Développement décimal de l'inverse d'un nombre premier

 En mathématiques, la période du développement décimal périodique d’un nombre rationnel est le cycle composé d’une séquence finie de chiffres qui se répète à l’infini.

L'inverse d'un nombre premier, noté 1/p possède un développement décimal périodique dont la longueur de la période est notée δ_(p)

Ceci exclut les nombres premiers 2 et 5 dont l'inverse ne possède pas de développement décimal périodique

Exemple :

1/7 = 0,142857 142857 142857...

δ₍₇₎ = 6

ableau des nombres premiers dont δ_p <101

Table des nombres premiers en fonction de la longueur de la période du développement décimal de leur inverse

Longueur de la période	Nombres premiers
1	3
2	11
3	37
4	101
5	41, 271
6	7, 13
7	239, 4649
8	73, 137
9	333667
10	9091
11	21649, 513239
12	9901
13	53, 79, 265371653
14	909091
15	31, 2906161
16	17, 5882353
17	2071723, 5363222357
18	19, 52579
19	1111111111111111111
20	3541, 27961
21	43, 1933, 10838689
22	23, 4093, 8779
23	11111111111111111111111
24	99990001
25	21401, 25601, 182521213001
26	859, 1058313049
27	757, 440334654777631
28	29, 281, 121499449
29	3191, 16763, 43037, 62003, 77843839397
30	211, 241, 2161
31	2791, 6943319, 57336415063790604359
32	353, 449, 641, 1409, 69857
33	67, 1344628210313298373
34	103, 4013, 21993833369
35	71, 123551, 102598800232111471
36	999999000001
37	2028119, 247629013, 2212394296770203368013
38	909090909090909091
39	900900900900990990990991
40	1676321, 5964848081
41	83, 1231, 538987, 201763709900322803748657942361
42	127, 2689, 459691
43	173, 1527791, 1963506722254397, 2140992015395526641
44	89, 1052788969, 1056689261
45	238681, 4185502830133110721
46	47, 139, 2531, 549797184491917
47	35121409, 316362908763458525001406154038726382279
48	9999999900000001
49	505885997, 1976730144598190963568023014679333
50	251, 5051, 78875943472201
51	613, 210631, 52986961, 13168164561429877
52	521, 265371653, 1900381976777332243781
53	107, 1659431, 1325815267337711173, 47198858799491425660200071
54	70541929, 14175966169
55	1321, 62921, 83251631, 1300635692678058358830121
56	7841, 127522001020150503761
57	21319, 10749631, 3931123022305129377976519
58	59, 154083204930662557781201849
59	2559647034361, 4340876285657460212144534289928559826755746751
60	61, 4188901, 39526741
61	733, 4637, 329401 , 974293 , 1360682471 , 106007173861643 , 7061709990156159479
62	909090909090909090909090909091
63	10837, 23311, 45613, 45121231, 1921436048294281
64	19841, 976193, 6187457, 834427406578561
65	162503518711, 5538396997364024056286510640780600481
66	599144041, 183411838171
67	493121, 79863595778924342083, 28213380943176667001263153660999177245677
68	28559389, 1491383821, 2324557465671829
69	277, 203864078068831, 1595352086329224644348978893
70	4147571, 265212793249617641
71	241573142393627673576957439049, 45994811347886846310221728895223034301839
72	3169, 98641, 3199044596370769
73	12171337159 , 1855193842151350117, 49207341634646326934001739482502131487446637
74	7253, 422650073734453, 296557347313446299
75	151, 4201, 15763985553739191709164170940063151
76	722817036322379041, 1369778187490592461
77	5237, 42043, 29920507, 136614668576002329371496447555915740910181043
78	157, 6397, 216451, 388847808493
79	317, 6163, 10271, 307627, 49172195536083790769 , 3660574762725521461527140564875080461079917
80	5070721, 19721061166646717498359681
81	163, 9397, 2462401, 676421558270641, 130654897808007778425046117
82	2670502781396266997, 3404193829806058997303
83	3367147378267 , 9512538508624154373682136329, 346895716385857804544741137394505425384477
84	226549, 4458192223320340849
85	262533041, 8119594779271, 4222100119405530170179331190291488789678081
86	57009401, 2182600451, 7306116556571817748755241
87	4003, 72559, 310170251658029759045157793237339498342763245483
88	617, 16205834846012967584927082656402106953
89	497867, 103733951 , 104984505733 , 5078554966026315671444089 , 403513310222809053284932818475878953159
90	29611, 3762091, 8985695684401
91	547, 14197, 17837, 4262077, 43442141653, 316877365766624209 , 110742186470530054291318013
92	1289, 18371524594609 , 4181003300071669867932658901
93	900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991
94	6299, 4855067598095567, 297262705009139006771611927
95	191, 59281, 63841, 1289981231950849543985493631, 965194617121640791456070347951751
96	97, 206209, 66554101249, 75118313082913
97	12004721, 846035731396919233767211537899097169, 109399846855370537540339266842070119107662296580348039
98	197, 5076141624365532994918781726395939035533
99	199, 397, 34849, 362853724342990469324766235474268869786311886053883
100	60101 , 7019801, 182521213001 , 14103673319201 , 1680588011350901

