Le moyen le plus efficace de raisonnement pour obtenir des résultats sur ces sujets est le raisonnement par récurrence.
Henri Poincaré dans son célèbre ouvrage de 1902, La Science et l’Hypothèse, le présente ainsi : « On établit d’abord un théorème pour n = 1 ; on montre ensuite que s’il est vrai de n – 1, il est vrai de n et on en conclut qu’il est vrai pour tous les nombres entiers à partir de 1. »
Poincaré précise que c’est « le raisonnement mathématique par excellence ». Il indique encore et c’est plus mystérieux : « La démonstration par récurrence s’impose parce qu’elle n’est que l’affirmation d’une propriété de l’esprit lui-même. »
Donnons un exemple de son utilisation en montrant que la formule 1 + 3 + 5 + 7 = 42 est un cas particulier de l’affirmation que la somme des nombres impairs jusqu’à 2n – 1, vaut n2.
Soit P(n) : 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2.
C’est vrai pour n = 1 car 1 = 12. Supposons la propriété vraie pour n – 1, alors :
P(n – 1) : 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 3) = (n – 1)2.
Ajoutons le nombre impair 2n – 1 de chaque côté de l’égalité
1 + 3 + 5 + ... + (2n – 3) + (2n – 1) = (n – 1)2 + (2n – 1)
En développant (n – 1)2 + 2n – 1 et en simplifiant, on obtient n2 – 2n + 1 + 2n – 1 = n2, donc : 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2. C’est ce que nous attendions. On en conclut que pour tout entier n à partir de 1, on a bien P(n).
source Pour la science septembre 2022
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