PI et CKPLAN

5.55382562855700000E-17 = CKPLAN

 décrit temps et matière

Charles Hermite :

« Je vous ferais bondir,
 si j'osais vous avouer que je n'admets aucune solution de continuité, 
aucune coupure entre les mathématiques et la physique,
 et que les nombres entiers me semblent exister en dehors de nous et en s'imposant avec la même nécessité, la même fatalité que le sodium, le potassium, etc. »


— Correspondance avec Stieltjes, janv. 1889, Paris, éd. Gauthier-Villars, 1905, t. I, p. 332

G Villemin

A

****************************************

1018510222406068776028283086741160

*

(5.55382562855700000E-17)^2

=

 3.14159265358979323108921372232545712243012

*****************************************

1415926535897932=2^2×127×137×13217×1539301

16 chiffres

somme des chiffres 79

résidu :

3108921372232545712243012=2^2×41×71×3180413×6256741×13417631

somme des chiffres 79

25 chiffres

Facteur multiplicatif(1) de CKPLAN :

1018510222406068776028283086741160

 =

 2^3×5×7×701×5189067772600717220441629747

34 chiffres

somme des chiffres : 122

On obtient 16 décimales de PI exactes

************************************************

 pi=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923...

************************************************

B

*****************************************

 1018510222406068773610166484299880 

  

*

(5.55382562855700000E-17)^2

=

3.141592653589793238462643383279503108921372232545712243012

*****************************************

somme des chiffres  231 =152+79

avec le 3 de la partie entière 234

58 chiffres avec le 3 de la partie entière

On obtient les 32 premières décimales de PI 

(0 en 32 ème position)

14159265358979323846264338327950=2×5^2×17×5521×3017199646052894050793087

Somme des chiffres 152

Résidu identique à A

3108921372232545712243012

Somme des chiffres 79

Facteur multiplicatif(2) de CKPLAN :

1018510222406068773610166484299880 

=

2^3×3^2×5×17×353×3385661×27434663×5075702558131

34 chiffres

Somme des chiffres 135

RACINE NUMÉRIQUE

La racine numérique ou résidu d’un nombre naturel est la somme itérée des valeurs associées à chacun de ses chiffres.

La preuve par neuf utilise la racine numérique d’un nombre.

EXEMPLES

• Prenons le nombre 457.
  On additionne les valeurs associées à chacun de ses chiffres, puis on reprend le processus avec les valeurs associées aux chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne reste qu’un seul chiffre.
  4 + 5 + 7 = 16 et 1 + 6 = 7.
  La racine numérique de 457 est 7.
• Prenons le nombre 4589.
  4 + 5 + 8 + 9 = 26 et 2 + 6 = 8.
  La racine numérique de 4589 est 8.

NOTE DIDACTIQUE

La notion de racine numérique d’un nombre est malheureusement peu utilisée dans l’enseignement. Elle pourrait être fort utile pour vérifier certains caractères de divisibilité. La somme digitale est également utile dans un tel cas.

Elle peut aussi être utilisée pour faire apparaitre certaines propriétés de certains nombres comme par exemple :

• la racine numérique d’un carré parfait est 1, 4, 7, ou 9.
• la racine numérique d’un nombre premier (à l’exception de 3) est 1, 2, 4, 5, 7, ou 8.

La racine numérique ou le résidu d’un nombre peuvent aussi être étudiés à l’aide de la congruence modulo n.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit ${\displaystyle n}$ un entier naturel. Pour une base ${\displaystyle b>1}$ donnée on définit la somme des chiffres de ${\displaystyle n}$ en base ${\displaystyle b}$, notée ${\displaystyle F_{b}(n):\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ par

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

où ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ est le nombre de chiffres de ${\displaystyle n}$ base ${\displaystyle b}$, et

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

est la valeur du i^ème chiffre. ${\displaystyle n}$ est un résidu si c'est un point fixe de ${\displaystyle F_{b}}$, c'est-à-dire si ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$.

