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Jacques Bernoulli connaissait quelques formules comme
[1],[2],[3] :
Bernoulli observa que l'expression
est toujours un
polynôme en
n, de degré
m + 1, de terme constant nul, dont le monôme dominant est
et le monôme de degré
m est
[4] (si
m > 0)
. On démontre (voir plus bas le paragraphe «
Formules de récurrence ») que plus généralement, pour 0 ≤
k ≤
m, le
coefficient de
nm+1–k est le produit par
m!/(
m + 1 –
k)! d'un nombre qui dépend seulement de
k et pas de
m. On peut donc définir les nombres de Bernoulli
Bk par :
ζ(2) :
la convergence vers p (n de 1000 en 1000) est assez lente : 3,14159... n'est atteint que pour n = 360 000.
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