Fonction GAMMA

Lien avec la factorielle[modifier | modifier le code]

De ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)}$ et Γ(1) = 1, on déduit :

${\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} ,\;\Gamma (n+1)=n!}$.

La fonction gamma est donc généralement perçue comme un prolongement de la factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté les entiers négatifs ou nuls).
Une notation alternative est la fonction Π, introduite par Gauss :

${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)}$ (et donc ${\displaystyle \Gamma (z)=\Pi (z-1)=\Pi (z)/z}$),

de telle façon que :

${\displaystyle \Pi (n)=n!}$.

Formule de multiplication[modifier | modifier le code]

La fonction gamma vérifie également la formule de duplication : ${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$
La formule de duplication est un cas particulier du théorème de multiplication :
${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).}$ Cette fonction apparaît également dans des formules incluant la fonction zêta de Riemann.