Factorielle Trailing zeros

La quantité de zéros finaux (trailing zeros) dans n! est donnée par cette formule, avec 5^k  n:

Exemples (on ne conserve que les parties entières des divisions)

Du même ordre: quantité de puissances d'un premier dans un nombre factoriel

Exemples

Etc.

Or 10! = 2⁸ x 3⁴ x 5² x 7

x

http://www.purplemath.com/modules/factzero.htm

-1/12 Effet Casimir

https://sciencetonnante.wordpress.com/2015/09/11/leffet-casimir-et-le-retour-de-12345-112/

Le problème 3n+1

http://images.math.cnrs.fr/Le-probleme-3n-1-elementaire-mais.html




https://www.jasondavies.com/collatz-graph/

Vidéo

Factorielle tronquée

Factorielles tronquées de n à n – 5
Calcul des expressions développées des six premiers polynômes. La notation classique est (x)n pour les expressions signées telles qu'exprimées dans le tableau. La notation (x)n correspond à la même expression avec somme des valeurs absolues des termes. Chaque coefficient est noté s(n,k). Ainsi s(4,2) = 11 (on compte à partir de la droite).

x

Mécanisme de création des nombres de Stirling

Cas de x(4!) Comment, par exemple, passer de x3 – 3x2 + 2x à x4 – 6x3 + 11x2 – 6x. Il s'agit de multiplier la première expression par x – 3. Le schéma montre que chaque nouveau coefficient est égal à al somme du précédent augmenté de 3 fois celui qui est au-dessus. Cas de x(5!) Appliquons le mécanisme en se souvenant que les signes sont alternés: (x)5 => (1, 1x4+6, 6x4+11, 11x4+6, 6x4) (x)5 =    x5 – 10x4 + 35x3 – 50x2 + 24

FIBONACCI

998001

Environnement,y=f(x,y,z,t), Environnement

Le mystère mathématique d’une ancienne tablette babylonienne

Ils démontrent également comment les anciens scribes, qui ont utilisé une base arithmétique numérique similaire à notre horloge plutôt que le système de base de 10, pourraient avoir généré les nombres sur la tablette en utilisant leurs techniques mathématiques.

111,666

666 and the Magickal Seal of the Sun

The “Seals of the Planets,” popular before the time of Christ according to Budge (Amulets and Superstitions), are interesting because the seal containing “the Grand Number of the Sun” contains the very sacred number 36 laid out in a 6×6 square with the numbers from 1 to 36 so arranged that they add up the same in all directions, with the total of the whole seal 666.

Though popular also in Eastern lands, the Greek and Roman, or Latin, inscriptions on these seals show also their popularity in the West.. Since the sun-god was considered as the ruler over the 36 constellations of the sky and the 36 rooms of the circle of the zodiac, it was inevitable that the summary number of the numbers from 1 to 36, the number 666 should have been assigned to the sun as the ruler over all the gods of heaven and earth.

Babylonian astrologers divided the starry heavens into 36 constellations (ten days each). These were represented by different amulets called “Sigilla Solis,” or the Sun Seal. These amulets were worn by the pagan priests and they contained all the numbers from 1 to 36. By these figures they claimed to be able to foretell future events. These amulets were usually made of gold, yellow being the sun color. While being carried, these amulets were wrapped in yellow silk, as it was thought that the bearer would thus receive the beneficent powers believed to emanate from that jewel.

Adding the numbers of any column either horizontally or vertically, and also the two diagonals crossing the square, the total is the same — 111. The sum of the six columns, either horizontally or vertically, is 666. The illustrations below taken from actual amulets in the Berlin Museum.

