Suites de CONWAY

bien intéressant,

le nombre traduit une évolution de contenu temporel.

Il y a une base de départ. écriture à gauche.

0 inexistence
1 existence

Il faut traduire ce contenu spatial (matériel) et temporel (immatériel) de 0 et 1.
A l'image de Conway, écriture gauche droite ou droite gauche  :

avec ajout du 1:
0 >>>>> 10 ou 01
1 >>>>> 11

avec ajout du 0 :
0>>>>> 00
1 >>>>>01 ou 10

puis on itère :
10 >>>> 110 ou 101
01 >>>>> 101 ou 011
11 >>>>> 111
00 >>>>>000
01 >>> 001 ou 010

.....




0
10
1011
211011
21102112
122112102112

....

1
11
21

Terme 4 = 1211

Terme 5 = 111221

Terme 6 = 312211

Terme 7 = 13112221

....

11

21

.....

01

1011

http://eljjdx.canalblog.com/archives/2014/01/19/28956887.html
http://oeis.org/A014967

http://mathworld.wolfram.com/CosmologicalTheorem.html

http://mathworld.wolfram.com/LookandSaySequence.html

http://mathworld.wolfram.com/ConwaysConstant.html

http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/horton.html

http://www.cs.cmu.edu/~kw/pubs/conway.pdf

Charles Hermite :

« Je vous ferais bondir,

 si j'osais vous avouer que je n'admets aucune solution de continuité, 

aucune coupure entre les mathématiques et la physique,

 et que les nombres entiers me semblent exister en dehors de nous et en s'imposant

 avec la même nécessité, la même fatalité que le sodium, le potassium, etc. »


— Correspondance avec Stieltjes, janv. 1889, Paris, éd. Gauthier-Villars, 1905, t. I, p. 332

Un nombre "homogène" fondamental

période du développement décimal 60

il suffit d'ajouter un zéro à droite pour avoir autant de chacun des chiffres ......
ou de considérer le 0 de gauche de 1/61 après la virgule,  significatif 0.01639344...

60 secondes 60 minutes 360 ° 24 heures

La genèse et la création du monde en 6 jours

6^10 = 604 66 176 ; 604+176 =780

Et 10! secondes = 6 semaines

Voir x/61

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal_p%C3%A9riodique_de_l%27inverse_d%27un_nombre_premier

Pi et ckplan volumes (Un moins epsilon)

Source






On retrouve par exemple 888178 qui sont les premiers chiffres de 1/(2^50) ...

puis 444089 1/2^51
puis 222045 1/2^52





777,999,666,888,555 

On passe par 2*pi ...

1******

Commentaire reçu (Anonyme) :

De même la "remarquable" formule qui donne à peu près pi * 10^(-14).

Non, si eps ,ci-après est égal à 10-7,on obtient 7 décimales de pi 1415926 ...

 Si vous développez 4/3 - 4/3*(1- 0.5 eps)^3 - 2*eps 

(où j'ai remplacé 10^-7 par eps) 

vous trouvez 
-eps^2 + 1/6 eps^3 = -(1-1/6*10^-7)*10^-14 : 
votre résultat est exactement ce facteur multiplié par pi.

C'est donc des "trivialités", et en allant au bout des petits calculs élémentaires lorsque vous faites une telle "découverte", 

vous trouvez vite l'explication simple.
1******
3******
Remarque : avec eps de la forme 5*10^-x ou 0.5*10^-x ....,

on n'obtient des décimales de pi qu'avec x > 2 ......

3.*****
ckplan  555382  .....

Melancolia Dürer

http://fr.wikipedia.org/wiki/Melencolia_de_D%C3%BCrer

Sur le mur derrière l'ange, figure un carré magique, dont la valeur est 34. Les carrés magiques sont, notamment dans les ésotérismes juif et islamique, associés à des connaissances secrètes qui furent transmises, pendant et avant l'époque de Dürer par des confréries d'ésotérisme chrétien qui maintenaient des relations suivies avec les initiés à l'ésotérisme islamique.

