Théorème des deux lunules

Soit le triangle ABC rectangle en B et ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ le cercle circonscrit à ABC (de diamètre AC).
La lunule ${\displaystyle L_{BC}}$ est la figure formée par le demi-disque de diamètre BC extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.
La lunule ${\displaystyle L_{BA}}$ est la figure formée par le demi-disque de diamètre BA extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.
Alors la somme des aires de ${\displaystyle L_{BC}}$ et de ${\displaystyle L_{BA}}$ (en bleu sur la figure) est égale à l'aire du triangle ABC (en vert).
...........................................................
Soit un triangle ABC rectangle en B.
Les deux petites parties blanches représentent ce qui reste du demi-disque de diamètre AC quand on le prive du triangle ABC. La somme de leurs aires est donc ${\displaystyle {\text{Aire}}(AC)-{\text{Aire}}(ABC).}$
Les deux lunules sont les deux demi-disques de diamètre AB et BC privés de ces parties blanches. La somme de leurs aires est donc
${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Aire}}(L_{BC})+{\text{Aire}}(L_{BA})&={\text{Aire}}(AB)+{\text{Aire}}(BC)-\left[{\text{Aire}}(AC)-{\text{Aire}}(ABC)\right]\\&=\left[{\text{Aire}}(AB)+{\text{Aire}}(BC)-{\text{Aire}}(AC)\right]+{\text{Aire}}(ABC).\end{aligned}}}$ Pour montrer le théorème, il suffit donc de montrer que ${\displaystyle {\text{Aire}}(AB)+{\text{Aire}}(BC)-{\text{Aire}}(AC)=0}$, c'est-à-dire que la somme des aires des deux demi-disques de diamètre AB et BC est égale à l'aire du demi-disque de diamètre AC.
Or le théorème de Pythagore nous dit que
${\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}.\,}$ Donc en multipliant par ${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$ on a
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {AC}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {AB}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {BC}{2}}\right)^{2},}$ ce qui est l'égalité des aires recherchée.


Ce pi/8 me laisse perplexe .... la somme des 20 premières décimales de pi est égale à 100

332667

8/332667

0.000024048072096120144168192216240264288312336360384408432456...
(period 999)

0.000024 048 072 096 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408^_\
432 456 480 504 528 552 576 600 624 648 672 696 720 744 768 792 816 840 86^_\
4 888 912 936 960 985 009 033 057 081 105 129 153 177 201 225 249 273 297 3^_\
21 345 369 393 417 441 465 489 513 537 561 585 609 633 657 681 705 729 753^_\
777 801 825 849 873 897 921 945 969 994 018 042 066 090 114 138 162 186 21^_\
0 234 258 282 306 330 354 378 402 426 450 474 498 522 546 570 594 618 642 6^_\
66 690 714 738 762 786 810 834 858 882 906 930 954 979 003 027 051 075 099^_\
123 147 171 195 219 243 267 291 315 339 363 387 411 435 459 483 507 531 55^_\
5 579 603 627 651 675 699 723 747 771 795 819 843 867 891 915 939 963 988 0^_\
12 036 060 084 108 132 156 180 204 228 252 276 300 324 348 372 396 420 444^_\
468 492 516 540 564 588 612 636 660 684 708 732 756 780 804 828 852 876 90^_\
0 924 948 972 997 0210450690931171411651892132372612853093333^_\
57381405429453477501525549573597621645669693717741765789^_\
81383786188590993395798200603005407810212615017419822224^_\
62702943183423663904144384624865105345585826066306546787^_\
02726750774798822846870894918942966991015039063087111135^_\
15918320723125527930332735137539942344747149551954356759^_\
16156396636877117357597838078318558799039279519760000^_
(period 999)
24 heures ........8 4 2 

Inverse des nombres premiers

Le tableau ci-dessous propose un classement des nombres premiers en fonction de la longueur de la période de leurs inverses.
L'inverse d'un nombre premier, noté 1/p possède un développement décimal périodique dont la longueur de la période est notée δ_(p)
Ceci exclut les nombres premiers 2 et 5 dont l'inverse ne possède pas de développement décimal périodique

