Nombre de Kaprekar

n-nombre de Kaprekar[modifier | modifier le code]

Soient ${\displaystyle a\geq 2}$ et ${\displaystyle n\geq 1}$ deux entiers. On dit qu'un entier ${\displaystyle k}$ est un ${\displaystyle n}$-nombre de Kaprekar en base ${\displaystyle a}$ s'il existe deux entiers naturels ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ tels que :
${\displaystyle k^{2}=ua^{n}+v,\quad 0<v<a^{n}\quad {\text{et}}\quad k=u+v.}$ Les 30 premiers^[1] nombres de Kaprekar en base dix sont :

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2 223, 2 728, 4 879, 4 950, 5 050, 5 292, 7 272, 7 777, 9 999, 17 344, 22 222, 38 962, 77 778, 82 656, 95 121, 99 999, 142 857, 148 149, 181 819, 187 110, 208 495 et 318 682.

Dans l'inventaire que fait Kaprekar en 1980^[2], il oublie étonnamment tous les nombres de la forme ${\displaystyle 10^{n}-1}$ ainsi que les nombres 181 819 et 818 181. L'oubli est rectifié en 1981 par Mannis Charosh^[3], qui met au point une méthode de génération de grands nombres de Kaprekar.
En 2000, Douglas Iannucci^[4] démontre que les n-nombres de Kaprekar en base dix sont en bijection avec les diviseurs unitaires de ${\displaystyle 10^{n}-1}$ et montre comment les obtenir à partir de la décomposition en facteurs premiers de ${\displaystyle 10^{n}-1}$. Il démontre en outre que si k est un n-nombre de Kaprekar, il en est de même de ${\displaystyle 10^{n}-k}$.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Kaprekar

Sept notes de musique

Le rayon de la création ou les notes de musique...

Les mots "Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si" sont des abréviations de mots latins symbolisants l’échelle universelle, également appelée "rayon de la création".

Chacun des sept niveaux hiérarchiques du rayon de la création correspond à un ciel :

- Dieu réside dans le septième ciel. Ce ciel le plus élevé est le paradis de notre Créateur, notre Dominion, abrégé en Do.

- Le sixième ciel est le cosmos. Le mot latin Sidera, abrégé en Si, signifie toutes les étoiles (de l'univers).

- Le cinquième ciel est notre système d'étoiles ou notre voie lactée. Le mot latin Lactea, abrégé en La, signifie lait.

- Le quatrième ciel est notre système solaire. Nous trouvons la règle de chaque ciel en son centre : Hélios. Hélios est au centre de notre système solaire. Il est notre soleil ou Sol en latin.

- Le troisième ciel est peuplé des planètes de notre système solaire. L'astrologie nous montre comment les mouvements de ces planètes créent notre destin, ou Fāta en latin, abrégé en Fa.

- Le deuxième ciel correspond à notre planète. C'est le microcosme à l'intérieur du macrocosme de l'univers entier. En latin, il s'agit du Microcosmus, abrégé en Mi.

- Le premier et le plus bas des Cieux, sous le microcosme, est notre monde souterrain. La lune en est la régente (ou la reine). Le mot latin Regina, abrégé en Ré, signifie régent.

Le nom des notes comme nous les connaissons aujourd’hui (do, ré, mi, fa, sol, la, si) vient d’un chant utilisé pour l’apprentissage du solfège : l’Hymne de Saint Jean-Baptiste. Cet hymne a été écrit par Paul Diacre un moine bénédictin du VIIIème siècle. Ce texte a une fonction mnémotechnique certaine, il fait correspondre chaque note à un son, à un nom. On attribut à Guido d’Arezzo, théoricien de la musique, de s’être inspiré de l’hymne des vêpres en 1028 pour prendre les premières syllabes et en faire les notes.

“Ut queant laxis
Resonare fibris
Mira gestorum
Famuli tuorum
Solve polluti
Labii reatum
Sancte Iohannes”

Deux traductions existent:

La première présente le texte comme suit :
“Afin que les serviteurs puissent clamer à pleine voix les merveilles de tes actions, ôte l’erreur de leurs lèvres impures, Saint Jean”.
La seconde propose cette version de l’hymne:
“Afin que les disciples de tes préceptes puissent, chose admirable, rendre musicale des cordes souples, ôte le mal de leur lèvre souillée, Ô Saint Jean.”

Notons que le chant original utilise “ut” à la place de “do”. Il faut attendre 1536 pour que le do prenne le pas sur ut, le dramaturge italien Pierre l’Arétin modifie la première ligne du texte en utilisant Dominus (le seigneur) comme invocation (Domine, ut queant laxis pour “Ô Seigneur” (…)). L’utilisation du do a remplacé ut pour des raisons de facilité et des raisons esthétiques. Le si est ajouté qu’à la fin du XVIème siècle, par Anselme de Flandres. Ainsi le vers “Sancte Jo-Annes” ou “Sancte Oannes-J” devient : “Sancte Iohannes”.