The 6×6 Magic Square of the Sun contains the first 36 numbers arranged in such a fashion so that each line of numbers, weather added horizontally, vertically or diagonally from corner to corner, will yield the “solar number” 111. The entire magic square therefore equals 666, a number which was significant to early Christian mystics.   In Hebrew Kabbalah, the names of the intelligence of the Sun and Spirit of the Sun were designed to equal 111 and 666 respectively. Like 888, 666 is an important musical number, for .666 is the ration of the perfect fifth, the most powerful harmonic interval.  — From Jesus Christ, Sun of God (Fidler)

http://blog.world-mysteries.com/science/numbers-magick/

Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), 

philosophe et mathématicien Allemand

 surnommé « le prince des mathématiques ».

repeating digits

Interesting, multiples of 3 multiplied by 37 = repeating digits
(1×3) or 1+1+1=3 x 37 = 111
(2×3) or 2+2+2=6 x 37 = 222
(3×3) or 3+3+3=9 x 37 = 333
(4×3) or 4+4+4=12 x 37 = 444
(5×3) or 5+5+5=15 x 37 = 555
(6×3) or 6+6+6=18 x 37 = 666
(7×3) or 7+7+7=21 x 37 = 777
(8×3) or 8+8+8=24 x 37 = 888
(9×3) or 9+9+9=27 x 37 = 999

et 333667*3*x .......

5.5511151231257827021181583404541015625 × 10^-17=1/2^54 etc ....

999 = neuf fois neuf = 999 999 999

Triangle de Pascal et Fibonacci

http://blog.world-mysteries.com/science/numbers-magick/

Triangle de Pascal et Sierpinski

Si on le construit à partir d'un triangle de Pascal avec 2ⁿ lignes et que l'on colore les nombres pairs en blanc et les nombres impairs en noir, alors le résultat est une approximation du triangle de Sierpiński.

http://blog.world-mysteries.com/science/numbers-magick/

Symbolique du nombre 7 (Chiffre)

SEPT

Fonction GAMMA

Lien avec la factorielle[modifier | modifier le code]

De ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)}$ et Γ(1) = 1, on déduit :

${\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} ,\;\Gamma (n+1)=n!}$.

La fonction gamma est donc généralement perçue comme un prolongement de la factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté les entiers négatifs ou nuls).
Une notation alternative est la fonction Π, introduite par Gauss :

${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)}$ (et donc ${\displaystyle \Gamma (z)=\Pi (z-1)=\Pi (z)/z}$),

de telle façon que :

${\displaystyle \Pi (n)=n!}$.

Formule de multiplication[modifier | modifier le code]

La fonction gamma vérifie également la formule de duplication : ${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$
La formule de duplication est un cas particulier du théorème de multiplication :
${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).}$ Cette fonction apparaît également dans des formules incluant la fonction zêta de Riemann.

Loi de Benford

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Benford



http://www.math-info.univ-paris5.fr/smel/articles/benford/cadre_benford.html

Resources

Calculateur en ligne de la loi de Benford
Fréquences relatives d’apparition de la 1ère décimale d’un résultat de mesure selon la Loi de Benford:

Loi de Benford et suites récurrentes   La loi de Benford prévoit que dans les ensembles de nombres, ( prix des articles contenus dans un caddie, masses moléculaires des produits présentés dans un catalogue, population des agglomérations d'un pays...), le 1er chiffre (celui de gauche ) sera "1" dans 30.1% des cas, "2" dans 17.6% ... et "9" dans seulement 4.6%. Surprenant mais logique : statistiquement vérifiable et mathématiquement démontrable.   Et avec les suites récurrentes ? Si pour la célèbre suite de Fibonacci l'accord est parfait, dans la suite un=4un-1 +3un-2 , avec u0=2 et u1=11, tous les nombres depuis u0 jusqu'à u200 (u200= 5.98..10 133) commencent par 1, 2 ou 5 avec une rigoureuse régularité, mais au-delà ?

pi , une fraction continue

La fraction continue 1²/(6+3²/(6+5²/(6+7²/(6+9²/(6+11²/(6+13²/(6+15²/(6+17²/(etc...))))))))) est exactement égale à la partie décimale de Pi, soit 0,14159265358979... Il suffit donc de lui ajouter 3 pour obtenir la valeur exacte de Pi :

Platon

L'objet des mathématiques et l'objet de la dialectique selon Platon

1/2^n

La série de terme général (1/2)ⁿ est convergente et sa somme vaut : ${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =2.}$
1/(2^n)
1/2^52 = 2.220446049250313080847263336181640625 × 10^-16
1/(2^54) = 5.5511151231257827021181583404541015625 × 10^-17