temps et Euler

 

Parmi les rationnels de numérateur et dénominateur inférieurs à 1 000, le plus proche de e est18 878/323 ≈ 2,71827.

En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation entre plusieurs constantes fondamentales et utilisant les trois opérations arithmétiques d'addition, multiplication et exponentiation :

${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}�}+1=0}$

où la base e du logarithme naturel représente l'analyse, l'unité imaginaire i représente l'algèbre, la constante d'Archimède π représente la géométrie, l'entier 1 l'arithmétique et le nombre 0 les mathématiques^{[réf. souhaitée]}1.

Elle est nommée d'après le mathématicien Leonhard Euler qui la fait apparaître dans son Introductio, publié à Lausanne en 1748. Avant d'être citée par Euler, cette formule était connue du mathématicien anglais Roger Cotes, mort en 1716.

L'identité d'Euler est souvent citée comme un exemple de beauté mathématique3.

En effet, outre l'égalité, trois des opérations fondamentales de l'arithmétique y sont utilisées, chacune une fois : l'addition, la multiplication et l'exponentiation. L'identité fait également intervenir cinq constantes mathématiques fondamentales4 :

• 0, l'élément neutre de l'addition.
• 1, l'élément neutre de la multiplication.
• π, omniprésente en trigonométrie, en géométrie dans l'espace euclidien et en analyse mathématique (π = 3,14159265...)
• e, base des logarithmes qui apparait souvent en analyse, calcul différentiel et mathématiques financières (e = 2,718281828...). Tout comme π, c'est un nombre transcendant.
• i, l'unité imaginaire à la base des nombres complexes, qui ont permis l'étude de la résolution des équations polynomiales avant de voir leur usage élargi.

L'inventaire de ces différents éléments est mieux mis en évidence par la notation polonaise inverse de la formule d'Euler :

0 ; 1 ; e ; i ;π ; * ; ^ ; +; =

De plus, sous cette forme, l'identité est écrite comme une expression égale à zéro, une pratique courante en mathématique.

On en déduit que l'exponentielle complexe est 2πi-périodique.

On voit ainsi apparaître les développements en série de Taylor des fonctions cosinus et sinus5 :

${\displaystyle \cos (�)=1-\frac{{�}^2}{2!}+\frac{{�}^4}{4!}-\frac{{�}^6}{6!}+\cdots =\sum _{�=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{�}{�}^{2�}}{(2�)!}}$

${\displaystyle \sin (�)=�-\frac{{�}^3}{3!}+\frac{{�}^5}{5!}-\frac{{�}^7}{7!}+\cdots =\sum _{�=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{�}{�}^{2�+1}}{(2�+1)!}}$

ce qui, en remplaçant dans l'expression précédente de e^ix, donne bien :

${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}�}=\cos (�)+\mathrm{i}\sin (�).}$

Un et:ou zéro

 

Cardinal d'un ensemble

  Par exemple, soit f(n) le nombre de sous-ensembles distincts de nombres entiers dans l'intervalle [1, n] qui ne contiennent pas deux nombres entiers consécutifs. 

Par exemple, avec n = 4, nous obtenons ∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 }, { 1, 3 }, { 1, 4 }, { 2, 4 }, et donc f(4) = 8.

 Il s'avère que f(n) est le nème nombre de Fibonacci, qui peut être exprimé sous la forme « fermée » suivante :

${\displaystyle �(�)=\frac{{�}^{�}}{\sqrt{5}}-\frac{(1-�{)}^{�}}{\sqrt{5}}}$

où Φ = (1 + √5)/2, est le nombre d'or. Cependant, étant donné que nous considérons des ensembles de nombres entiers, la présence du √5 dans le résultat peut être considérée comme inesthétique d'un point de vue combinatoire. Aussi f(n) peut-il être exprimé par une relation de récurrence :

f(n) = f(n - 1) + f (n - 2)

ce qui peut être plus satisfaisant (d'un point de vue purement combinatoire), puisque la relation montre plus clairement comment le résultat a été trouvé.

Dans certains cas, un équivalent asymptotique g de f,

f(n)~g(n) quand n tend vers l'infini

où g est une fonction « familière », permet d'obtenir une bonne approximation de f. Une fonction asymptotique simple peut être préférable à une formule « fermée » extrêmement compliquée et qui informe peu sur le comportement du nombre d'objets. Dans l'exemple ci-dessus, un équivalent asymptotique serait :

${\displaystyle �(�)\sim \frac{{�}^{�}}{\sqrt{5}}}$

quand n devient grand.

