Électrodynamique quantique et Diagrammes de Feynman

 

Système d'unités de Planck

 Les unités de Planck sont alors ainsi définies :

Nom	Dimension	Formule	Valeur approchée (en unités du SI)
Longueur de Planck	longueur (L)	${\displaystyle l_{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {G\hbar }{c^{3}}}}}$	1,616 × 10−35 m
Masse de Planck	masse (M)	${\displaystyle m_{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {c\hbar }{G}}}}$	2,177 × 10−8 kg
Temps de Planck	temps (T)	${\displaystyle t_{\mathrm {P} }={\frac {l_{\mathrm {P} }}{c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}}$	5,391 × 10−44 s
Température de Planck	température (Θ)	${\displaystyle T_{\mathrm {P} }={\frac {m_{\mathrm {P} }c^{2}}{k_{B}}}={\frac {\sqrt {c^{5}{\frac {\hbar }{G}}}}{k_{B}}}}$	1,416 833 139 × 1032 K
Charge de Planck	charge électrique (Q)	${\displaystyle q_{\mathrm {P} }={\sqrt {c\hbar 4\pi \varepsilon _{0}}}}$	1,875 × 10−18 C

Inversement, les constantes de la physique peuvent être exprimées simplement en utilisant les unités de base de Planck :

• ${\displaystyle c={\frac {l_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }}}}$
• ${\displaystyle \hbar ={\frac {m_{\mathrm {P} }l_{\mathrm {P} }^{2}}{t_{\mathrm {P} }}}}$
• ${\displaystyle G={\frac {l_{\mathrm {P} }^{3}}{m_{\mathrm {P} }t_{\mathrm {P} }^{2}}}}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}={\frac {q_{\mathrm {P} }^{2}t_{\mathrm {P} }^{2}}{4\pi m_{\mathrm {P} }l_{\mathrm {P} }^{3}}}}$
• ${\displaystyle k_{B}={\frac {m_{\mathrm {P} }l_{\mathrm {P} }^{2}}{t_{\mathrm {P} }^{2}T_{\mathrm {P} }}}}$

Unités dérivées[modifier | modifier le code]

À partir des unités de base il est bien entendu possible de définir n'importe quelle unité physique. Les unités dérivées effectivement intéressantes sont celles qui auront une signification physique en termes de maximum ou minimum atteignable par une certaine entité.

Nom	Dimension	Formule	Valeur approchée (en unités du SI)
Force de Planck	force (M L T-2)	${\displaystyle F_{\mathrm {P} }={\frac {m_{\mathrm {P} }l_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }^{2}}}={\frac {c^{4}}{G}}}$	1,210 × 1044 N
Énergie de Planck	énergie (M L2 T-2)	${\displaystyle E_{\mathrm {P} }=F_{\mathrm {P} }l_{\mathrm {P} }=c^{2}{\sqrt {\frac {c\hbar }{G}}}}$	1019 GeV = 1,956 × 109 J
Puissance de Planck	puissance (M L2 T-3)	${\displaystyle P_{\mathrm {P} }={\frac {E_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }}}={\frac {c^{5}}{G}}}$	3,629 × 1052 W
Quantité de mouvement de Planck	Quantité de mouvement (M L T-1)	${\displaystyle p={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}}$	6.5 N.s
Densité de Planck	masse volumique (M L-3)	${\displaystyle \rho _{\mathrm {P} }={\frac {m_{\mathrm {P} }}{l_{\mathrm {P} }^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}}$	5,1 × 1096 kg/m3
Fréquence de Planck	fréquence (T-1)	${\displaystyle \omega _{\mathrm {P} }={\frac {1}{t_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}}$	1,855 × 1043 rad/s
Pression de Planck	pression (M L-1 T-2)	${\displaystyle p_{\mathrm {P} }={\frac {F_{\mathrm {P} }}{l_{\mathrm {P} }^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}$	4,635 × 10113 Pa
Courant de Planck	courant électrique (Q T-1)	${\displaystyle I_{\mathrm {P} }={\frac {q_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \varepsilon _{0}}{G}}}}$	3,479 × 1025 A
Tension de Planck	tension (M L2 T-2 Q-1)	${\displaystyle V_{\mathrm {P} }={\frac {E_{\mathrm {P} }}{q_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \varepsilon _{0}}}}}$	1,043 2 × 1027 V
Impédance de Planck	résistance électrique (M L2 T-1 Q-2)	${\displaystyle Z_{\mathrm {P} }={\frac {V_{\mathrm {P} }}{I_{\mathrm {P} }}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}}$	2,998 6 × 101 Ω
Masse linéique de Planck	(M L-1)	${\displaystyle \lambda ={\frac {m_{l}}{l_{\mathrm {P} }}}={\frac {c^{2}}{G}}}$	1,346 64 × 1027 kg m−1
Impédance mécanique de Planck	(M T-1)	${\displaystyle D={\frac {m_{l}}{t_{\mathrm {P} }}}={\frac {c^{3}}{G}}}$	4,037 11 × 1035 kg s−1

