Notions de congruences
Pour la suite, vous aurez besoin de comprendre ce qu’est une congruence. Voici les indispensables.
Si a et b sont deux nombres entiers, avec a > b, la division euclidienne de a par b s’écrit:
On dira alors que a est congru à r modulo b, et on écrira:
Un résultat important est le suivant: si k est un entier naturel,
Un autre résultat important est que : si a < b et si b = a + r, alors:
Congruences et critère de divisibilité par 3
Commençons par un critère connu depuis le collège:
Un nombre est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres l’est aussi.
Critère de divisibilité par 3
Notons:
Nous savons que:
Ainsi,
On a alors:
Au passage, on remarquera que remplacer « 3 » par « 9 » ne change rien à la démonstration, ce qui signifie le résultat suivant:
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres l’est aussi.
Congruences et critère de divisibilité par 11
Les notations sont les mêmes que précédemment.
Nous savons que:
donc nous pouvons écrire:
Ainsi,
Cela peut paraître compliqué au prime abord, mais c’est très simple au final. Regardons sur un exemple. Soit:
Le critère de divisibilité que nous venons de trouver suggère d’ajouter tous les chiffres de rangs pairs (notons P cette somme) et tout ceux de rangs impairs (notons I cette somme).
donc , et donc N est divisible par 11.
Congruences et critère de divisibilité - Mathweb.fr - Par 3, 11, 13, 7 et... 17?
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