En base ${\displaystyle b}$ les seuls résidus possibles sont les nombres de 0 à ${\displaystyle b-1}$. En effet si ${\displaystyle n\geq b}$ on a nécessairement ${\displaystyle F_{b}(n)<n}$ car ${\displaystyle k>1}$ et donc

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}d_{i}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$.

En revanche, si ${\displaystyle n<b}$ on a ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$.

Les seuls résidus possibles sont donc compris entre 0 et ${\displaystyle b-1}$ ; de plus, il n'y a pas de cycle en dehors des points fixes, ce qui garantit que l'application répétée de la fonction ${\displaystyle F_{b}}$ aboutit nécessairement au résidu en un nombre fini d'étapes.

Persistance additive[modifier | modifier le code]

La persistance additive d'un nombre ${\displaystyle n}$ est le nombre de fois où l'on doit sommer les chiffres pour atteindre son résidu. 

En d'autres termes, il s'agit du nombre d'itérations de ${\displaystyle F_{b}}$ nécessaires pour atteindre son point fixe.

Par exemple la persistance additive de 65 535 en base 10 est de 2, puisque l'on passe par deux étapes (25 et 7) pour atteindre le résidu.

Quelle que soit la base ${\displaystyle b}$, la persistance additive n'est pas bornée,

 c'est-à-dire qu'il existe des nombres dont la persistance additive est arbitrairement grande.

Démonstration : 

s'il existait une plus grande persistance additive M, soit n un nombre dont la persistance additive est M.

 Le nombre s'écrivant comme n fois le chiffre 1 a une persistance additive de M+1 

(il faut une étape pour sommer tous les 1 puis M étapes pour obtenir le résidu de n), 

ce qui contredit l'hypothèse.

Congruence modulo 9[modifier | modifier le code]

Le nombre 10 et ses puissances successives (100, 1000, etc.) étant congrus à 1 modulo 9,

 un nombre écrit en base 10 est congru à la somme de ses chiffres 

(propriétés algébriques des congruences).

 Ainsi, dans le cas d'un nombre à trois chiffres qui s'écrit abc, comme 10 ≡ 1 (mod 9) et 10² ≡ 1² ≡ 1(mod 9)${\displaystyle {\overline {abc}}^{10}=10^{2}a+10b+c\equiv a+b+c{\pmod {9}}.}$Cette somme étant nécessairement plus petite que le nombre initial dès que celui-ci a plusieurs chiffres, 

le procédé itératif se termine sur un nombre à un seul chiffre, non nul dès que l'entier initial est non nul. 

Celui-ci caractérise la classe de congruence puisqu'il y a exactement 9 chiffres différents de 0 et 9 classes de congruences3. 

On en déduit le reste de la division par 9 du nombre initial, appelé aussi résidu modulo 9 de ce nombre4.

• si la somme des chiffres itérée de n est 9, le reste de la division de n par 9 est 0 ;
• 
  
• sinon, la somme des chiffres itérée de n égale le reste de la division de n par 9.
• 
  

WIKIPEDIA

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Valeur approchée
x≈-5.5538256285569999868896232804644758216246×10^-17

Pour préciser le commentaire de G Villemin:

28398240 has 8 representations as a sum of 2 squares:

73^4 - 1

=2^5×3^2×5×13×37×41 

=28398240 has 8 representations as a sum of 2 squares:

28398240 

1;= 372^2 + 5316^2 ....

 (372^2 + 5316^2)^(1/2)

=12 sqrt(197210)

=5328.9999061737653590390029179330638936330566714686797809601103693...