En ordonnant les nombres de 1 à 16 (ou à 9, 25 ou tout autre nombre carré supérieur à 4), une grille carrée peut être remplie de façon telle que la somme sur chaque ligne horizontale, verticale ou diagonale ait la même valeur. Les carrés magiques utilisés dans l'hermétisme sont d'ordre n, c'est-à-dire qu'ils ont n lignes et n colonnes, correspondant aux entiers allant de 1 à ${\displaystyle n^{2}}$. La somme de tous les nombres d'un tel carré magique de taille n a pour valeur :

${\displaystyle 1+2+\cdots +n^{2}={\frac {n^{2}(n^{2}+1)}{2}}~,}$

tandis que la valeur de ce carré, c'est-à-dire le même nombre que l'on retrouve en sommant les lignes, les colonnes, ou les deux diagonales vaut, puisqu'il y a n lignes et ncolonnes, la quantité précédente divisée par n c'est-à-dire :

${\displaystyle {\frac {1+2+\cdots +n^{2}}{n}}={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}~.}$

Les différentes tailles n sont mises en correspondance avec les « cieux » dans les représentations traditionnelles. Le carré d'ordre 4, tel celui que l'on trouve dans la Melencholia, est associé au ciel de Jupiter. La somme de tous ses nombres vaut donc 136, et sa valeur est 34. Le carré d'ordre 3 correspond au ciel de Saturne. Le carré d'ordre 6 est traditionnellement associé au ciel du Soleil. La somme de tous ses nombres vaut donc ${\displaystyle 1+2+\cdots +6^{2}=1+2+\cdots +36=666}$, et sa valeur est 111. Ainsi, on retrouve le fait que 666 est avant tout considéré, notamment par la Kabbale, comme un nombre « solaire », et c'est uniquement l'un de ses aspects, négatif, qui doit être considéré comme « maléfique », et non le nombre en lui-même, qui garde avant tout cet aspect solaire.

Le carré figurant dans la Melencholia est un type particulier de carré magique: la somme dans l'un de ses quatre quadrants, ainsi que la somme des nombres du carré du milieu, valent également 34, la valeur du carré10. C'est un carré magique gnomon.

Opérations

La somme de deux carrés magiques du même ordre donne également un carré magique, mais le résultat n'est pas normal, c'est-à-dire que les nombres ne forment pas la suite 1, 2, 3... Également, deux carrés magiques du même ordre peuvent être soustraits.

Le « produit » de deux carrés magiques crée un carré magique d'ordre supérieur aux deux multiplicandes. Ce produit s'effectue ainsi. Soit les carrés magiques M et N :

1. Le carré final sera d'ordre MxN.
2. Diviser le damier final en NxN sous-damiers de MxM cases.
3. Dans le carré N, réduire de 1 la valeur de tous les nombres.
4. Multiplier ces valeurs réduites par M × M. Les résultats sont reportés dans les cases de chaque sous-damier correspondant du carré final.
5. Les cases du carré M sont additionnées NxN fois aux cases du damier final.

Soit à effectuer le « produit » de ces deux carrés magiques, un de 3x3 et l'autre de 4x4. Le carré magique final sera de 12x12.

Le carré magique de 3x3 est remplacé par le produit (3 × 3) et chaque nombre dans le carré 4x4 est diminué de 1. Le damier final, de taille 12x12, est divisé en 4x4 sous-damiers, chacun ayant 3x3 cases. Chacune des cases s'obtient en multipliant (3 × 3) par l'une des cases du carré magique 4x4. Par exemple, 117 est le produit de 3 × 3 × 13. Ce carré est magique, mais n'est pas normal. La prochaine étape va « corriger » cette « anomalie ».

Après 4x4 additions du carré 3x3, le carré final est magique et normal.

La multiplication de carrés magiques permet de générer des carrés magiques de plus grandes tailles. Cette technique produit plus rapidement des carrés de grande taille que la construction à l'aide de l'une des méthodes directes (celles de la Loubère ou de Strachey, par exemple).

congruences

 

Notions de congruences

Pour la suite, vous aurez besoin de comprendre ce qu’est une congruence. Voici les indispensables.

Si a et b sont deux nombres entiers, avec a > b, la division euclidienne de a par b s’écrit:

a=bq+r,0⩽r<b.$$a=bq+r,0⩽r<b.$$

On dira alors que a est congru à r modulo b, et on écrira:

a≡rmodb.$$a\equiv r\mathrm{mod}b.$$

C’est ça une congruence.

Un résultat important est le suivant: si k est un entier naturel,

a≡rmodb⇒ak≡rkmodb.$$a\equiv r\mathrm{mod}b\Rightarrow a^k\equiv r^k\mathrm{mod}b.$$

Nous nous en servirons pour le critère de divisibilité par 3 et 9.

