temps et Euler

 

Parmi les rationnels de numérateur et dénominateur inférieurs à 1 000, le plus proche de e est18 878/323 ≈ 2,71827.

En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation entre plusieurs constantes fondamentales et utilisant les trois opérations arithmétiques d'addition, multiplication et exponentiation :

${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}�}+1=0}$

où la base e du logarithme naturel représente l'analyse, l'unité imaginaire i représente l'algèbre, la constante d'Archimède π représente la géométrie, l'entier 1 l'arithmétique et le nombre 0 les mathématiques^{[réf. souhaitée]}1.

Elle est nommée d'après le mathématicien Leonhard Euler qui la fait apparaître dans son Introductio, publié à Lausanne en 1748. Avant d'être citée par Euler, cette formule était connue du mathématicien anglais Roger Cotes, mort en 1716.

L'identité d'Euler est souvent citée comme un exemple de beauté mathématique3.

En effet, outre l'égalité, trois des opérations fondamentales de l'arithmétique y sont utilisées, chacune une fois : l'addition, la multiplication et l'exponentiation. L'identité fait également intervenir cinq constantes mathématiques fondamentales4 :

• 0, l'élément neutre de l'addition.
• 1, l'élément neutre de la multiplication.
• π, omniprésente en trigonométrie, en géométrie dans l'espace euclidien et en analyse mathématique (π = 3,14159265...)
• e, base des logarithmes qui apparait souvent en analyse, calcul différentiel et mathématiques financières (e = 2,718281828...). Tout comme π, c'est un nombre transcendant.
• i, l'unité imaginaire à la base des nombres complexes, qui ont permis l'étude de la résolution des équations polynomiales avant de voir leur usage élargi.

L'inventaire de ces différents éléments est mieux mis en évidence par la notation polonaise inverse de la formule d'Euler :

0 ; 1 ; e ; i ;π ; * ; ^ ; +; =

De plus, sous cette forme, l'identité est écrite comme une expression égale à zéro, une pratique courante en mathématique.

On en déduit que l'exponentielle complexe est 2πi-périodique.

On voit ainsi apparaître les développements en série de Taylor des fonctions cosinus et sinus5 :

${\displaystyle \cos (�)=1-\frac{{�}^2}{2!}+\frac{{�}^4}{4!}-\frac{{�}^6}{6!}+\cdots =\sum _{�=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{�}{�}^{2�}}{(2�)!}}$

${\displaystyle \sin (�)=�-\frac{{�}^3}{3!}+\frac{{�}^5}{5!}-\frac{{�}^7}{7!}+\cdots =\sum _{�=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{�}{�}^{2�+1}}{(2�+1)!}}$

ce qui, en remplaçant dans l'expression précédente de e^ix, donne bien :

${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}�}=\cos (�)+\mathrm{i}\sin (�).}$