Cône de lumière

Le cône de lumière centré sur un événement.

En physique, le cône de lumière est une notion fondamentale de la théorie de la relativité, permettant à partir d'un événement ${\displaystyle e_{0}}$ la distinction entre les événements passés, les événements futurs et les événements inaccessibles (dans le passé comme dans le futur)1.

Le cône de lumière est ainsi désigné à la suite de Hermann Minkowski (1864-1909)2. Mathématiquement, un cône de lumière est un hypercône (en)3,4.

Dans le cadre de la relativité restreinte, les événements de l'espace-temps autres que ${\displaystyle e_{0}}$ se divisent en trois catégories : le passé absolu et le futur absolu de ${\displaystyle e_{0}}$ d'une part — ces événements se produisant à l'intérieur du cône —, et l'ailleurs d'autre part — qui est constitué des autres événements. Les événements intérieurs au cône peuvent être liés causalement avec ${\displaystyle e_{0}}$ ; par contre les événements situés dans l'ailleurs de ${\displaystyle e_{0}}$ sont dits causalement déconnectés de ${\displaystyle e_{0}}$ et ne peuvent l'influencer ou être influencés par lui1.

Dans le cadre de la relativité générale, à chaque événement est attaché un cône de lumière infinitésimal, qui concerne les événements infiniment proches (au sens de la métrique lorentzienne). Alors qu'en relativité restreinte les cônes de lumière de tous les événements (dans un référentiel donné) sont parallèles entre eux, ce n'est plus le cas en relativité générale, en raison de la courbure de l'espace-temps5.

Intervalle d'espace-temps[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Intervalle d'espace-temps.

Un référentiel inertiel étant choisi, considérons deux événements séparés dans l'espace par la distance ${\displaystyle \Delta l={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}}\,}$ et dans le temps par l'intervalle de temps ${\displaystyle \Delta t\,}$. En relativité restreinte, ces deux quantités ne sont pas invariantes par changement de référentiel.

Par contre, en relativité restreinte, la quantité (notée formellement avec un carré) ${\displaystyle \Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2}\,}$ est invariante par changement de référentiel, il en est de même pour son signenote 1.

En particulier, en fixant un événement noté ${\displaystyle e_{0}}$, on classe chaque événement de l'espace-temps en fonction du signenote 2 de l'intervalle d'espace-temps qui le sépare de ${\displaystyle e_{0}}$. Le signe de l'intervalle d'espace temps étant invariant par changement de référentiel, cette classification est indépendante de l'observateur et de son référentiel.

Bord du cône[modifier | modifier le code]

Les événements séparés par un intervalle ${\displaystyle \Delta s^{2}\,}$ tel que ${\displaystyle \Delta s^{2}\,=\,0\,}$ sont ceux qui sont à une distance spatiale ${\displaystyle \Delta l\,}$ et une distance temporelle ${\displaystyle \Delta t\,}$ de ${\displaystyle e_{0}}$ telles que ${\displaystyle \Delta l/\Delta t\,=\,c\,}$. C'est-à-dire que ces événements ne peuvent être joints depuis ${\displaystyle e_{0}}$ que par un message ou influence allant à la vitesse de la lumière1. De plus, l'égalité ${\displaystyle \ l/t=c}$ est l'équation du bord à trois dimensions d'un cône de révolution dans un espace à quatre dimensions.

D'où le nom de cône de lumière.

Intérieur du cône[modifier | modifier le code]

Les événements séparés par un intervalle ${\displaystyle \Delta s^{2}\,}$ tel que ${\displaystyle \Delta s^{2}>0\,}$ sont ceux qui sont à une distance spatiale ${\displaystyle \Delta l\,}$ et une distance temporelle ${\displaystyle \Delta t\,}$ de ${\displaystyle e_{0}}$ telles que ${\displaystyle \Delta l/\Delta t<c\,}$. C'est-à-dire que ces événements peuvent être joints depuis ${\displaystyle e_{0}}$ par un message ou influence allant à la vitesse strictement inférieure à celle de la lumière : c'est a priori réaliste. Ainsi, il peut y avoir une relation de causalité entre ${\displaystyle e_{0}}$ et l'un quelconque de ces événements1. De plus, l'égalité ${\displaystyle l/t<c}$ est l'inéquation de l'intérieur à quatre dimensions d'un cône dans un espace à quatre dimensions.

