Nombres de Bernoulli

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Jacques Bernoulli connaissait quelques formules comme^[1],[2],[3] :
${\displaystyle {\begin{aligned}1+2+3+\cdots +(n-1)&={\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {n}{2}}&&={\frac {n(n-1)}{2}}\,;\\1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +{(n-1)}^{2}&={\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {n}{6}}&&={\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}\,;\\1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +{(n-1)}^{3}&={\frac {1}{4}}n^{4}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2}&&={\frac {n^{2}(n-1)^{2}}{4}}\,;\\1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +{(n-1)}^{4}&={\frac {1}{5}}n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {n}{30}}&&={\frac {n(n-1)(2n-1)(3n^{2}-3n-1)}{30}}\,;\\1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +{(n-1)}^{5}&={\frac {1}{6}}n^{6}-{\frac {1}{2}}n^{5}+{\frac {5}{12}}n^{4}-{\frac {1}{12}}n^{2}&&={n^{2}(n-1)^{2}(2n^{2}-2n-1) \over 12}.\end{aligned}}}$ Bernoulli observa que l'expression
${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=0}^{n-1}k^{m}=0^{m}+1^{m}+2^{m}+\cdots +{(n-1)}^{m}}$ est toujours un polynôme en n, de degré m + 1, de terme constant nul, dont le monôme dominant est ${\displaystyle {\frac {n^{m+1}}{m+1}}}$ et le monôme de degré m est^[4] (si m > 0) ${\displaystyle -{\dfrac {n^{m}}{2}}}$. On démontre (voir plus bas le paragraphe « Formules de récurrence ») que plus généralement, pour 0 ≤ k ≤ m, le coefficient de n^m+1–k est le produit par m!/(m + 1 – k)! d'un nombre qui dépend seulement de k et pas de m. On peut donc définir les nombres de Bernoulli B_k par :
${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {m!}{(m+1-k)!}}{\frac {B_{k}}{k!}}\,n^{m+1-k}={1 \over {m+1}}\sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose k}B_{k}\,n^{m+1-k}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}B_{k}\,{\frac {n^{m+1-k}}{m+1-k}}.}$

ζ(2) :

la convergence vers p (n de 1000 en 1000) est assez lente : 3,14159... n'est atteint que pour n = 360 000.