Tableau des nombres premiers dont δ_p <101[modifier | modifier le code]

23, 4093, 8779 ..... En mathématiques, le théorème de Midy, dû au mathématicien français Étienne Midy[1],[2], est un énoncé concernant le développement décimal périodique d'une fraction a/p (comprise, sans perte de généralité, entre 0 et 1), où p est un nombre premier (différent de 2 et 5) tel que la période soit paire. Une telle fraction s'écrit ${\displaystyle {\frac {a}{p}}=0{,}{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{k}a_{k+1}\dots a_{2k}}}}$ et le théorème établit que les chiffres dans la deuxième moitié de la période sont les compléments à 9 (en) de ceux qui leur correspondent dans la première moitié. En d'autres termes : ${\displaystyle a_{i}+a_{i+k}=9}$ ou encore : ${\displaystyle a_{1}\dots a_{k}+a_{k+1}\dots a_{2k}=10^{k}-1.}$

Age du cosmos

Le contenu, la géométrie et la topologie de l'univers selon Planck

L'âge du cosmos observable a été précisé, sa valeur est maintenant estimée à 13,77 milliards d'années avec une constante de Hubble qui vaut H₀=67,8 +/-0,9 km s-1 Mpc-1.

Il est composé à 4,9 % de matière baryonique dont une partie importante ne se trouve pas sous forme d'étoiles.

Selon les estimations, son contenu en matière noire constitue 25,9 % de la masse de l'univers observable. On ne sait toujours pas de quoi est constituée cette matière noire (à l'exception d'une très faible fraction qui est sous forme de trois familles de neutrinos dont la somme des trois masses individuelles est inférieure à 23 eV). 

Des contraintes ont cependant été établies sur les propriétés de ces particules comme l'ont annoncé les membres de la collaboration Planck l'année dernière.

L'énergie noire reste la composante dominante de l'univers observable aujourd'hui : elle constitue à 69,2 % la masse contenu dans son volume (rappelons que le paramètre décrivant le contenu en énergie noire d'un modèle de cosmologie relativiste standard se note Ω_Λ et celui décrivant la matière noire et baryonique Ω_m.

 Leur somme est égal à 1 dans un univers exactement plat).

Deep Learning

La réponse est que l’univers est gouverné par un petit ensemble de toutes les fonctions possibles. En d’autres termes, quand les lois de la physique sont écrites avec les mathématiques, alors on peut les décrire en intégralité avec un ensemble de propriétés très simples. De ce fait, les réseaux de Deep Learning n’ont pas besoin d’analyser toutes les images, mais seulement une fraction.

Pour le mettre en perspective, on peut considérer la grandeur d’une fonction polynomiale qui est la taille de son plus grand exposant. Donc, une équation quadratique telle que y=x² possède une grandeur de 2, l’équation y=x²⁴ possède une grandeur de 24 et ainsi de suite. Évidemment, le nombre de grandeurs est infini, mais seul un petit sous-ensemble de polynomial apparaît dans les lois de la physique. Pour des raisons qu’on ne comprend pas encore totalement, notre univers peut être décrit précisément par des polynomiaux Hamiltoniens d’une faible grandeur selon Lin et Tegmark. En moyenne, les polynomiaux qui décrivent les lois de la physique possèdent des grandeurs allant de 2 à 4.

Les lois de la physique possèdent d’autres propriétés importantes. Par exemple, elles sont habituellement symétriques pour la rotation et la conversion. Faites pivoter un chat ou un chien en 360 degrés et l’apparence sera la même. Une conversion de l’image en 10 mètres, en 100 mètres et même en 1000 mètres et elle restera la même malgré quelques différences. Ces 2 processus simplifient l’identification du chat et du chien.

L’univers possède une autre propriété qui est exploitée par les réseaux de Deep Learning. C’est la hiérarchie de sa structure. Les particules élémentaires forment des atomes qui forment des molécules qui forment des cellules qui forment des organismes jusqu’aux planètes et aux galaxies. 

