque terme u_i tel que i<k.

Soit B(k) (resp. H(k)) l'évènement "il y a record vers le bas (resp. vers le haut) au rang k" , i.e. B(k) est l'ensemble des permutations de ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathfrak {S}}_{n}\ }$ qui présentent un record vers le bas au rang k. On a clairement

${\displaystyle \{\omega \in B(k)\}\Leftrightarrow \{L(k,\omega )=1\}\quad {\text{et}}\quad \{\omega \in H(k)\}\Leftrightarrow \{L(k,\omega )=k\}.}$

Ainsi le nombre N_b(ω) (esp. N_h(ω)) de records vers le bas (resp. vers le haut) de la permutation ω s'écrit comme une somme de variables de Bernoulli indépendantes de paramètres respectifs 1/k :

${\displaystyle N_{b}(\omega )=\sum _{1\leq k\leq n}\ 1\!\!1_{B(k)}\quad {\text{et}}\quad N_{b}(\omega )=\sum _{1\leq k\leq n}\ 1\!\!1_{H(k)}.}$

En effet, comme L(k) suit la loi uniforme sur ${\displaystyle \scriptstyle \ [\![1,k]\!],\ }$

${\displaystyle \mathbb {P} (B(k))=\mathbb {P} (L(k)=1)=\mathbb {P} (H(k))=\mathbb {P} (L(k)=k)={\tfrac {1}{k}}.}$

La fonction génératrice de la variable de Bernoulli ${\displaystyle 1\!\!1_{B(k)}}$ est

${\displaystyle G_{k}(s)={\frac {k-1+s}{k}},}$

donc la fonction génératrice de N_b est

${\displaystyle G(s)=\prod _{k=1}^{n}G_{k}(s)\ =\ {\frac {(s)_{\uparrow n}}{n!}},}$

ce qui permet de retrouver la forme produit de la série génératrice des nombres de Stirling de première espèce (non signés).

Nombre de cycles[modifier | modifier le code]

La correspondance fondamentale de Foata entraine que la loi de probabilité de N_b est aussi la loi du nombre de cycles de la décomposition d'une permutation tirée au hasard.

Le permutohedron de l’ordre n a n! vertices, dont chacun est adjacent à n − 1 autres. Le nombre de bords est (n − 1) n!/2, et leur longueur est √2.

Deux vertices connectés diffèrent en échangeant deux coordonnées, dont les valeurs diffèrent de 1. ^[3] La paire de places échangées correspond à la direction du bord. (Dans l’image de l’exemple, les vertices (3, 2, 1, 4) et (2, 3, 1, 4) sont reliées par un bord bleu et diffèrent en échangeant 2 et 3 sur les deux premières places. Les valeurs 2 et 3 diffèrent par 1. Tous les bords bleus correspondent à des swaps de coordonnées sur les deux premières places.)

Le nombre de facettes est de 2ⁿ − 2, parce qu’ils correspondent à des sous-ensembles appropriés non vides S de {1 ... n}. Les vertices d’une facette correspondant au sous-ensemble S ont en commun, que leurs coordonnées sur les endroits en S sont plus petites que les autres. ^[4]