La masse linéique de Planck est le rapport de la masse au rayon d'un trou noir de Schwarzschild, de compacité égale à un.

Normalisations alternatives[modifier | modifier le code]

Le facteur 4π[modifier | modifier le code]

Comme indiqué ci-dessus, les unités de Planck sont définies en « normalisant » à l'unité la valeur numérique de certaines constantes fondamentales. Cependant, le choix des constantes à normaliser n'est pas unique, et le choix habituellement présenté n'est pas nécessairement le meilleur. De plus, ces constantes fondamentales se retrouvent dans différentes équations de physiques parfois affectées d'une constante numérique différente, et il n'est pas évident de choisir celle des équations qui devra être ainsi simplifiée au détriment des autres.

Le facteur 4π, par exemple, est omniprésent en physique théorique, fondamentalement parce que dans un espace à trois dimensions8 la surface d'une sphère de rayon r est 4π.r². C'est fondamentalement pour cette raison, et à cause des différentes lois de conservation du flux, et du calcul de divergence appliqués à la densité de flux, que beaucoup de phénomènes physiques suivent une loi en carré inverse, comme la loi de Gauss ou la loi de l'attraction universelle. Le champ gravitationnel ou le champ électrique produit par une particule ponctuelle a une symétrie sphérique ; et le facteur 4π qui apparaît par exemple dans l'expression de la loi de Coulomb vient de ce que le flux d'un champ électrostatique est uniformément réparti sur la surface de la sphère, et que son intégrale sur la sphère (qui donne le flux total) se conserve quand le rayon de cette sphère varie — mais il en est fondamentalement de même pour le champ gravitationnel.

Dans la réduction des lois physiques correspondantes, la question devient alors de savoir s'il vaut mieux réduire l'attraction élémentaire physiquement perceptible (ce qui impose un facteur 4π dans l'expression du flux élémentaire créé par une particule), ou s'il faut réduire le flux élémentaire d'une particule (faisant apparaître un facteur 4π dans l'expression de la force associée).

Constante gravitationnelle et facteur 4π[modifier | modifier le code]

Avant l'émergence de la relativité restreinte en 1905, la loi de l'attraction universelle telle que formulée par Isaac Newton était considérée comme exacte (au lieu de n'être qu'une approximation valable aux faibles vitesses et aux faibles champs de gravité), et la « constante universelle de gravitation » avait été historiquement définie par Newton sans considération particulière à des considérations de conservation de flux. Dans ce contexte, il était naturel que le choix de Planck, dans son article de 1899, ait été de normaliser cette constante G à l'unité. Mais dans les descriptions ultérieures de la gravité données par la relativité générale, qui apparaissent à présent plus fondamentales que les équations de l'attraction universelle, la constante gravitationnelle apparaît toujours dans les formules multipliées par 4π, ou par un petit multiple de ce nombre.

S'il fallait aujourd'hui normaliser cette constante dans un système naturel d'unités, le choix serait plutôt fait de simplifier ces équations plus fondamentales, quitte à faire apparaître un facteur 1/4π dans l'expression de l'attraction newtonienne. C'est ce même facteur qui apparaît dans la loi de Coulomb, quand elle est exprimée en termes de la permittivité du vide. Et, de fait, des normalisations alternatives en unités naturelles conservent ce facteur aussi bien dans l'expression de la gravitation que dans celle des lois de Coulomb, si bien que les équations de Maxwell en électromagnétisme et en gravitoélectromagnétisme prennent une forme similaire à celle de l'électromagnétisme dans le système SI, qui n'a pas ce facteur 4π.