Une autre approche est celle des séries entières. f(n) peut être exprimé par une série entière formelle, appelée fonction génératrice de f, qui peut être le plus couramment :

• la fonction génératrice ordinaire

• ou la fonction génératrice exponentielle

Une fois déterminée, la fonction génératrice peut permettre d'obtenir toutes les informations fournies par les approches précédentes. En outre, les diverses opérations usuelles comme l'addition, la multiplication, la dérivation, etc., ont une signification combinatoire ; et ceci permet de prolonger des résultats d'un problème combinatoire afin de résoudre d'autres problèmes.

Combinatoire — Wikipédia (wikipedia.org)

• Un produit cartésien A × B est vide si et seulement si A ou B est vide. En particulier : pour tout ensemble ${\displaystyle �}$,${\displaystyle \varnothing \times �=�\times \varnothing =\varnothing }$.
• Les deux facteurs d'un produit sont entièrement déterminés par ce produit, s'il est non vide. Plus précisément : si ${\displaystyle �\ne \varnothing }$ alors ${\displaystyle �\in �\iff \mathrm{\exists }�(�,�)\in �\times �}$ et de même, si ${\displaystyle �\ne \varnothing }$ alors ${\displaystyle �\in �\iff \mathrm{\exists }�(�,�)\in �\times �}$.
• Si A et B sont finis, alors le cardinal de A × B est égal au produit des cardinaux de A et de B

Produit cartésien — Wikipédia (wikipedia.org)

Factorisation des factorielles

 

FACTORISATION des FACTORIELLES   Méthode de factorisation. En déduire quelques caractéristiques, comme la quantité de zéros à droite.

 

 

Approche
Formons la factorisation première des nombres factoriels.	2! = 1 . 2 3! = 1 . 2 . 3 4! = 1 . 2 . 3 . 4 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6	= 2 = 6 = 24 = 120 = 720	= 2 = 2  . 3 = 23 . 3 = 23 . 3  . 5 = 24 . 32 . 5
Examinons le cas de 6! Quel est l'exposant du facteur 2 On effectue les divisions indiquées Arrêt si le résultat est inférieur à 1 On prend les parties entières de ces résultats On les additionne	6/2 = 3 6/22 = 1,5 6/23 = 0,75	=> 3 => 1 => 0 =   4	4 est l'exposant du facteur 2
Même opération avec 3, le nombre premier immédiatement après 2	6/3 = 2 6/32 = 0,66	=> 2 => 0 =   2	2 est l'exposant du facteur 3
Et avec le 5, le nombre premier suivant Inutile d'aller plus loin avec le nombre premier 7, car la division donnera un résultat inférieur à 1	6/5 = 1 6/52 = 0,24	=> 1 => 0 =   1	1 est l'exposant du facteur 5

x

Théorème
Si n est un nombre entier supérieur ou égal à 1 et si p est un nombre premier, l'exposant de p dans la décomposition de n! en facteurs premiers est égal à  = [ n/p] + [ n/p2] + [ n/p3] + [ n/p4] + …   Rappel de notation: Les crochets droits indiquent que l'on retient la partie entière du nombre. Exemple: [5,32] = 5

x

Exemple avec 10!, 00! et 1000!
Méthode directe	Application du théorème
10! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10       =     2 . 3 . 22. 5 . 2.3 . 7 . 23 . 32 . 2.5             =     28 . 34 . 52 . 7             = 3 628 800	10/2 = 5 10/22 = 2,5 10/23 = 1,25	=> 5 => 2 => 1 =   8	28
	10/3 = 3,33 10/32 = 1,11	=> 3 => 1 =   4	34
	10/5 = 2	=> 2 =   2	52
	10/7 = 1,42	=> 1	71
	10/11 = 0,9	=> 0	Fin
Cas de 100 !	Exemple de calcul pour 2
100! = 297 . 348 . 524 . 716 .119 . 137 . 175 . 195 . 234 . 293 . 313 . 372 . 412 . 432 . 472 . 53 . 59 . 61 . 67 . 71 . 73 . 79 . 83 . 89 . 97	100/2 =   50 100/22 =   25 100/23 = 12,5 100/24 = 6,25 100/25 = 3,12 100/26 = 1,56 100/27 = 0,78	=> 50 => 25 => 12 =>   6 =>   3 =>   1 =>   0 =   97	297
Cas de 1000 !	Exemple de calcul pour 5
1000! => se termine par 249 zéros   En effet, la puissance de 5 est 249 et combiné avec 249 fois le 2 (il y beaucoup plus de 2, bien sûr), le produit donne 10 (donc un zéro) à chaque fois.	1000/5 = 200 1000/52 =   40 1000/53 =     8 1000/54 =  1,6	=> 200 =>   40 =>     8 =>     1 =   249	5249

x

Factorielles, propriétés (free.fr)

TFA et factorielles (free.fr)

Villemin