Vide

 La perméabilité du vide, également nommée perméabilité magnétique du vide ou constante magnétique, est une constante physique symbolisée par μ₀.

Dans le système SI, sa valeur est exactement :

μ₀ = 4π × 10⁻⁷ kg m A⁻² s⁻², ou encore 4π × 10⁻⁷ T m/A

T étant le tesla, unité d'induction électromagnétique

soit donc :

μ₀ = 12,566 370 614... × 10⁻⁷ kg m A⁻² s⁻², ou encore 12,566 370 614... × 10⁻⁷ T m/A

La constante magnétique est souvent exprimée en henry par mètre : μ₀ = 4π × 10⁻⁷ H m⁻¹.

La valeur donnée était exacte par définition de l'ampère, mais ne l'est plus depuis la redéfinition des unités du système international, le 20 mai 2019, la définition de l'ampère étant dorénavant liée à la définition de la charge élémentaire e qui a été choisie comme exacte, alors que la définition antérieure approuvée au Congrès Général des Poids et Mesures de 1948 fixait la perméabilité du vide1.

6 et 7

 

La chiralité (du grec χείρ, kheir : main) est une importante propriété reliant les notions de symétrie et d'orientation, intervenant dans diverses branches de la science.

Un objet ou un système est appelé chiral s’il n'est pas superposable à son image dans un miroir. Cet objet et son image miroir constituent alors deux formes différentes qualifiées d'énantiomorphes (du grec formes opposées) ou, en se référant à des molécules, des conformations spatiales « gauches » et « droites » appelées énantiomères dotés d'une asymétrie moléculaire tridimensionnelle. Le groupe des isométries laissant globalement invariant l'objet initial ne possède que des rotations.

Un objet (ou une molécule) non chiral est dit achiral (ou parfois amphichiral). Il est superposable à son image miroir. Autrement dit, le groupe des isométries laissant globalement invariant l'objet possède au moins une isométrie indirecte.

La chirogenèse est la formation de molécules chirales.

Classification de Chancourtois

 

La vis tellurique

Chancourtois a nommé sa classification vis tellurique : « D’après son mode de réalisation et son origine, je lui donne le nom significatif de vis tellurique », écrit-il dans le rapport à l’Académie des sciences du 7 avril 1862. Un peu plus tard, le 5 mai de la même année, tout en précisant que le nom lui a été suggéré surtout par la place centrale de l’élément tellure sur la vis, il écrit que « l’épithète tellurique (…) rappelle très heureusement l’origine géognostique, puisque tellus signifie terre dans le sens le plus positif, le plus familier, dans le sens de terre nourricière ». Ce propos montre bien que la géologie était le point de départ des réflexions de Chancourtois. Il voyait la forme hélicoïdale comme étant idéale pour représenter une périodicité : ainsi, il a utilisé des méthodes comparables pour rechercher une logique mathématique dans les relations entre les différentes formations géologiques de la Terre.

Priorité aux nombres

Chancourtois avait aussi une vision mathématique de la matière,

 selon laquelle « les propriétés des corps sont les propriétés des nombres » (cf. son ouvrage de 1863, La Vis tellurique). 

Cette vision pourrait expliquer la priorité qu’il donnait aux nombres plutôt qu’aux appartenances à une famille chimique.

Ainsi Chancourtois n’a pas correctement placé l’iode en dessous du chlore et du fluor comme l’ont fait ses successeurs : le piège, c’est que, curieusement, l’iode (aujourd’hui élément 53) est plus léger que le tellure (aujourd’hui élément 52). De plus, cette vision mathématique le conduisait à tenter de prédire des propriétés chimiques à partir d’une factorisation des masses des éléments, supposées entières. Dans cet esprit, il aurait aimé rapprocher la notion d’élément de celle de nombre premier.

Une classification imparfaite

L’approche étonnante de Chancourtois et les nombreuses imperfections dans sa classification pourraient expliquer en partie le fait que la vis tellurique n’ait pas eu autant de reconnaissance que le tableau de Mendeleïev. Pourtant, cette première classification périodique a ses mérites. L’importance du numéro atomique aujourd’hui confirme en quelque sorte l’intuition de Chancourtois qui voyait un rapport étroit entre les nombres et la nature des corps. De même, son idée que ces nombres pouvaient servir à prédire et à expliquer les spectres de raies des éléments avait un côté prophétique : c’est au fond ce qu’apportera en 1913 la loi de Moseley reliant les fréquences (ν) des raies au numéro atomique (Z) de l’élément. Toutefois, l’intérêt de cette vis tellurique n’a pas été véritablement perçu à l’époque, d’autant plus que Chancourtois ne faisait pas partie du cercle des chimistes.

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Les triades entrent en scène

En 1817, le chimiste allemand Döbereiner identifie une première « triade » : 

trois éléments alcalinoterreux (calcium, strontium et baryum)

 dont la masse de l’élément du milieu est égale à la moyenne des masses des deux autres.