La partie supérieure de l'intérieur du cône contient tous les événements futurs que l'on peut joindre à partir de ${\displaystyle e_{0}}$.

La partie inférieure de l'intérieur du cône contient tous les événements passés à partir desquels on pouvait joindre ${\displaystyle e_{0}}$.

Ainsi, si ${\displaystyle e_{0}}$ correspond à un événement cosmologique, tel qu'une supernova, tous les événements ${\displaystyle e_{T}}$ sur Terre précédant la vision de cette supernova sont situés à l'extérieur du cône. Ceux où cette supernova est visible sont situés au bord du cône, et à partir de là cette supernova est susceptible d'influer des événements sur Terre (tels que faire orienter des télescopes dans sa direction voire modifier des théories cosmologiques...), lesquels sont situés à l’intérieur supérieur du cône.

Extérieur du cône[modifier | modifier le code]

Les événements séparés par un intervalle ${\displaystyle \Delta s^{2}\,}$ tel que ${\displaystyle \Delta s^{2}\,<\,0\,}$ sont ceux qui sont à une distance spatiale ${\displaystyle \Delta l\,}$ et une distance temporelle ${\displaystyle \Delta t\,}$ de ${\displaystyle e_{0}}$ telles que ${\displaystyle \Delta l/\Delta t\,>\,c\,}$. C'est-à-dire que ces événements ne peuvent être joints depuis ${\displaystyle e_{0}}$, car la vitesse de tout message ou influence est strictement inférieure à celle de la lumière en relativité restreinte : la jonction n'est pas réaliste.

Les événements qui sont dans cet extérieur du cône sont dits ailleurs par rapport à ${\displaystyle e_{0}}$ et ne peuvent être en relation causale directe avec lui1.

De plus, l'égalité ${\displaystyle \,l/t>c}$ est l'inéquation de l'extérieur à quatre dimensions d'un cône dans un espace à quatre dimensions.

On n'est pas très loin de Pythagore généralisé :

3333333....^n+4444444.....^n=5555555^n

le "3" le "4" et le "5" existent à la base .....

Intervalle d'espace-temps

Expression en relativité restreinte[modifier | modifier le code]

Dans l'espace euclidien en trois dimensions, le carré de la distance ${\displaystyle \Delta l}$ entre deux points A et B de coordonnées (x_A, y_A, z_A) et (x_B, y_B, z_B) par rapport à un repère cartésien orthonormé s'exprime sous la forme :

${\displaystyle \,(\Delta l)^{2}=(x_{\text{B}}-x_{\text{A}})^{2}+(y_{\text{B}}-y_{\text{A}})^{2}+(z_{\text{B}}-z_{\text{A}})^{2}\,,}$

ce que l'on écrit couramment de façon plus condensée

${\displaystyle \Delta l^{2}=\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}\,.}$

Il est évident qu'en physique classique, cette grandeur est invariante par changement de référentiel. Mais ce n'est plus le cas en physique relativiste.

Dans la géométrie de l'espace-temps de la relativité restreinte, on écrit le « carré de l'intervalle d'espace-temps », noté ${\displaystyle \Delta s^{2}}$, entre deux événements A et B de coordonnées (t_A, x_A, y_A, z_A) et (t_B, x_B, y_B, z_B) dans un espace-temps à quatre dimensions (une de temps, soit t, et trois d'espace) sous la forme

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=\,c^{2}(t_{\text{B}}-t_{\text{A}})^{2}-(x_{\text{B}}-x_{\text{A}})^{2}-(y_{\text{B}}-y_{\text{A}})^{2}-(z_{\text{B}}-z_{\text{A}})^{2}}$

ou

${\displaystyle \Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2}\,}$

expression dans laquelle le facteur c² (vitesse de la lumière au carré) s'impose par le biais des transformations de Lorentz ou des principes de la relativité restreinte, suivant la méthode utilisée pour justifier son invariance par changement de référentiel inertiel.