En normalisant à l'unité la constante 4πG :

• Le théorème de Gauss pour la gravitation se réduit à Φ_g = −M.
• La formule de Bekenstein–Hawking donnant l'entropie d'un trou noir en fonction de sa masse m_BH et de la surface A_BH de son horizon se simplifie en S_BH = πA_BH = (m_BH)², si A_BH et m_BH sont mesurées dans les unités de Planck alternatives décrites ci-après.
• L'impédance caractéristique d'une onde gravitationnelle dans le vide, qui vaut 4πG/c, est égale à l'unité en unité réduite.
• Il n'y a plus de facteur 4π qui apparaisse dans les équations de gravitoélectromagnétisme applicables en champ gravitationnel faible ou dans un espace de Minkowski localement plat. Ces équations ont la même forme que les équations de Maxwell, où la densité de masse joue le rôle de la densité de charge, et où 1/4πG remplace ε₀.

En normalisant plutôt la constante 8πG, on peut éliminer ce facteur de l'équation d'Einstein, de la formule d'action d'Einstein-Hilbert, des équations de Friedmann, et de l'équation de Poisson pour la gravitation. Ces unités de Planck, modifiées de manière que 8πG = 1, sont connues sous le nom de « unités de Planck réduites », parce que la masse de Planck réduite est divisée par √8π. En outre, les équations de Bekenstein–Hawking pour l'entropie d'un trou noir se simplifient en S_BH = 2(m_BH)² = 2πA_BH.

Constante Cosmologique

 

Commentaires d'Einstein sur la constante cosmologique[modifier | modifier le code]

Après la découverte en 1929 du décalage vers le rouge par Edwin Hubble impliquant un Univers en expansion, Albert Einstein revient sur l'introduction de la constante cosmologique, la qualifiant de « plus grande bêtise de sa vie » (en tout cas d'après George Gamow, dans son autobiographie publiée en 1970). Néanmoins des découvertes récentes durant les années 1990, traitant des problèmes tels que l'énergie du vide, la théorie quantique des champs ou l'accélération de l'expansion de l'Univers, ont provoqué un regain d'intérêt pour ce paramètre, qui est par ailleurs compatible avec l'ensemble de la théorie de la relativité générale.

Einstein écrit notamment4 :

« Le fait le plus important que nous tirons de l'expérience est que les vitesses relatives des étoiles sont très petites comparées à la vitesse de la lumière. »

Le 4 février 1917, soit quelques jours avant la présentation de son manuscrit à l'Académie de Prusse, Einstein écrit à Ehrenfest :

« J'ai encore commis quelque chose à propos de la théorie de la gravitation qui, d'une certaine façon, m'expose au danger de me faire interner dans un asile de fou. »

Le décalage vers le rouge des « nébuleuses spirales » lointaines ne sera confirmé qu'au début des années 1920 par l'astronome Vesto Slipher, puis interprété comme la signature d'un Univers en expansiona. Après cette découverte, Einstein écrira le 23 mai 1923 une carte-postale adressée au mathématicien Weyl :

« Si l'Univers n'est pas quasi-statique, alors au diable la constante cosmologique ! »

Il qualifiera même ultérieurement son introduction de « plus grande bêtise de sa vie »5. Mais le problème n'est pas aussi simple : si la constante cosmologique est compatible avec les principes généraux de la Relativité générale, on ne peut pas la poser identiquement nulle a priori sans raisonsb.

Constante cosmologique — Wikipédia (wikipedia.org)

Densité d'énergie du vide[modifier | modifier le code]

La constante cosmologique correspond à la densité moyenne d'énergie du vide sur des échelles cosmologiques.

 Comme indiqué ci-dessous, elle a l'effet d'une densité volumique d'énergie (homologue à une pression) intrinsèque au vide ε_Λ = ${\displaystyle \rho _{\Lambda }\,c^{2}}$, ou (suivant l'équivalence masse-énergie) à une densité de matière virtuelle :

ε_Λ = ${\displaystyle \rho _{\Lambda }\,c^{2}={\frac {c^{4}\Lambda }{8\pi G}}={\frac {F_{\mathrm {P} }\Lambda }{8\pi }}}$

où ${\displaystyle F_{\mathrm {P} }}$ représente la force de Planck.

La constante gravitationnelle étant de dimension

 M^{${\displaystyle \,}$-1}·L^{${\displaystyle \,}$3}·T^{${\displaystyle \,}$-2} 

et la densité d'énergie M·L^{${\displaystyle \,}$-1}·T^{${\displaystyle \,}$-2}, 

on voit que la constante cosmologiquec est de dimension L^{${\displaystyle \,}$-2}.

