Soit le
triangle ABC rectangle en B et
le
cercle circonscrit à ABC (de diamètre AC).
La lunule
est la figure formée par le demi-disque de diamètre BC extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par
.
La lunule
est la figure formée par le demi-disque de diamètre BA extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par
.
Alors la somme des aires de
et de
(en bleu sur la figure) est égale à l'aire du triangle ABC (en vert).
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Soit un triangle ABC rectangle en B.
Les deux petites parties blanches représentent ce qui reste du demi-disque de diamètre AC quand on le prive du triangle ABC. La somme de leurs aires est donc
Les deux lunules sont les deux demi-disques de diamètre AB et BC privés de ces parties blanches. La somme de leurs aires est donc
Pour montrer le théorème, il suffit donc de montrer que
, c'est-à-dire que la somme des aires des deux demi-disques de diamètre AB et BC est égale à l'aire du demi-disque de diamètre AC.
Or le
théorème de Pythagore nous dit que
Donc en multipliant par
on a
ce qui est l'égalité des aires recherchée.
Ce pi/8 me laisse perplexe .... la somme des 20 premières décimales de pi est égale à 100