La pseudo-métrique, notée ${\displaystyle \ \Delta s}$, est définie par ${\displaystyle \ \Delta s^{2}=-c^{2}(\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}$ ou ${\displaystyle \ \Delta s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}}$ suivant la convention de signes ${\displaystyle (-;+;+;+)}$ ou ${\displaystyle \ (+;-;-;-)}$ choisie1.

La relativité - Le cône de lumière (astrosurf.com)

https://www.luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf

Sur le cliché, on voit cette très jeune étoile (âgée de seulement 100 000 ans), cachée dans l'obscurité par le bord d'un disque de gaz en rotation au niveau du col du sablier. Mais la lumière de cette protoétoile "fuit" au-dessus et au-dessous de ce disque, éclairant les cavités dans le gaz et la poussière environnants, ont expliqué la Nasa et l'Agence spatiale européenne (ESA) dans un communiqué commun. "Cette vue de L1527 offre une fenêtre sur ce à quoi ressemblaient notre Soleil et notre système solaire à leurs débuts", illustrent-elles.

TESLA 3 6 9 AVEC RELIGION (rootshunt.com)

L'archétype de forme quadratique est la forme x² + y² + z² sur ℝ³, 

qui définit la structure euclidienne et dont la racine carrée permet de calculer la norme d'un vecteur.

 Un autre exemple très classique est la forme x² + y² + z² – t² sur ℝ⁴, 

qui permet de définir l'espace de Minkowski utilisé en relativité restreinte. 

C'est pourquoi la théorie des formes quadratiques utilise le vocabulaire de la géométrie (orthogonalité).

 La géométrie est un bon guide pour aborder cette théorie, malgré quelques pièges, liés notamment aux questions de signes ou plus généralement au choix du corps dans lequel varient les coefficients.

• La norme usuelle (euclidienne) d'un vecteur peut se calculer à l'aide de ses coordonnées dans un repère orthonormé à l'aide du théorème de Pythagore.
  • Dans le plan, si le vecteur ${\displaystyle \overrightarrow{�}}$ a pour coordonnées ${\displaystyle (�,�)}$, sa norme s'écrit${\displaystyle \Vert \overrightarrow{�}\Vert =\sqrt{{�}^2+{�}^2}.}$
    Si les points ${\displaystyle �}$ et ${\displaystyle �}$ ont pour coordonnées respectives ${\displaystyle ({�}_{�},{�}_{�})}$ et ${\displaystyle ({�}_{�},{�}_{�})}$ alors :${\displaystyle \Vert \overrightarrow{��}\Vert =\sqrt{({�}_{�}-{�}_{�}{)}^2+({�}_{�}-{�}_{�}{)}^2}.}$
  • Dans l'espace, si le vecteur ${\displaystyle \overrightarrow{�}}$ a pour coordonnées ${\displaystyle (�,�,�)}$, sa norme s'écrit :${\displaystyle \Vert \overrightarrow{�}\Vert =\sqrt{{�}^2+{�}^2+{�}^2}.}$
    Si les points ${\displaystyle �}$ et ${\displaystyle �}$ ont pour coordonnées respectives ${\displaystyle ({�}_{�},{�}_{�},{�}_{�})}$ et ${\displaystyle ({�}_{�},{�}_{�},{�}_{�})}$ alors :
    
    ${\displaystyle \Vert \overrightarrow{��}\Vert =\sqrt{({�}_{�}-{�}_{�}{)}^2+({�}_{�}-{�}_{�}{)}^2+({�}_{�}-{�}_{�}{)}^2}.}$
• La norme (euclidienne) d'un vecteur peut s'obtenir à partir du produit scalaire du vecteur avec lui-même :${\displaystyle \Vert \overrightarrow{�}\Vert =\sqrt{\overrightarrow{�}\cdot \overrightarrow{�}}.}$