Melancolia Dürer

http://fr.wikipedia.org/wiki/Melencolia_de_D%C3%BCrer

Sur le mur derrière l'ange, figure un carré magique, dont la valeur est 34. Les carrés magiques sont, notamment dans les ésotérismes juif et islamique, associés à des connaissances secrètes qui furent transmises, pendant et avant l'époque de Dürer par des confréries d'ésotérisme chrétien qui maintenaient des relations suivies avec les initiés à l'ésotérisme islamique.

En ordonnant les nombres de 1 à 16 (ou à 9, 25 ou tout autre nombre carré supérieur à 4), une grille carrée peut être remplie de façon telle que la somme sur chaque ligne horizontale, verticale ou diagonale ait la même valeur. Les carrés magiques utilisés dans l'hermétisme sont d'ordre n, c'est-à-dire qu'ils ont n lignes et n colonnes, correspondant aux entiers allant de 1 à ${\displaystyle n^{2}}$. La somme de tous les nombres d'un tel carré magique de taille n a pour valeur :

${\displaystyle 1+2+\cdots +n^{2}={\frac {n^{2}(n^{2}+1)}{2}}~,}$

tandis que la valeur de ce carré, c'est-à-dire le même nombre que l'on retrouve en sommant les lignes, les colonnes, ou les deux diagonales vaut, puisqu'il y a n lignes et ncolonnes, la quantité précédente divisée par n c'est-à-dire :

${\displaystyle {\frac {1+2+\cdots +n^{2}}{n}}={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}~.}$

Les différentes tailles n sont mises en correspondance avec les « cieux » dans les représentations traditionnelles. Le carré d'ordre 4, tel celui que l'on trouve dans la Melencholia, est associé au ciel de Jupiter. La somme de tous ses nombres vaut donc 136, et sa valeur est 34. Le carré d'ordre 3 correspond au ciel de Saturne. Le carré d'ordre 6 est traditionnellement associé au ciel du Soleil. La somme de tous ses nombres vaut donc ${\displaystyle 1+2+\cdots +6^{2}=1+2+\cdots +36=666}$, et sa valeur est 111. Ainsi, on retrouve le fait que 666 est avant tout considéré, notamment par la Kabbale, comme un nombre « solaire », et c'est uniquement l'un de ses aspects, négatif, qui doit être considéré comme « maléfique », et non le nombre en lui-même, qui garde avant tout cet aspect solaire.

Le carré figurant dans la Melencholia est un type particulier de carré magique: la somme dans l'un de ses quatre quadrants, ainsi que la somme des nombres du carré du milieu, valent également 34, la valeur du carré10. C'est un carré magique gnomon.

Opérations

La somme de deux carrés magiques du même ordre donne également un carré magique, mais le résultat n'est pas normal, c'est-à-dire que les nombres ne forment pas la suite 1, 2, 3... Également, deux carrés magiques du même ordre peuvent être soustraits.

Le « produit » de deux carrés magiques crée un carré magique d'ordre supérieur aux deux multiplicandes. Ce produit s'effectue ainsi. Soit les carrés magiques M et N :

1. Le carré final sera d'ordre MxN.
2. Diviser le damier final en NxN sous-damiers de MxM cases.
3. Dans le carré N, réduire de 1 la valeur de tous les nombres.
4. Multiplier ces valeurs réduites par M × M. Les résultats sont reportés dans les cases de chaque sous-damier correspondant du carré final.
5. Les cases du carré M sont additionnées NxN fois aux cases du damier final.

Soit à effectuer le « produit » de ces deux carrés magiques, un de 3x3 et l'autre de 4x4. Le carré magique final sera de 12x12.

Le carré magique de 3x3 est remplacé par le produit (3 × 3) et chaque nombre dans le carré 4x4 est diminué de 1. Le damier final, de taille 12x12, est divisé en 4x4 sous-damiers, chacun ayant 3x3 cases. Chacune des cases s'obtient en multipliant (3 × 3) par l'une des cases du carré magique 4x4. Par exemple, 117 est le produit de 3 × 3 × 13. Ce carré est magique, mais n'est pas normal. La prochaine étape va « corriger » cette « anomalie ».

Après 4x4 additions du carré 3x3, le carré final est magique et normal.

La multiplication de carrés magiques permet de générer des carrés magiques de plus grandes tailles. Cette technique produit plus rapidement des carrés de grande taille que la construction à l'aide de l'une des méthodes directes (celles de la Loubère ou de Strachey, par exemple).