2; = 804^2 + 5268^2

 3;= 948^2 + 5244^2 

4;= 1284^2 + 5172^2 

5;= 2076^2 + 4908^2 

6;= 2388^2 + 4764^2 

7;= 2892^2 + 4476^2

8; = 3732^2 + 3804^2

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l’équation cartésienne du cercle de centre C (a,b) et de rayon r est :

${\displaystyle (�-�{)}^2+(�-�{)}^2={�}^2}$, soit pour le cercle unité ou cercle trigonométrique (le cercle dont le centre est l'origine du repère et dont le rayon vaut 1) :

${\displaystyle {�}^2+{�}^2=1.}$

Cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes.

En mettant y en évidence, on obtient la double équation cartésienne du cercle (en fait une équation pour chaque demi-cercle délimité par le diamètre horizontal) :

${\displaystyle �=�\pm \sqrt{{�}^2-(�-�{)}^2}}$.

197210 has 8 representations as a sum of 2 squares:

197210 

1;= 31^2 + 443^2

=sqrt(31^2 + 443^2)

=444.08332551448044658658357649442199113608805595572331508000919744...

=fraction continue

{444, {12, 888}}

2; = 67^2 + 439^2 

3;= 79^2 + 437^2 

4;= 107^2 + 431^2 

5;= 173^2 + 409^2 

6;= 199^2 + 397^2 

7;= 241^2 + 373^2

8; = 311^2 + 317^2

Nikola TESLA 369

 

Nikola Tesla — Wikipédia (wikipedia.org)

TESLA 3 6 9 AVEC RELIGION (rootshunt.com)

Dans les maths du vortex (la science de l’anatomie du tore) il y a un motif qui se répète lui-même : 1, 2, 4, 8, 7, et 5, et ainsi de suite  1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4…

Comme vous pouvez voir 3, 6, et 9 are ne sont pas dans ce motif.

369 TESLA ; La 440 Hertz

 

TESLA 369

1. Ut=396 Hz (=9 (en numérologie à base 9)) (Ut quent laxis)

2. Re=417 Hz (=3) (Resonare fibris)

3. Mi=528 Hz (=6) (Mira gestorum)

4. Fa=639 Hz (=9) (Famuli tuorum)

5. Sol=741 Hz (=3) (Solve polluti)

6. La=852 Hz (=6) (Labii reatum)

On pourrait dire qu’à chaque case correspond une fréquence du solfège sacré et à chaque colonne correspondent trois fréquences qui sont toutes organisées de la même façon. Il est remarquable aussi que la case centrale, celle du 5, relative à la transformation en numérologie, soit en lien avec le 528 Hz, fréquence de…transformations !

Hum ........

Des musiques pour guérir (desmusiquespourguerir.com)

Le la 440 (en notation germanique, A 440) est une note de musique utilisée comme hauteur de référence. Cette note est le la (noté aussi la³ en notation française ou A4) situé au-dessus du do médian du clavier de piano (noté aussi do³ ou C4). 

Sa fréquence est de 440 Hz. C'est la note donnée par les diapasons mécaniques usuels, en fourche et à un seul ton, les diapasons électroniques ou logiciels permettant de choisir la note ou la fréquence désirée.

La 440 — Wikipédia (wikipedia.org)

Les théoriciens ont recherché, dans la tradition pythagoricienne, les rapports exacts entre les fréquences des notes, comme si elles étaient exactement harmoniques et comme si on pouvait entendre ou mesurer avec une précision infinie une vibration sonorenote 3.

Le rapport d'octave étant égal à 2 et contenant douze intervalles égaux (12 demi-tons) en progression géométrique, soit 2 = r¹², le rapport de fréquences du demi-ton à tempérament égal est2 :

${\displaystyle �=\sqrt[12]{2}=2^{1/12}\approx \mathrm{1,059}}$.

La quinte tempérée égale 7 demi-tons, soit r⁷ = 2^7⁄12 (environ 1,498), soit un écart de 0,11 % environ par rapport à la quinte juste de rapport 3/2 = 1,5.