Factorisation de 1 + 10 + 10² + ... + 10^k-1

Le principe de cette classification est lié à la factorisation de 1 + 10 + 10² + ... + 10^k-1. En effet, soit p un nombre premier dont la longueur de période est k, l'inverse de p a pour développement décimal Argument vide ou contenant un symbole « = » à mettre entre accolades doubles. En multipliant l'égalité par 10^k - 1, on obtient le développement décimal de 10^k - 1/p Argument vide ou contenant un symbole « = » à mettre entre accolades doubles. C'est un entier. Donc p divise 10^k - 1. Comme 10^k - 1 = 9 × (1 + 10 + 10² + ... + 10^k-1), pour p différent de 3, p doit être un diviseur de 1 + 10 + 10² + ... + 10^k-1.

Soit N₁=1, N₂=11, N₃=111, ..., N_k=<math> \sum_{i=0}^{k-1}10^i </math> = 1 + 10 + 10² + 10³ + ... + 10^k-1 pour <math> k \in \N^* </math>

La factorisation de N_k peut se décomposer comme le produit de P × K × F[1] où

• P : produit des nombres premiers p dont δ_p=k
• K : produit des nombres premiers p dont δ_p est un diviseur de k
• F : produits des nombres p^q ou p est un nombre premier et q un exposant >0 <math> \in \N </math> tel que :
  • p^q soit un diviseur de k
  • k ≥ δ _p × p

1. Aller↑ calculé pour k<101

Exemple pour k=6 :

Factorisation de 111111 (1+10+10²+10³+10⁴+10⁵)

• P = 7 × 13
• K = 11 × 37
• F = 3

111111 = 7 × 13 × 11 × 37 × 3

Exemple pour k = 78 :

Factorisation de 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

• P = 157 × 6397 × 216451 × 388847808493
• K = 11x37x7x13x53x79x265371653x859x1058313049x900900900900990990990991
• F = 3 × 13

