Calcul différentiel ou intégral

 Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) 

est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie,

 qui implique deux idées majeures complémentaires :

• Le calcul différentiel, qui établit une relation entre les variations de plusieurs fonctions, ainsi que la notion de dérivée. 
• La vitesse, l'accélération, et les pentes des courbes des fonctions mathématiques en un point donné peuvent toutes être décrites sur une base symbolique commune, les taux de variation, l'optimisation et les taux liés.
• Le calcul intégral, qui développe l'idée d'intégration, les techniques d'intégration, fait intervenir le concept d'aire sous-tendue par le graphe d'une fonction,
•  inclut des notions connexes comme le volume, les suites et séries.

Ces deux concepts définissent des opérations inverses au sens précis défini par les théorèmes fondamentaux du calcul infinitésimal. 

Ceci veut dire qu'ils ont une priorité équivalente. 

Cependant l'approche pédagogique habituelle commence par le calcul différentiel.

Calcul infinitésimal — Wikipédia (wikipedia.org)

Pour rendre concrètes ces notions, on considère dans le plan (xOy) un rectangle de côtés x et y dont deux points opposés sont O et M(x,y). Sa surface est égale à xy et dépend des coordonnées x et y du point M. En suivant une démarche intuitive, on convient de noter par dx une très petite variation de la variable x. Lorsqu'on fait subir au point M un déplacement très faible, la surface va changer et on peut écrire que S + dS = (x + dx)×(y + dy) = xy + x dy + y dx + dx dy, et on en déduit facilement que dS = x dy + y dx + dx dy.

Une simple application numérique où x et y seraient des mètres et dx et dy des centimètres illustre que dx dy est négligeable par rapport aux autres grandeurs.

On peut donner un statut mathématique précis aux notations dx et dy (qui sont des formes différentielles), et à la quantité dx dy qui est alors du second ordre. Le calcul précédent est en fait un calcul de développement limité à l'ordre 1, faisant intervenir les dérivées premières de la fonction xy par rapport aux deux variables.

On écrit donc :

${\displaystyle dS=(x+dx)\cdot (y+dy)-x\cdot y=y\cdot dx+x\cdot dy+dx\cdot dy=(y,x)\cdot (dx,dy)+dx\cdot dy={\overrightarrow {\nabla }}S\cdot {\overrightarrow {dOM}}+dx\cdot dy}$

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}S\cdot {\overrightarrow {dOM}}=(y{\vec {i}}+x{\vec {j}})\cdot (dx{\vec {i}}+dy{\vec {j}})=\left({\frac {\partial (xy)}{\partial x}}{\vec {i}}+{\frac {\partial (xy)}{\partial y}}{\vec {j}}\right)\cdot (dx{\vec {i}}+dy{\vec {j}})}$

Toutes ces égalités sont différentes façons d'écrire un produit scalaire de deux vecteurs :

${\displaystyle dS=(x+dx)\cdot (y+dy)-x\cdot y=y\cdot dx+x\cdot dy+dx\cdot dy=\mathrm {\overrightarrow {\mathrm {grad} }} (xy)\cdot {\overrightarrow {dOM}}+dx\cdot dy={\overrightarrow {\nabla }}(xy)\cdot {\overrightarrow {dOM}}+dx\cdot dy}$ où ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(xy)=(y,x)}$

L'intérêt de l'introduction de ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs paramètres est de visualiser le fait que la fonction va varier le plus dans la direction du vecteur gradient et qu'elle ne va pas varier pour tout changement des paramètres dans une direction perpendiculaire au gradient.

${\displaystyle (y{\vec {i}}+x{\vec {j}})\cdot (dx{\vec {i}}+dy{\vec {j}})=0}$ pour ${\displaystyle ydx+xdy=0}$ dans notre exemple du rectangle.

Le développement et l'utilisation du calcul infinitésimal a eu des conséquences importantes dans pratiquement tous les domaines. Il est à la base de beaucoup de sciences, notamment la physique. Presque toutes les techniques et technologies modernes font un usage fondamental du calcul infinitésimal.