PI et CKPLAN

PI et CKPLAN

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“The methods of theoretical physics should be applicable to all those branches of thought in which the essential features are expressible with numbers.”

Paul Dirac ((from the speech at the Nobel Banquet in Stockholm, December 10, 1933)


"l'univers est nombre."
"l'univers est écrit en langage mathématique. " Galilée
Le nombre porte en lui sa dimension temporelle ET matérielle.



R.G.U. : Réalité Générale de l'Univers



et

le temps .






Et Dieu créa le nombre, comme mesure du temps, l'homme le chiffre.

Constante arithmétique (Cf constante cosmologique) :
CKPLAN=5,55382562855700000E-17



"13 chiffres significatifs, somme 66 "











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CARPE DIEM.



Rendons grâce à Dieu.


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vendredi 13 janvier 2023

Suite de Farey

 La seconde propriété fondamentale des suites de Farey est que l'on peut facilement déterminer la première fraction à venir s'intercaler entre deux voisines:

Si  et  sont consécutives dans la suite d'ordre  et si  est la fraction médiane:

alors les fractions   et  sont consécutives dans la suite d'ordre 

Par exemple si on reprend les deux fractions  et  voisines dans  on a vu que la première fraction à s'intercaler est  qui est bien la médiane.

Interprétation géométrique de la médiane de deux fractions

L'emploi du terme médiane s'explique géométriquement : on se place dans le plan euclidien, on nomme  l'origine du repère ; à la fraction  on associe le point  de coordonnées  ; ainsi  est la pente de la droite du plan  issue de  et passant par  Si  est le point de coordonnées  associé à la fraction alors le milieu de  et  a pour coordonnées  et  ; on voit que la fraction médiane  est alors la pente de la médiane issue de  du triangle 

La propriété se démontre en utilisant la caractérisation des fractions voisines vue précédemment; de plus sous les hypothèses ci-dessus, notamment que  et  sont irréductibles, la fraction médiane  est automatiquement irréductible également.

La médiane est parfois également appelée somme du cancre ce qui est trompeur car, comme le produit en croix, elle dépend des représentations des fractions. Si on reprend l'exemple du produit en croix on a:  et . Dans ce cas, on voit que les médianes de  et , d'une part, et de  et  d'autre part (égales respectivement à  et ), ne sont pas égales. Comme pour le produit en croix on se restreindra à ne calculer les médianes que lorsque les fractions sont en forme irréductible de façon à lever toute ambiguïté.

La propriété admet une réciproque : si   et  sont consécutives dans une suite d'ordre , alors  est la médiane de  et  ; il se peut toutefois, lorsque  et  ne sont pas voisines, que cette fraction médiane ne soit pas irréductible. Par exemple si on considère les trois fractions   et  qui sont consécutives dans la suite  la fraction médiane de  et  est  qui n'est pas irréductible mais redonne  après simplification. De fait  et  ne sont voisines dans aucune suite.




Il existe également une caractérisation du voisinage en termes de fraction continue : si  admet le développement en fraction continue :

alors ses deux voisines dans la suite d'ordre  ont pour développement en fraction continue :

Ainsi  a pour développement en fraction continue  et ses voisines dans  sont  qui admet le développement  et  qui se développe en 

La propriété de la médiane est à la base de la construction de l'arbre de Stern-Brocot, une structure énumérant les fractions irréductibles obtenue en itérant l'opération de médiane à partir de 0 (= ) et l'infini (= )


Suite de Farey — Wikipédia (wikipedia.org)

avec PI 

22/7 +333/106 =... = 355/113

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