Nombre DEMLO

Nombre DEMLO

OEIS

Somme des chiffres
Pour les neuf premiers la somme des chiffres est un carré. En effet, pour n = 5, on a: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 2 x (1 + 2 + + 4 ) + 5 = 2 x (1 + 2 + … + n-1) + n = 2 x  (n – 1) n / 2 + n =        (n – 1) n + n =         n² Voir Somme des nombres consécutifs La suite des sommes: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 82, 85, 90, 97, 106, 117, 130, 145, 162, 163, 166, 171, 178, 187, 198, 211, 226, …

Définition des nombres de Demlo selon Kaprekar
Un nombre de Demlo est composé de trois parties: Ga, Mi et Dr concaténées. D = concat(Ga, Mi, Dr)	Mi est un repdigit en a. Ga et Dr ont le même nombre de chiffres p. (un 0 peut être ajouté à gauche de Ga si nécessaire). Ga + Dr = repdigit en a (comme pour Mi).

Passé , Présent, Avenir  

repunit

The term repunit comes from the words 'repeated' and 'unit;' so repunits are positive integers in which every digit is one. (This term was coined by A. H. Beiler in [Beiler1964].)

 For example, R₁=1, R₂=11, R₃=111, and R_n=(10ⁿ-1)/9. 
Notice R_n divides R_m whenever n divides m.

Repunit primes are repunits that are prime.

 For example, 11, 1111111111111111111, and 11111111111111111111111 (2, 19, and 23 digits). The only other known repunit primes are the ones with 317 digits: (10³¹⁷-1)/9, 1,031 digits and (10¹⁰³¹-1)/9.

Factorization of decimal repunits

(Prime factors colored red means "new factors", i. e. the prime factor divides R_n but does not divide R_k for all k < n) (sequence A102380 in the OEIS)^[2]

R1 = 1 R2 = 11 R3 = 3 · 37 R4 = 11 · 101 R5 = 41 · 271 R6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 R7 = 239 · 4649 R8 = 11 · 73 · 101 · 137 R9 = 32 · 37 · 333667 R10 = 11 · 41 · 271 · 9091

R11 = 21649 · 513239 R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901 R13 = 53 · 79 · 265371653 R14 = 11 · 239 · 4649 · 909091 R15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161 R16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353 R17 = 2071723 · 5363222357 R18 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667 R19 = 1111111111111111111 R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961

R21 = 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689 R22 = 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 R23 = 11111111111111111111111 R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001 R25 = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001 R26 = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049 R27 = 33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631 R28 = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449 R29 = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

Smallest prime factor of R_n for n > 1 are

11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 11111111111111111111111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, ... (sequence A067063 in the OEIS)

la physique marche vers la vie ... au travers du chiffre et du nombre

source

On passe de A à B par * / + - ! , il y a une "durée" entre A et B, (A;durée;C)

 (A/B;B/A,A^B ...... etc.) arithmétique

A│B et B│A : fusion de A et B par l'opérateur │

10! secondes = A

6 semaines = B

10!  secondes = 6 semaines

e Nombre exponentiel ou nombre de Neper

e  = 2, 7182818284  5904523536  0287471352  6624977572  4709369995

   9574966967  6277240766  3035354759  4571382178  5251664274 …

    Notez que 2,7 est suivi de deux fois 1828.

Fraction continue

e = 2,718 …   =  [2 ; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8...]

C'est Euler qui calcule la fraction continue de la base des logarithmes népériens et constate le développement périodique en 1, 2k, 1.

Cette périodicité prouve que e est irrationnel.

       e est l'initiale de exponentiel (nom donné par Euler) d'où le nom parfois donné à e: constante ou nombre d'Euler.

