Sur la tablette acheté en 1922 par Georges Arthur Plimpton à un marchand d’objets archéologiques se trouve quinze triplets pythagoriciens en écriture sexagésimale. On ne sait pas la nature de ce document, est-ce un précurseur de la trigonométrie ou un document didactique pour exercer des étudiants. Quoi qu’il en soit il prouve que vers 1800 avant notre ère le théorème de Pythagore était connu par les babyloniens et que cette recherche de triplets intéressait déjà les mathématiciens de l’époque.
Les triplets que l’on trouvent sur cette tablette ne sont pas les plus simples, on ne trouve pas (3,4,5) par exemple, ce qui laisse penser à un document pour l’apprentissage.
Voici les quinze triplets de la tablette Plimpton 322 :
- (119, 120, 169)
- (3 367,3 456,4 825)
- (4 601, 4 800, 6 649)
- (12 709, 13 500, 18 541)
- (65, 72, 97)
- (319, 360, 481)
- (2 291, 2 700, 3 541)
- (799, 960, 1 249)
- (481, 600, 769)
- (4 961, 6 480, 8 161)
- (45, 60, 75)
- (1 679, 2 400, 2 929)
- (161, 240, 289)
- (1 771, 2700, 3 229)
- (56, 90, 106)
Étranges n’est-ce pas ? Pourquoi ces triplets sont-ils aussi compliqués ?
Tous ces triplets sont primitifs, sauf le n°11, (45, 60, 75) qui un multiple de (3, 4, 5), le n°15 qui est un multiple de (28, 45, 53). Signalons en effet que pour un triplet Pythagoricien donné, on peut en trouver une infinité d’autres en multipliant chaque terme par le même nombre entier. Un triplet n’étant multiple d’aucun autre ou en terme plus technique, dont les termes sont premiers entre eux ou encore dont le plus grand diviseur commun est 1, est un triplet primitif.
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