 Ce concept prend corps avec trois autres triades publiées en 1829, alignant des éléments qui sont superposés dans le tableau périodique actuel. C’est la première découverte de rapports quantitatifs entre les masses d’éléments d’une même famille, et donc en quelque sorte un premier pas vers le tableau périodique actuel, où ces rapports se comprennent directement. En 1843, Gmelin combine pour la première fois des triades (c’est d’ailleurs lui qui a trouvé ce nom) dans un tableau comportant 55 éléments. Bien qu’on ne puisse pas encore considérer cette classification comme étant périodique, elle regroupait déjà correctement les éléments des futures colonnes 1, 2, 15, 16 et 17 du tableau actuel, du moins pour ses trois premières lignes.

Source

temps et Euler

 

Parmi les rationnels de numérateur et dénominateur inférieurs à 1 000, le plus proche de e est18 878/323 ≈ 2,71827.

En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation entre plusieurs constantes fondamentales et utilisant les trois opérations arithmétiques d'addition, multiplication et exponentiation :

${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}�}+1=0}$

où la base e du logarithme naturel représente l'analyse, l'unité imaginaire i représente l'algèbre, la constante d'Archimède π représente la géométrie, l'entier 1 l'arithmétique et le nombre 0 les mathématiques^{[réf. souhaitée]}1.

Elle est nommée d'après le mathématicien Leonhard Euler qui la fait apparaître dans son Introductio, publié à Lausanne en 1748. Avant d'être citée par Euler, cette formule était connue du mathématicien anglais Roger Cotes, mort en 1716.

L'identité d'Euler est souvent citée comme un exemple de beauté mathématique3.

En effet, outre l'égalité, trois des opérations fondamentales de l'arithmétique y sont utilisées, chacune une fois : l'addition, la multiplication et l'exponentiation. L'identité fait également intervenir cinq constantes mathématiques fondamentales4 :

• 0, l'élément neutre de l'addition.
• 1, l'élément neutre de la multiplication.
• π, omniprésente en trigonométrie, en géométrie dans l'espace euclidien et en analyse mathématique (π = 3,14159265...)
• e, base des logarithmes qui apparait souvent en analyse, calcul différentiel et mathématiques financières (e = 2,718281828...). Tout comme π, c'est un nombre transcendant.
• i, l'unité imaginaire à la base des nombres complexes, qui ont permis l'étude de la résolution des équations polynomiales avant de voir leur usage élargi.

L'inventaire de ces différents éléments est mieux mis en évidence par la notation polonaise inverse de la formule d'Euler :

0 ; 1 ; e ; i ;π ; * ; ^ ; +; =

De plus, sous cette forme, l'identité est écrite comme une expression égale à zéro, une pratique courante en mathématique.

On en déduit que l'exponentielle complexe est 2πi-périodique.

On voit ainsi apparaître les développements en série de Taylor des fonctions cosinus et sinus5 :

${\displaystyle \cos (�)=1-\frac{{�}^2}{2!}+\frac{{�}^4}{4!}-\frac{{�}^6}{6!}+\cdots =\sum _{�=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{�}{�}^{2�}}{(2�)!}}$

${\displaystyle \sin (�)=�-\frac{{�}^3}{3!}+\frac{{�}^5}{5!}-\frac{{�}^7}{7!}+\cdots =\sum _{�=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{�}{�}^{2�+1}}{(2�+1)!}}$

ce qui, en remplaçant dans l'expression précédente de e^ix, donne bien :

${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}�}=\cos (�)+\mathrm{i}\sin (�).}$

Un et:ou zéro

 

Cardinal d'un ensemble

  Par exemple, soit f(n) le nombre de sous-ensembles distincts de nombres entiers dans l'intervalle [1, n] qui ne contiennent pas deux nombres entiers consécutifs. 

Par exemple, avec n = 4, nous obtenons ∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 }, { 1, 3 }, { 1, 4 }, { 2, 4 }, et donc f(4) = 8.

 Il s'avère que f(n) est le nème nombre de Fibonacci, qui peut être exprimé sous la forme « fermée » suivante :

${\displaystyle �(�)=\frac{{�}^{�}}{\sqrt{5}}-\frac{(1-�{)}^{�}}{\sqrt{5}}}$

où Φ = (1 + √5)/2, est le nombre d'or. Cependant, étant donné que nous considérons des ensembles de nombres entiers, la présence du √5 dans le résultat peut être considérée comme inesthétique d'un point de vue combinatoire. Aussi f(n) peut-il être exprimé par une relation de récurrence :

f(n) = f(n - 1) + f (n - 2)

ce qui peut être plus satisfaisant (d'un point de vue purement combinatoire), puisque la relation montre plus clairement comment le résultat a été trouvé.

Dans certains cas, un équivalent asymptotique g de f,

f(n)~g(n) quand n tend vers l'infini

où g est une fonction « familière », permet d'obtenir une bonne approximation de f. Une fonction asymptotique simple peut être préférable à une formule « fermée » extrêmement compliquée et qui informe peu sur le comportement du nombre d'objets. Dans l'exemple ci-dessus, un équivalent asymptotique serait :

${\displaystyle �(�)\sim \frac{{�}^{�}}{\sqrt{5}}}$

quand n devient grand.