       e désigne la base du logarithme népérien (ou naturel).n

Nombres de Bernoulli

http://pi314.net/fr/bernoulli.php

Jacques Bernoulli connaissait quelques formules comme^[1],[2],[3] :
${\displaystyle {\begin{aligned}1+2+3+\cdots +(n-1)&={\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {n}{2}}&&={\frac {n(n-1)}{2}}\,;\\1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +{(n-1)}^{2}&={\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {n}{6}}&&={\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}\,;\\1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +{(n-1)}^{3}&={\frac {1}{4}}n^{4}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2}&&={\frac {n^{2}(n-1)^{2}}{4}}\,;\\1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +{(n-1)}^{4}&={\frac {1}{5}}n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {n}{30}}&&={\frac {n(n-1)(2n-1)(3n^{2}-3n-1)}{30}}\,;\\1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +{(n-1)}^{5}&={\frac {1}{6}}n^{6}-{\frac {1}{2}}n^{5}+{\frac {5}{12}}n^{4}-{\frac {1}{12}}n^{2}&&={n^{2}(n-1)^{2}(2n^{2}-2n-1) \over 12}.\end{aligned}}}$ Bernoulli observa que l'expression
${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=0}^{n-1}k^{m}=0^{m}+1^{m}+2^{m}+\cdots +{(n-1)}^{m}}$ est toujours un polynôme en n, de degré m + 1, de terme constant nul, dont le monôme dominant est ${\displaystyle {\frac {n^{m+1}}{m+1}}}$ et le monôme de degré m est^[4] (si m > 0) ${\displaystyle -{\dfrac {n^{m}}{2}}}$. On démontre (voir plus bas le paragraphe « Formules de récurrence ») que plus généralement, pour 0 ≤ k ≤ m, le coefficient de n^m+1–k est le produit par m!/(m + 1 – k)! d'un nombre qui dépend seulement de k et pas de m. On peut donc définir les nombres de Bernoulli B_k par :
${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {m!}{(m+1-k)!}}{\frac {B_{k}}{k!}}\,n^{m+1-k}={1 \over {m+1}}\sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose k}B_{k}\,n^{m+1-k}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}B_{k}\,{\frac {n^{m+1-k}}{m+1-k}}.}$

ζ(2) :

la convergence vers p (n de 1000 en 1000) est assez lente : 3,14159... n'est atteint que pour n = 360 000. 

fonction d'onde

Les variables dynamiques sont au nombre de 6 : 3 variables de position (x, y, z) et trois variables de quantité de mouvement (P_x, P_y, P_z).
D'après les équations de la mécanique, l'évolution d'un système décrit par un hamiltonien ou un lagrangien est entièrement déterminée par la donnée initiale de la position (x, y, z) et de la vitesse (v_x, v_y, v_z) — la masse étant connue, la quantité de mouvement est proportionnelle à la vitesse.

Daniel TAMMET

Lien

Heegner_number

 1****
Commentaire reçu :
Le fait de trouver les 3 ou 4 chiffres d'une autre constante 
(2.997... ou 1836...
 -- tiens, une vérité profonde dans le fait que 36 = 2 x 18 !?)
 dans un calcul "arbitraire" est assez haute 
(vous faites plein de calculs et vous vous arrêtez lorsque quelque chose de connu vous saute aux yeux, 
sinon vous ne vous seriez pas arrêté là!).
Il y a d'autres "miracles" 
qui ont des explications plus profondes, 
par exemple le fait que exp(pi*sqrt(163)) soit presque un entier:
 là c'est ni coïncidence, ni trivial,
 la marge est trop petite pour expliquer,
 mais vous saurez tout en cherchant "nombre de Heegener" sur google.


Réponse :

https://en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number   !

En base dix , 10 : 
Il est connu que neuf fois neuf , 9*9, est égal à quatre-vingt-un, 81

neuf fois neuf = 999 999 999 = 9*9
diviseurs :
1 | 3 | 9 | 27 | 37 | 81 | 111 | 333 | 999 | 2997 | 333667 | 1001001 | 3003003 | 9009009 | 12345679 | 27027027 | 37037037 | 111111111 | 333333333 | 999999999 (20 divisors)


Voir suite LS de Conway

Pi et atome d'hydrogène

Le chercheur Tamar Friedmann, de l'Université de Rochester (Etats-Unis) et son collègue Carl Hagen sont venus à une telle conclusion surprise en essayant de construire un modèle pratique des niveaux énergétiques auxquels les électrons peuvent se situer par rapport au noyau, dans un atome d'hydrogène.
"Ce qui est essentiel, c'est que notre découverte réunit de façon élégante la physique et les mathématiques. Je suis surpris de constater comment une formule purement mathématique du XVIIe siècle caractérise un système physique qui n'a découvert que 300 ans plus tard", a déclaré M.Friedmann.
Les chercheurs sont arrivés à cette conclusion en étudiant les mouvements des électrons sur les différents niveaux énergétiques. Plus l'électron était éloigné du noyau, plus son orbite ressemblait à un cercle parfait.
L'étude de ces cercles a permis de se rappeler une formule introduite par un mathématicien britannique en 1655 pour définir le nombre Pi. Les paramètres de cette formule reflétaient exactement la répartition des propriétés réelles et découvertes des niveaux énergétiques.
Selon les chercheurs, la découverte du sens physique du nombre Pi affirme l'existence de liens entre le monde abstrait des mathématiques et le monde réel de la physique.

