190 . triplets pythagoriciens

http://euler.ac-versailles.fr/wm3/pi2/pythagore/triplets1.jsp

Exemples de triplets primitifs :

( 3, 4, 5)	(20, 21, 29)	(11, 60, 61)	(13, 84, 85)
( 5, 12, 13)	(12, 35, 37)	(16, 63, 65)	(36, 77, 85)
( 8, 15, 17)	( 9, 40, 41)	(33, 56, 65)	(39, 80, 89)
(7, 24, 25)	(28, 45, 53)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

En gras , avec des chiffres,3,4,5,8,7,9 .
Les autres triplets sont constitués de nombres ...

"

et n*(3,4,5)  (6,8,10) pour n=2

n=3 ......



etc.

ou

(56,90,106) 

Dans un triplet pythagoricien primitif où a et b sont les cathètes et c est l'hypoténuse, a étant impair et b pair (voir lemme préliminaire)¹ :

• c est toujours impair.
• c - b est un carré parfait.
• c + b est un carré parfait.
• (c + a) / 2 est un carré parfait.
• (c - a) / 2 est un carré parfait.
• Soit a ou soit b est un multiple de 3, alors b est un multiple de 4.
• Soit a soit b ou soit c est un multiple de 5, alors le produit ab est un multiple de 12.
• Soit a ou soit b, alors a + b ou b - a est un multiple de 7.

Par exemple, dans le triplet pythagoricien (65, 72, 97), où a = 65, b = 72 et c = 97 :

• 97 est impair,
• 97 - 72 = 25, qui est un carré parfait (5 x 5),
• 97 + 72 = 169, qui est aussi un carré parfait (13 x 13),
• (97 + 65) / 2 = 81, qui est un carré parfait (9 x 9),
• (97 - 65) / 2 = 16, qui est aussi un carré parfait (4 x 4),
• 72 est un multiple de 3,
• 72 est un multiple de 4,
• 65 est un multiple de 5,
• 65 * 72 = 4680 est un multiple de 12,
• 72 - 65 = 7 , qui est un multiple de 7.
• "
• 
  

source :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Triplet_pythagoricien

ØThéorème :

     A chaque nombre complexe, défini par c = a+bi, correspond un triplet pythagoricien noté (a²-b², 2ab, a²+b²). A condition que a et b soient des entiers strictement positifs, a< b

ØDémonstration :

1.     c² = a²- b² + i2ab = x + iy

2.     x²+y²= (a²- b²)² + (2ab)²= a⁴+ 2a²b²+ b⁴+ 4a²b²

                       =  (a²+ b²)²

                       = z²


C'est là la plus simple expression d'un "existence", diophantienne .
Trois "points", trois droites, une surface , pas de volume .....
Les 3,4,5 se retrouvent en volume sphérique. 
Le 5 n'est autre que 1/2 ..... dans la surface d'un cercle......