Et les structures les plus complexes commencent toujours avec des étapes très simples.

SOURCE

suites

1+3+5+..+(2n-1)= n²
durée
1³+2³+..+n³=[n(n+1)/2]^{2
matière , contenu}

u(n)=n²(n+1)/2 et v(n)=n²(n-1)/2.
On a u(n)-v(n)=n² et u(n)+v(n)=n³

On considère la somme des nombres impairs (2k-1) pour k allant de v(n)+1 à u(n).
 Cette somme s'écrit:
(2*v(n)+1)+...+(2*u(n)-1).
Il y a u(n)-v(n)=n² termes et la moyenne entre le premier et le dernier est u(n)+v(n)=n³.
 La somme est donc égale à: n³*n²= n⁵.

1=1⁵

5+7+9+11=2⁵ (4 termes)

19+..+35=3⁵ (9 termes)

49+51+..+79=4⁵ (16 termes)

101+103+..+149=5⁵ (25 termes)


La source de cette question est une note du professeur Etienne Midy dans les Nouvelles annales de mathématiques (tome 5, 1846, pp. 640-646). (Numérisé). La même année à l'Académie des sciences, il y a plusieurs notes à ce sujet. Mais ce résultat sur la suite des impairs est très ancien. Dans l'Encyclopédie méthodique [Mathématiques, tome II, 197-199, publié en 1785], Jean-Joseph Rallier des Ourmes (1701-1771) écrit (dans la langue de l'époque):

"Si l'on conçoit les nombres impairs rangés par ordre à la fuite l'un de l'autre, il réfulte une progression arithmétique indéfinie, dont le premier terme eft 1, & la différence 2: c'eft ce qu'on nomme la fuite des impairs.

Cette fuite a une propriété remarquable relative à la formation des puiffances; mais qui n'a jufqu'ici, du moins que nous fachions, été connue ni développée qu'en partie. La voici dans toute fon étendue.

A toute puissance numérique d'une racine r & d'un exposant e quelconques, répond, dans la fuite générale des impairs, une fuite fubalterne des termes consécutifs, dont la fomme eft cette puiffance même.


Il s'agit d'en déterminer généralement le premier terme p, & le nombre de termes n."

                     

Particules, temps, durée

Particules,
 points et instants, 
des éléments séparés où il n’y a point d’idée de mouvement,
 simplement des corrélations, 
et si de pareilles constructions sont possibles, 
dès lors la physique mathématique s’applique au monde réel, 
en dépit du fait que ces particules, 
points et instants, 
ne se trouvent pas parmi les entités existant véritablement.

Le chiffre et le nombre existent et représentent l'infiniment petit ....

Leonhard Euler

Leonhard Euler n’usa point de mots ou de tournures poétiques pour démontrer l’existence de Dieu, 
mais d’une équation mathématique: 

«Monsieur, (a+bn)/n=x

donc Dieu existe

, répondez!» 

a+b+c=d Viviani

Triangle de pascal

Les premières lignes :
1
11^2 = 121
11^3= 1331
11^4= 14641


Vues comme un TOUT.

L'égalité «  » est vraie dans toutes 



les bases naturelles strictement 



supérieures à 2.

144 premières décimales de pi

The first 144 (12^2) digits in pi add up to 666

1.41592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359 × 10^143

Le nombre/motif 666 est présent 838 fois dans les 1000000 premières décimales de pi

667 en position 2441

Les 20 décimales de pi à partir de la position 2440 sont :
66672782398645659611

2^4×3^2=144

144 = 12^2 is a perfect square.

144 has the unique representation 144 = 4^2 + 8^2 + 8^2 as a sum of 3 squares.

144 has the representation 144 = 2^7 + 16.

144 divides 17^2 - 1.

144 = 99_15 repeats a single digit in base 15.

recherche d'un nombre dans PI

Recherche dans PI

PI/4

π4=1−13+15−17+19−111+113−⋯

-1/12 effet Casimir