Calcul des facteurs K et F

k	Diviseur de k	Equivalent en nombre premier p (δ(p) est un diviseur de k)	Coef. F
1
2
3			3
4	2	11
5
6	2-3	11x37	3
7
8	2-4	11x101
9	3	37	32
10	2-5	11x41x271
11
12	2-3-4-6	11x37x101x7x13	3
13
14	2-7	11x239x4649
15	3-5	37x41x271	3
16	2-4-8	11x101x73x137
17
18	2-3-6-9	11x37x7x13x333667	32
19
20	2-4-5-10	11x101x41x271x9091
21	3-7	37x239x4649	3
22	2-11	11x21649x513239	11
23
24	2-3-4-6-8-12	11x37x101x7x13	3
25	5	41x271
26	2-13	11x53x79x265371653
27	3-9	37x333667	33
28	2-4-7-14	11x101x239x4649x909091
29
30	2-3-5-6-10-15	11x37x41x271x7x13x9091x31x2906161	3
31
32	2-4-8-16	11x101x73x137x17x5882353
33	3-11	37x21649x513239	3
34	2-17	11x2071723x5363222357
35	5-7	41x271x239x4649
36	2-3-4-6-9-12-18	11x37x101x7x13x333667x9901x19x52579	32
37
38	2-19	11x1111111111111111111
39	3-13	37x53x79x265371653	3
40	2-4-5-8-10-20	11x101x41x271x73x137x9091x3541x27961
41
42	2-3-6-7-14-21	11x37x7x13x239x4649x909091x43x1933x10838689	3X7
43
44	2-4-11-22	11x101x21649x513239x23x4093x8779	11
45	3-5-9-15	37x41x271x333667x31x2906161	32
46	2-23	11x11111111111111111111111
47
48	2-3-4-6-8-12-16-24	11x37x101x7x13x73x137x9901x17x5882353x99990001	3
49	7	239x4649
50	2-5-10-25	11x41x271x9091x21401x25601x182521213001
51	3-17	37x2071723x5363222357	3
52	2-4-13-26	11x101x53x79x265371653x859x1058313049
53
54	2-3-9-27	11x37x333667x757x440334654777631	33
55	5-11	41x271x21649x513239
56	2-4-7-8-14-28	11x101x239x4649x73x137x909091x29x281x121499449
57	3-19	37x1111111111111111111	3
58	2-29	11x3191x16763x43037x62003x77843839397
59
60	2-3-4-5-6-10-12-15-20-30	11x37x101x41x271x7x13x9091x9901x31x2906161x3541x27961x211x241x2161	3
61
62	2-31	11x2791x6943319x57336415063790604359
63	3-7-9-21	37x239x4649x333667x43x1933x10838689	32
64	2-4-8-16-32	11x101x73x137x17x5882353x353x449x641x1409x69857
65	5-13	41x271x9901
66	2-3-6-11-22-33	11x37x7x13x21649x513239x23x4093x8779x67x1344628210313298373	3X11
67
68	2-4-17-34	11x101x207123x5363222357x103x4013x21993833369
69	3-23	37x11111111111111111111111	3
70	2-5-7-10-14-35	11x41x271x239x4649x9091x909091x71x123551x102598800232111471
71
72	2-3-4-6-8-9-12-18-24-36	11x37x101x7x13x73x137x333667x9901x19x52579x99990001x999999000001	32
73
74	2-37	1x2028119x247629013x2212394296770203368013
75	3-5-15-25	37X41X271X31X2906161X99990001	3
76	2-4-19-38	11x101x1111111111111111111x909090909090909091
77	7-11	239x4649x21649x513239
78	2-3-6-13-26-39	11x37x7x13x53x79x265371653x859x1058313049x900900900900990990990991	3X13
79
80	2-4-5-8-10-16-20-40	11X101X41X271X73X137X9091X17X5882353X3541X27961X1676321X5964848081
81	3-9-27	37x333667x757x440334654777631	34
82	2-41	11x83x1231x538987x201763709900322803748657942361
83
84	2-3-4-6-7-12-14-21-28-42	11x37x101x7x13x239x4649x9901x909091x43x1933x10838689x29x281x121499449x127x2689x459691	3*7
85	5-17	41x271x2071723x5363222357
86	2-43	11x173x1527791x1963506722254397x2140992015395526641
87	3-29	37x3191x16763x43037x62003x77843839397	3
88	2-4-8-11-22-44	11x101x73x137x21649x513239x23x4093x8779x89x1052788969x1056689261	11
89
90	2-3-5-6-9-10-15-18-30-45	11x37x41x271x7x13x333667x9091x31x2906161x19x52579x211x241x2161x238681x4185502830133110721	3
91	7-13	239x4649x53x79x265371653
92	2-4-23-46	11x101x11111111111111111111111x47x139x2531x549797184491917
93	3-31	37x2791x6943319x57336415063790604359	3
94	2-47	11x35121409x316362908763458525001406154038726382279
95	5-19	41x271x1111111111111111111
96	2-3-4-6-8-12-16-24-32-48	11x37x101x7x13x73x137x9901x17x5882353x99990001x353x449x641x1409x69857x9999999900000001	3
97
98	2-7-14-49	11x239x4649x909091x505885997x1976730144598190963568023014679333
99	3-9-11-33	37x333667x21649x513239x67x1344628210313298373	3
100	2-4-5-10-20-25-50	11x101x41x251x271x9091x3541x5051x27961x21401x25601x182521213001x78875943472201

x

Écriture fractionnaire d'un développement périodique

Pour le développement périodique d'un nombre plus petit que 1, lorsque la période commence immédiatement après la virgule, la technique consiste à multiplier le nombre par la bonne puissance de 10 permettant de décaler complètement la période avant la virgule. Une soustraction permet alors de faire disparaître la partie décimale.

Exemple :

Si la période ne commence pas juste après la virgule, il faut commencer par multiplier le nombre par la bonne puissance de 10 pour faire démarrer le développement décimal périodique juste après la virgule, puis on utilise la méthode précédente sur la partie décimale.

Exemple :

Cet algorithme se généralise et conduit au résultat suivant :

Caractérisation des rationnels — Tout développement périodique est associé à un rationnel. En particulier, le rationnel associé au développement  peut s'écrire

congruences

 

Notions de congruences

Pour la suite, vous aurez besoin de comprendre ce qu’est une congruence. Voici les indispensables.

Si a et b sont deux nombres entiers, avec a > b, la division euclidienne de a par b s’écrit:

a=bq+r,0⩽r<b.$$a=bq+r,0⩽r<b.$$

On dira alors que a est congru à r modulo b, et on écrira:

a≡rmodb.$$a\equiv r\mathrm{mod}b.$$

C’est ça une congruence.