On peut aussi considérer que le comma pythagoricien est réparti selon douze parts égales entre les douze quintes du cycle. Le comma pythagoricien vaut 3¹²/2¹⁹ : le douzième de comma vaut donc (3¹²/2¹⁹)^1/12 ou 3/(2^19/12). La quinte tempérée (quinte pure diminuée d'un douzième de comma) vaut donc (3/2)/(3/(2^19/12)) soit 2^{19/12 – 1} = 2^7/12 : nous retrouvons le même résultat.

Les théoriciens anciens ont trouvé, pour le demi-ton qui est à la fois diatonique et chromatique, des rapports approchés qui puissent résulter d'une construction à la règle et au compas. Au xvi^e siècle, Vincenzo Galilei a proposé 18/17 ; ce nombre élevé à la puissance 12 vaut environ 1,986, proche de 2, rapport de l'octave. Au xvii^e siècle, Marin Mersenne a proposé ${\displaystyle \sqrt[4]{{\displaystyle \frac{2}{3-\sqrt{2}}}}}$ qui l'approche encore plus précisément : ce nombre élevé à la puissance 12 vaut ${\displaystyle {\left({\displaystyle \frac{2}{3-\sqrt{2}}}\right)}^3={\displaystyle \frac{280+360\sqrt{2}}{343}},}$ soit environ 2,006.

Gamme tempérée — Wikipédia (wikipedia.org)

PI

 Voici quelques étrangetés trouvées dans les décimales de Pi ; on se gardera bien de les prendre au sérieux.

1+4+1+5+9+2+6+5+3+5+8+9+7+9+3+2+3+8+4+6 = 100

• Le «0» n'apparaît la première fois qu'en position 32 après la virgule, alors que tous les autres chiffres sont déjà représentés au moins une fois dans les 13 premières décimales. Pourquoi ce retard du «0» ?
• Les décimales de pi à partir de la 762e sont 999999. Qu'il y ait six «9» consécutifs quelque part dans le premier million de décimales de pi ne serait pas étonnant, mais que cela se produise avant la millième décimale, n'est-ce pas troublant?
• En additionnant les 144 premières décimales de pi, on trouve 666. Faut-il en conclure que pi est satanique?
• Parmi les 1 000 premiers entiers obtenus en prenant les décimales de Pi dans l'ordre 3, 31, 314, 3 141, 31 415, ..., seuls quatre sont des nombres premiers. N'est-ce pas vraiment très peu?
• Parmi les 400 premières décimales de Pi, il n'y a que 24 «7», ce qui est peu par rapport aux 40 «7» attendus.
• Le groupe de trois décimales qui se termine à la position 315 est 315, et celui qui se termine à la position 360 est 360.
• Si, dans l'alphabet écrit en cercle, on colorie les lettres ayant un axe de symétrie vertical 
  (... HIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGH...), les lettres non coloriées forment des groupes de 3, 1,4, 1 et 6 lettres.
• (pi⁴ + pi⁵)^1/6 = 2,718281809, soit la constante népérienne e jusqu'à la septième décimale !

Le nombre Pi (gecif.net)

Variable muette

 

• Si ${\displaystyle n}$ est un entier strictement positif :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

Ici ${\displaystyle k}$ est la variable muette, elle prend ses valeurs dans l'ensemble ${\displaystyle [1,n]}$ (ensemble d'entiers). Le terme général de cette somme est ${\displaystyle k^{2}}$.

• ${\displaystyle \Omega }$ étant l'ensemble des entiers pairs positifs

${\displaystyle \sum _{k\in \Omega ,\ k<50}k^{2}=\sum _{k=0}^{24}(2k)^{2}}$

À gauche de l’égalité, ${\displaystyle k}$ appartient à un ensemble défini par deux conditions : ses éléments sont des entiers positifs pairs et ils sont strictement plus petits que 50

• Exemple de somme infinie :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=e^{x}}$

On aurait pu écrire de manière moins condensée :

${\displaystyle 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\dots +{\frac {x^{k}}{k!}}+\dots =e^{x}}$

Par convention, une somme indexée par l'ensemble vide est nulle.