Evariste GALOIS

"Quand la concurrence c'est à dire l'égoisme ne règnera plus dans les sciences, 
quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies  des paquets cachetés, 
on s'empressera de publier ses moindres observations pour peu qu'elles soient nouvelles,
et on ajoutera: "je ne sais pas le reste".

                                                                                                                                                                             Evariste Galois, 1831        

Depuis des décennies le graal des physiciens focalisé sur la Théorie du Tout, tente d’unifier le macrocosme extragalactique avec le microcosme subatomique pour exprimer la réalité physique externe. Or seules les mathématiques permettent d’énoncer les lois fondamentales de la physique et de décrire tout l’univers à l’aide de seulement 32 nombres, dont les valeurs d’une si surprenante précision ont permis l’apparition de la vie, des êtres humains, de leur conscience de soi. L’hypothèse de l’univers mathématique (HUM) énoncée ici est un renversement complet de notre appréhension du monde. Elle stipule que le monde « est » mathématique, non que les mathématiques sont un outil pour le décrire. Nos avancées vers toujours plus d’abstraction en mathématiques pourraient n’être que la révélation d’une structure préexistante dont nous les humains sommes faits, structure absolue dans laquelle l’espace-temps quadridimensionnel immuable signifierait qu’il n’y a ni espace ni temps. 

Source

Conscience et physique quantique

La physique quantique pourrait-elle nous permettre d’en apprendre davantage sur la conscience ?


Le problème aujourd’hui réside dans l’interprétation de la physique quantique. Des controverses existent pour savoir en quoi la physique quantique est liée à la question de la conscience ; et tout le monde n’est pas d’accord pour dire que la conscience a quelque chose à voir avec la physique quantique. En revanche, des sources très sérieuses existent pour dire que cela est fortement possible, et notamment parmi les fondateurs de la physique quantique comme le mathématicien John Von Neumann, suivi notamment par Eugène Wigner. Pour eux, il existe un agent psychique : le fait de se concentrer, de penser à quelque chose, dégage une sorte d’énergie capable d’interagir avec la matière à l’échelle quantique. Leur interprétation consiste également à affirmer qu’un phénomène quantique doit être observé par une conscience, afin qu’il prenne réellement forme. 


Ces interconnexions font que les états quantiques s’annulent, et qu’il n’y a qu’une forme qui se manifeste. La particularité de l’état quantique réside dans sa manifestation sous plusieurs formes, potentiellement. Cela part de la nature même de la matière, de la particule élémentaire, qui peut être une onde ou un corpuscule selon les conditions d’observation. Il existe une interprétation consistant à dire que c’est la conscience qui force la matière à se manifester de telle ou telle façon, et notamment d’adopter un comportement ondulatoire ou particulaire.

 Une autre interprétation, se rapprochant davantage de la décohérence, consiste, elle, à dire que ce sont les interactions naturelles entre les objets quantiques qui figent les états quantiques et qui forcent la matière à adopter une forme plutôt qu’une autre. 

Neuf fois neuf = quatre- vingt-un=9*9=81=999999999=81*12345679=37*333667*81= ....   en base de numération 10 !!
37*333667

= 111011100110101100100111111111 en base 2

source

Nombre cyclique, phénix

Un nombre cyclique,

 ou nombre phénix,


est un entier dont les permutations circulaires des chiffres correspondent aux multiples du nombre.


Le plus connu est 142857 :


142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

Source

où b est la base (10 dans le cas du système décimal) et p est un nombre premier ne divisant pas b. Les nombres premiers p qui génèrent des nombre cycliques sont appelés nombres premiers longs.

Par exemple, le cas b = 10, p = 7 donne le nombre cyclique 142857.

A001913

Nombre cyclique — Wikipédia (wikipedia.org)

Nombres

Site


Nombres reels

Valeur approchée de PI

256/81

(16/9)^2

• Vers 1650 av.JC, les Egyptiens avaient comme valeur (16/9)² qui vaut environ 3,16. Cette valeur a été retrouvée sur le fameux papyrus de Rhind, écrit par le scribe Ahmès, acheté par un Ecossais qui s'appelle ... Henry Rhind. Il est conservé au British museum.
  