Une autre approche est celle des séries entières. f(n) peut être exprimé par une série entière formelle, appelée fonction génératrice de f, qui peut être le plus couramment :

• la fonction génératrice ordinaire

• ou la fonction génératrice exponentielle

Une fois déterminée, la fonction génératrice peut permettre d'obtenir toutes les informations fournies par les approches précédentes. En outre, les diverses opérations usuelles comme l'addition, la multiplication, la dérivation, etc., ont une signification combinatoire ; et ceci permet de prolonger des résultats d'un problème combinatoire afin de résoudre d'autres problèmes.

Combinatoire — Wikipédia (wikipedia.org)

• Un produit cartésien A × B est vide si et seulement si A ou B est vide. En particulier : pour tout ensemble ${\displaystyle �}$,${\displaystyle \varnothing \times �=�\times \varnothing =\varnothing }$.
• Les deux facteurs d'un produit sont entièrement déterminés par ce produit, s'il est non vide. Plus précisément : si ${\displaystyle �\ne \varnothing }$ alors ${\displaystyle �\in �\iff \mathrm{\exists }�(�,�)\in �\times �}$ et de même, si ${\displaystyle �\ne \varnothing }$ alors ${\displaystyle �\in �\iff \mathrm{\exists }�(�,�)\in �\times �}$.
• Si A et B sont finis, alors le cardinal de A × B est égal au produit des cardinaux de A et de B

Produit cartésien — Wikipédia (wikipedia.org)

Factorisation des factorielles

 

FACTORISATION des FACTORIELLES   Méthode de factorisation. En déduire quelques caractéristiques, comme la quantité de zéros à droite.

 

 

Approche
Formons la factorisation première des nombres factoriels.	2! = 1 . 2 3! = 1 . 2 . 3 4! = 1 . 2 . 3 . 4 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6	= 2 = 6 = 24 = 120 = 720	= 2 = 2  . 3 = 23 . 3 = 23 . 3  . 5 = 24 . 32 . 5
Examinons le cas de 6! Quel est l'exposant du facteur 2 On effectue les divisions indiquées Arrêt si le résultat est inférieur à 1 On prend les parties entières de ces résultats On les additionne	6/2 = 3 6/22 = 1,5 6/23 = 0,75	=> 3 => 1 => 0 =   4	4 est l'exposant du facteur 2
Même opération avec 3, le nombre premier immédiatement après 2	6/3 = 2 6/32 = 0,66	=> 2 => 0 =   2	2 est l'exposant du facteur 3
Et avec le 5, le nombre premier suivant Inutile d'aller plus loin avec le nombre premier 7, car la division donnera un résultat inférieur à 1	6/5 = 1 6/52 = 0,24	=> 1 => 0 =   1	1 est l'exposant du facteur 5

x

Théorème
Si n est un nombre entier supérieur ou égal à 1 et si p est un nombre premier, l'exposant de p dans la décomposition de n! en facteurs premiers est égal à  = [ n/p] + [ n/p2] + [ n/p3] + [ n/p4] + …   Rappel de notation: Les crochets droits indiquent que l'on retient la partie entière du nombre. Exemple: [5,32] = 5

x

Exemple avec 10!, 00! et 1000!
Méthode directe	Application du théorème
10! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10       =     2 . 3 . 22. 5 . 2.3 . 7 . 23 . 32 . 2.5             =     28 . 34 . 52 . 7             = 3 628 800	10/2 = 5 10/22 = 2,5 10/23 = 1,25	=> 5 => 2 => 1 =   8	28
	10/3 = 3,33 10/32 = 1,11	=> 3 => 1 =   4	34
	10/5 = 2	=> 2 =   2	52
	10/7 = 1,42	=> 1	71
	10/11 = 0,9	=> 0	Fin
Cas de 100 !	Exemple de calcul pour 2
100! = 297 . 348 . 524 . 716 .119 . 137 . 175 . 195 . 234 . 293 . 313 . 372 . 412 . 432 . 472 . 53 . 59 . 61 . 67 . 71 . 73 . 79 . 83 . 89 . 97	100/2 =   50 100/22 =   25 100/23 = 12,5 100/24 = 6,25 100/25 = 3,12 100/26 = 1,56 100/27 = 0,78	=> 50 => 25 => 12 =>   6 =>   3 =>   1 =>   0 =   97	297
Cas de 1000 !	Exemple de calcul pour 5
1000! => se termine par 249 zéros   En effet, la puissance de 5 est 249 et combiné avec 249 fois le 2 (il y beaucoup plus de 2, bien sûr), le produit donne 10 (donc un zéro) à chaque fois.	1000/5 = 200 1000/52 =   40 1000/53 =     8 1000/54 =  1,6	=> 200 =>   40 =>     8 =>     1 =   249	5249

x

Factorielles, propriétés (free.fr)

TFA et factorielles (free.fr)

Villemin