Un autre résultat important est que : si a < b et si b = a + r, alors:

a≡−rmodb.$$a\equiv -r\mathrm{mod}b.$$

Par exemple,

10=11−1$$10=11-1$$

donc:

10≡−1mod11.$$10\equiv -1\mathrm{mod}11.$$

Nous nous en servirons pour établir le critère de divisibilité par 11.

Congruences et critère de divisibilité par 3

Commençons par un critère connu depuis le collège:

Un nombre est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres l’est aussi.

Critère de divisibilité par 3

Notons:

N=∑k=0nxk×10k$$N=\sum _{k=0}^n{x}_k\times {10}^k$$

c’est-à-dire:

N=xn×10n+xn−1×10n−1+cdots+10x1+x0.$$N=x_n\times {10}^n+x_{n-1}\times {10}^{n-1}+cdots+10x_1+x_0.$$

Par exemple,

148=100+40+8=1×102+4×101+8×100.$$148=100+40+8=1\times {10}^2+4\times {10}^1+8\times {10}^0.$$

Nous savons que:

10=3×3+1$$10=3\times 3+1$$

et donc que:

10≡1mod3$$10\equiv 1\mathrm{mod}3$$

et donc que pour tout entier naturel k:

10k≡1mod3.$${10}^k\equiv 1\mathrm{mod}3.$$

Ainsi,

N≡∑k=0nxkmod3,$$N\equiv \sum _{k=0}^n{x}_k\mathrm{mod}3,$$

autrement dit:

N≡xn+xn−1+⋯+x1+x0mod3.$$N\equiv x_n+x_{n-1}+\cdots +x_1+x_0\mathrm{mod}3.$$

On a alors:

N divisible par 3⟺N≡0mod3⟺xn+xn−1+⋯+x1+x0≡0mod3$$\begin{array}{rl}N\text{ divisible par 3}& ⟺N\equiv 0\mathrm{mod}3\\ & ⟺x_n+x_{n-1}+\cdots +x_1+x_0\equiv 0\mathrm{mod}3\end{array}$$

ce qui signifie que N est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres l’est aussi.

Au passage, on remarquera que remplacer « 3 » par « 9 » ne change rien à la démonstration, ce qui signifie le résultat suivant:

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres l’est aussi.

Congruences et critère de divisibilité par 11

Les notations sont les mêmes que précédemment.

Nous savons que:

10≡−1mod11$$10\equiv -1\mathrm{mod}11$$

donc nous pouvons écrire:

N≡∑k=0nxk×(−1)kmod11≡∑k pairxk+∑k impair(−1)xkmod11≡∑k pairxk–∑k impairxkmod11$$\begin{array}{rl}N& \equiv \sum _{k=0}^n{x}_k\times (-1{)}^k\mathrm{mod}11\\ & \equiv \sum _{k\text{ pair}}{x}_k+\sum _{k\text{ impair}}(-1)x_k\mathrm{mod}11\\ & \equiv \sum _{k\text{ pair}}{x}_k–\sum _{k\text{ impair}}{x}_k\mathrm{mod}11\end{array}$$

Ainsi,

N divisible par 11⟺N≡0mod11⟺∑k pairxk–∑k impairxk≡0mod11$$\begin{array}{rl}N\text{ divisible par 11}& ⟺N\equiv 0\mathrm{mod}11\\ & ⟺\sum _{k\text{ pair}}{x}_k–\sum _{k\text{ impair}}{x}_k\equiv 0\mathrm{mod}11\end{array}$$

Cela peut paraître compliqué au prime abord, mais c’est très simple au final. Regardons sur un exemple. Soit:

N=5025449.$$N=5025449.$$

Le critère de divisibilité que nous venons de trouver suggère d’ajouter tous les chiffres de rangs pairs (notons P cette somme) et tout ceux de rangs impairs (notons I cette somme).

P=9+4+2+5=20I=4+5+0=9$$\begin{array}{r}P=9+4+2+5=20\\ I=4+5+0=9\end{array}$$

P−I=20−9=11≡0mod11$P-I=20-9=11\equiv 0\mathrm{mod}11$ donc N≡0mod11$N\equiv 0\mathrm{mod}11$, et donc N est divisible par 11.

Congruences et critère de divisibilité - Mathweb.fr - Par 3, 11, 13, 7 et... 17?