  

  Le Papyrus de Rhind provient du temple mortuaire de Ramsès II à Thèbes, en Egypte (la ville où est érigé le temple de Karnak) et fut acheté par Alexander Rhind. Il a été écrit vers -1650 par le scribe Ahmès. Constitué de 14 feuilles de papyrus, il mesurait à l'origine plus de 5 m de longueur sur 32 cm de large. Il est le plus vieux traité de mathématiques du monde et contient 87 problèmes dont, par exemple, la décomposition des fractions en fractions unitaires (dont le numérateur est 1), de l'arithmétique ( multiplications et divisions ), résolution d'équations, l'arpentage (mesures des distances) et à la géométrie : aires planes (du trapèze en particulier), volumes de greniers à grains, calcul de pyramides .

  Cliquez sur l'image pour la voir en plus grand 3.160493827160493827160493827160493827160493827160493827160... 49382716=2^2×37×333667

• Ensuite, pi apparaît :
• En Chine vers 1200 av.JC, avec pour valeur 3.
• Dans la Bible vers 550 av.JC, avec pour valeur 3.
• En Grèce , avec en particulier Archimède en 250 av.JC qui donne l'encadrement 223/71 < pi< 22/7 et Ptolémée en 150 qui utilise 3 +8/60 + 30/3600 = 3,1416666.
• En Chine au Vème siècle , avec pour valeur 355/113.
• En Inde : 3 + 177/1250 = 3,1416 en 380 puis 3,16227 (racine carrée de 10) avec Brahmagupta en 640
• Au Moyen-Orient avec Al Khwarizmi en 800 (Ouzbekistan) et Al Kashi en 1429 (Turkestan) qui calcule 14 décimales de pi.
• En Europe : l'Italien Fibonacci, en 1220, trouve la valeur 3,141818, au Pays-Bas avec Van Ceulen (20 décimales en 1596 puis 34 décimales en 1609 !), en France avec Viète (9 décimales en 1593).

Valeur approchée de PI

256/81

(16/9)^2

• Vers 1650 av.JC, les Egyptiens avaient comme valeur (16/9)² qui vaut environ 3,16. Cette valeur a été retrouvée sur le fameux papyrus de Rhind, écrit par le scribe Ahmès, acheté par un Ecossais qui s'appelle ... Henry Rhind. Il est conservé au British museum.
  
  

  Le Papyrus de Rhind provient du temple mortuaire de Ramsès II à Thèbes, en Egypte (la ville où est érigé le temple de Karnak) et fut acheté par Alexander Rhind. Il a été écrit vers -1650 par le scribe Ahmès. Constitué de 14 feuilles de papyrus, il mesurait à l'origine plus de 5 m de longueur sur 32 cm de large. Il est le plus vieux traité de mathématiques du monde et contient 87 problèmes dont, par exemple, la décomposition des fractions en fractions unitaires (dont le numérateur est 1), de l'arithmétique ( multiplications et divisions ), résolution d'équations, l'arpentage (mesures des distances) et à la géométrie : aires planes (du trapèze en particulier), volumes de greniers à grains, calcul de pyramides .

  Cliquez sur l'image pour la voir en plus grand 3.160493827160493827160493827160493827160493827160493827160... 49382716=2^2×37×333667

• Ensuite, pi apparaît :
• En Chine vers 1200 av.JC, avec pour valeur 3.
• Dans la Bible vers 550 av.JC, avec pour valeur 3.
• En Grèce , avec en particulier Archimède en 250 av.JC qui donne l'encadrement 223/71 < pi< 22/7 et Ptolémée en 150 qui utilise 3 +8/60 + 30/3600 = 3,1416666.
• En Chine au Vème siècle , avec pour valeur 355/113.
• En Inde : 3 + 177/1250 = 3,1416 en 380 puis 3,16227 (racine carrée de 10) avec Brahmagupta en 640
• Au Moyen-Orient avec Al Khwarizmi en 800 (Ouzbekistan) et Al Kashi en 1429 (Turkestan) qui calcule 14 décimales de pi.
• En Europe : l'Italien Fibonacci, en 1220, trouve la valeur 3,141818, au Pays-Bas avec Van Ceulen (20 décimales en 1596 puis 34 décimales en 1609 !), en France avec Viète (9 décimales en 1593).