FACTORISATION des FACTORIELLES
Méthode de factorisation. En déduire quelques caractéristiques, comme la quantité de zéros à droite. |
Formons la factorisation première des nombres factoriels. | 2! = 1 . 2 3! = 1 . 2 . 3 4! = 1 . 2 . 3 . 4 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 | = 2 = 6 = 24 = 120 = 720 | = 2 = 2 . 3 = 23 . 3 = 23 . 3 . 5 = 24 . 32 . 5 | |
Examinons le cas de 6! Quel est l'exposant du facteur 2 On effectue les divisions indiquées Arrêt si le résultat est inférieur à 1 On prend les parties entières de ces résultats On les additionne | 6/2 = 3 6/22 = 1,5 6/23 = 0,75
| => 3 => 1 => 0 = 4 | 4 est l'exposant du facteur 2 | |
Même opération avec 3, le nombre premier immédiatement après 2 | 6/3 = 2 6/32 = 0,66
| => 2 => 0 = 2 | 2 est l'exposant du facteur 3 | |
Et avec le 5, le nombre premier suivant Inutile d'aller plus loin avec le nombre premier 7, car la division donnera un résultat inférieur à 1 | 6/5 = 1 6/52 = 0,24
| => 1 => 0 = 1 | 1 est l'exposant du facteur 5 | |
Théorème | |
Si n est un nombre entier supérieur ou égal à 1 et si p est un nombre premier, l'exposant de p dans la décomposition de n! en facteurs premiers est égal à = [ n/p] + [ n/p2] + [ n/p3] + [ n/p4] + …
Rappel de notation: Les crochets droits indiquent que l'on retient la partie entière du nombre. Exemple: [5,32] = 5 |
Méthode directe | Application du théorème | |||
10! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 = 2 . 3 . 22. 5 . 2.3 . 7 . 23 . 32 . 2.5 = 28 . 34 . 52 . 7 = 3 628 800 | 10/2 = 5 10/22 = 2,5 10/23 = 1,25
| => 5 => 2 => 1 = 8 | 28 | |
10/3 = 3,33 10/32 = 1,11
| => 3 => 1 = 4 | 34 | ||
10/5 = 2
| => 2 = 2 | 52 | ||
10/7 = 1,42 | => 1 | 71 | ||
10/11 = 0,9 | => 0 | Fin | ||
Cas de 100 ! | Exemple de calcul pour 2 | |||
100! = 297 . 348 . 524 . 716 .119 . 137 . 175 . 195 . 234 . 293 . 313 . 372 . 412 . 432 . 472 . 53 . 59 . 61 . 67 . 71 . 73 . 79 . 83 . 89 . 97 | 100/2 = 50 100/22 = 25 100/23 = 12,5 100/24 = 6,25 100/25 = 3,12 100/26 = 1,56 100/27 = 0,78 | => 50 => 25 => 12 => 6 => 3 => 1 => 0 = 97 | 297 | |
Cas de 1000 ! | Exemple de calcul pour 5 | |||
1000! => se termine par 249 zéros
En effet, la puissance de 5 est 249 et combiné avec 249 fois le 2 (il y beaucoup plus de 2, bien sûr), le produit donne 10 (donc un zéro) à chaque fois. | 1000/5 = 200 1000/52 = 40 1000/53 = 8 1000/54 = 1,6 | => 200 => 40 => 8 => 1 = 249 | 5249 |
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