Les données finales de la mission Planck6,

 avec H₀ = 67,36 ± 0,54 km/s/Mpc (= 2,18 × 10⁻¹⁸ s⁻¹),

 Ω_m = 0,315 3 ± 0,007 3 

et Ω_Λ = 0,684 7 ± 0,007 3, donnent une valeur de la constante cosmologique 

Λ = 3 H₀²Ω_Λ/c² de l'ordre de 1,088 × 10⁻⁵² m⁻², 

soit aussi (2,846 ± 0,076) × 10⁻¹²² l-2
Pl 

(en inverses de la longueur de Planck au carré, sachant que l_Pl = 1,616 × 10⁻³⁵ m), 

ce qui permet aussi d'écrire une constante cosmologique sans dimension λ = Λ l2
Pl = 2,846 × 10⁻¹²².

La racine carrée de 3 fois l'inverse de la constante cosmologique,

 (3 / Λ)^½, donne une longueur de l'ordre de ~26 m que l'on peut interpréter comme

 le rayon de Hubble « final » noté avec l'indice Λ,

 soit R_Λ = c / H_Λ, 

avec H_Λ qui correspond au paramètre de Hubble « final » lorsqu'on approchera la situation extrême où Ω_Λ → 1 (et donc Ω_m → 0), 

c'est-à-dire où H_Λ² = c² Λ / 3 = 3,3 × 10⁻³⁶ s⁻², 

soit H_Λ = 1,8 × 10⁻¹⁸ s⁻¹ = ~55,75 km/s/Mpc 

et donc R_Λ = 1,67 × 10²⁶ m = ~17,6 milliards d'années-lumière. 

Ce rayon de Hubble est celui de l'horizon de Hubble, 

ou horizon des photons, au-delà duquel la vitesse d'expansion dépasse c, la vitesse de la lumière.

 Le rayon de Hubble actuel, 1,376 × 10²⁶ m = ~14,54 milliards d’années-lumière, 

est plus petit puisque le paramètre de Hubble actuel H_o est plus grand (voir la valeur ci-dessus, selon les données finales de la mission Planck) que cette valeur extrémale « finale » H_Λ. 

Comme, du fait de l'accélération de l'expansion, le paramètre de Hubble décroît avec le temps,

 le rayon de Hubble croît avec le temps pour tendre vers cette valeur limite. 

Cette valeur finale H_Λ peut aussi être traduite en durée de Hubble « finale » : t_Λ = 1 / H_Λ = 5,55 × 10¹⁷ s = ~17,6 milliards d'années. 

Au bout de cette durée,

 donc à cet âge de l'Univers,

 notre horizon cosmologique 

(qui est actuellement à ~13,7 milliards d'années-lumière et qui croît avec le temps qui passe)

 atteindra et coïncidera avec l'horizon de Hubble R_Λ et ne pourra s'étendre plus loin. 

À la longue, il n'y aura plus de galaxies lointaines qui pourraient nous apparaître 

(comme c'est le cas actuellement où notre ciel s'enrichit continuellement de probablement une nouvelle galaxie lointaine par heure du fait de l'accroissement continu de notre horizon cosmologique),

 mais au contraire, toutes les galaxies lointaines passeront désormais au-delà de cet horizon 

– l'expansion de l'espace se faisant à la vitesse de la lumière, c, exactement sur l'horizon de Hubble –,

 en un processus qui peu à peu videra notre sphère de Hubble de tout objet extragalactique,

 hormis le Groupe local de nos galaxies voisines tenues ensemble par la gravitation ;

 le ciel lointain sera de plus en plus vide au-delà du Groupe local. 

Cela n'est pas un point de vue particulier à la Terre ; 

il en sera de même pour tout autre point dans l'Univers.

 Autre résultat : 

dans cette situation « finale » le paramètre de décélération, q, 

sera aussi extrême : 

q_Λ → −1

 (en regard de sa valeur actuelle déjà bien négative du fait de l'accélération de l'expansion,

 q_o = −0,527 ;

sa valeur valait 0 au moment,

 il y a quelque 6 milliards d'années, où l'expansion de l'Univers a commencé à accélérer), 

sachant que 

q_o = ½ (Ω_m − 2 Ω_Λ) = ½ (1 − 3 Ω_Λ) 

et avec l'hypothèse vérifiée déjà actuellement, selon les données de la mission Planck, que Ω = Ω_m + Ω_Λ ≈1, cette valeur de q_Λ = −1 signifie que l'accélération de l'expansion atteindra alors sa valeur maximale.