Un résultat important est le suivant: si k est un entier naturel,

a≡rmodb⇒ak≡rkmodb.$$a\equiv r\mathrm{mod}b\Rightarrow a^k\equiv r^k\mathrm{mod}b.$$

Nous nous en servirons pour le critère de divisibilité par 3 et 9.

Un autre résultat important est que : si a < b et si b = a + r, alors:

a≡−rmodb.$$a\equiv -r\mathrm{mod}b.$$

Par exemple,

10=11−1$$10=11-1$$

donc:

10≡−1mod11.$$10\equiv -1\mathrm{mod}11.$$

Nous nous en servirons pour établir le critère de divisibilité par 11.

Congruences et critère de divisibilité par 3

Commençons par un critère connu depuis le collège:

Un nombre est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres l’est aussi.

Critère de divisibilité par 3

Notons:

N=∑k=0nxk×10k$$N=\sum _{k=0}^n{x}_k\times {10}^k$$

c’est-à-dire:

N=xn×10n+xn−1×10n−1+cdots+10x1+x0.$$N=x_n\times {10}^n+x_{n-1}\times {10}^{n-1}+cdots+10x_1+x_0.$$

Par exemple,

148=100+40+8=1×102+4×101+8×100.$$148=100+40+8=1\times {10}^2+4\times {10}^1+8\times {10}^0.$$

Nous savons que:

10=3×3+1$$10=3\times 3+1$$

et donc que:

10≡1mod3$$10\equiv 1\mathrm{mod}3$$

et donc que pour tout entier naturel k:

10k≡1mod3.$${10}^k\equiv 1\mathrm{mod}3.$$

Ainsi,

N≡∑k=0nxkmod3,$$N\equiv \sum _{k=0}^n{x}_k\mathrm{mod}3,$$

autrement dit:

N≡xn+xn−1+⋯+x1+x0mod3.$$N\equiv x_n+x_{n-1}+\cdots +x_1+x_0\mathrm{mod}3.$$

On a alors:

N divisible par 3⟺N≡0mod3⟺xn+xn−1+⋯+x1+x0≡0mod3$$\begin{array}{rl}N\text{ divisible par 3}& ⟺N\equiv 0\mathrm{mod}3\\ & ⟺x_n+x_{n-1}+\cdots +x_1+x_0\equiv 0\mathrm{mod}3\end{array}$$

ce qui signifie que N est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres l’est aussi.

Au passage, on remarquera que remplacer « 3 » par « 9 » ne change rien à la démonstration, ce qui signifie le résultat suivant:

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres l’est aussi.

Congruences et critère de divisibilité par 11

Les notations sont les mêmes que précédemment.

Nous savons que:

10≡−1mod11$$10\equiv -1\mathrm{mod}11$$

donc nous pouvons écrire:

N≡∑k=0nxk×(−1)kmod11≡∑k pairxk+∑k impair(−1)xkmod11≡∑k pairxk–∑k impairxkmod11$$\begin{array}{rl}N& \equiv \sum _{k=0}^n{x}_k\times (-1{)}^k\mathrm{mod}11\\ & \equiv \sum _{k\text{ pair}}{x}_k+\sum _{k\text{ impair}}(-1)x_k\mathrm{mod}11\\ & \equiv \sum _{k\text{ pair}}{x}_k–\sum _{k\text{ impair}}{x}_k\mathrm{mod}11\end{array}$$

Ainsi,

N divisible par 11⟺N≡0mod11⟺∑k pairxk–∑k impairxk≡0mod11$$\begin{array}{rl}N\text{ divisible par 11}& ⟺N\equiv 0\mathrm{mod}11\\ & ⟺\sum _{k\text{ pair}}{x}_k–\sum _{k\text{ impair}}{x}_k\equiv 0\mathrm{mod}11\end{array}$$

Cela peut paraître compliqué au prime abord, mais c’est très simple au final. Regardons sur un exemple. Soit:

N=5025449.$$N=5025449.$$

Le critère de divisibilité que nous venons de trouver suggère d’ajouter tous les chiffres de rangs pairs (notons P cette somme) et tout ceux de rangs impairs (notons I cette somme).

P=9+4+2+5=20I=4+5+0=9$$\begin{array}{r}P=9+4+2+5=20\\ I=4+5+0=9\end{array}$$

P−I=20−9=11≡0mod11$P-I=20-9=11\equiv 0\mathrm{mod}11$ donc N≡0mod11$N\equiv 0\mathrm{mod}11$, et donc N est divisible par 11.

Congruences et critère de divisibilité - Mathweb.fr - Par 3, 11, 13, 7 et... 17?