Théorème de Midy

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En mathématiques, le théorème de Midy, dû au mathématicien français Étienne Midy^[1],[2], est un énoncé concernant le développement décimal périodique d'une fraction a/p (comprise, sans perte de généralité, entre 0 et 1), où p est un nombre premier (différent de 2 et 5) tel que la période soit paire. Une telle fraction s'écrit

${\displaystyle {\frac {a}{p}}=0{,}{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{k}a_{k+1}\dots a_{2k}}}}$

et le théorème établit que les chiffres dans la deuxième moitié de la période sont les compléments à 9 (en) de ceux qui leur correspondent dans la première moitié. En d'autres termes :
${\displaystyle a_{i}+a_{i+k}=9}$ ou encore :
${\displaystyle a_{1}\dots a_{k}+a_{k+1}\dots a_{2k}=10^{k}-1.}$ Par exemple,

${\displaystyle {\frac {3}{7}}=0{,}{\overline {428571}}{\text{ et }}428+571=999.}$

145 premières décimales de PI

Théorème des deux lunules

Soit le triangle ABC rectangle en B et ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ le cercle circonscrit à ABC (de diamètre AC).
La lunule ${\displaystyle L_{BC}}$ est la figure formée par le demi-disque de diamètre BC extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.
La lunule ${\displaystyle L_{BA}}$ est la figure formée par le demi-disque de diamètre BA extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.
Alors la somme des aires de ${\displaystyle L_{BC}}$ et de ${\displaystyle L_{BA}}$ (en bleu sur la figure) est égale à l'aire du triangle ABC (en vert).
...........................................................
Soit un triangle ABC rectangle en B.
Les deux petites parties blanches représentent ce qui reste du demi-disque de diamètre AC quand on le prive du triangle ABC. La somme de leurs aires est donc ${\displaystyle {\text{Aire}}(AC)-{\text{Aire}}(ABC).}$
Les deux lunules sont les deux demi-disques de diamètre AB et BC privés de ces parties blanches. La somme de leurs aires est donc
${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Aire}}(L_{BC})+{\text{Aire}}(L_{BA})&={\text{Aire}}(AB)+{\text{Aire}}(BC)-\left[{\text{Aire}}(AC)-{\text{Aire}}(ABC)\right]\\&=\left[{\text{Aire}}(AB)+{\text{Aire}}(BC)-{\text{Aire}}(AC)\right]+{\text{Aire}}(ABC).\end{aligned}}}$ Pour montrer le théorème, il suffit donc de montrer que ${\displaystyle {\text{Aire}}(AB)+{\text{Aire}}(BC)-{\text{Aire}}(AC)=0}$, c'est-à-dire que la somme des aires des deux demi-disques de diamètre AB et BC est égale à l'aire du demi-disque de diamètre AC.
Or le théorème de Pythagore nous dit que
${\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}.\,}$ Donc en multipliant par ${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$ on a
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {AC}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {AB}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {BC}{2}}\right)^{2},}$ ce qui est l'égalité des aires recherchée.


Ce pi/8 me laisse perplexe .... la somme des 20 premières décimales de pi est égale à 100

332667

8/332667

0.000024048072096120144168192216240264288312336360384408432456...
(period 999)

0.000024 048 072 096 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408^_\
432 456 480 504 528 552 576 600 624 648 672 696 720 744 768 792 816 840 86^_\
4 888 912 936 960 985 009 033 057 081 105 129 153 177 201 225 249 273 297 3^_\
21 345 369 393 417 441 465 489 513 537 561 585 609 633 657 681 705 729 753^_\
777 801 825 849 873 897 921 945 969 994 018 042 066 090 114 138 162 186 21^_\
0 234 258 282 306 330 354 378 402 426 450 474 498 522 546 570 594 618 642 6^_\
66 690 714 738 762 786 810 834 858 882 906 930 954 979 003 027 051 075 099^_\
123 147 171 195 219 243 267 291 315 339 363 387 411 435 459 483 507 531 55^_\
5 579 603 627 651 675 699 723 747 771 795 819 843 867 891 915 939 963 988 0^_\
12 036 060 084 108 132 156 180 204 228 252 276 300 324 348 372 396 420 444^_\
468 492 516 540 564 588 612 636 660 684 708 732 756 780 804 828 852 876 90^_\
0 924 948 972 997 0210450690931171411651892132372612853093333^_\
57381405429453477501525549573597621645669693717741765789^_\
81383786188590993395798200603005407810212615017419822224^_\
62702943183423663904144384624865105345585826066306546787^_\
02726750774798822846870894918942966991015039063087111135^_\
15918320723125527930332735137539942344747149551954356759^_\
16156396636877117357597838078318558799039279519760000^_
(period 999)
24 heures ........8 4 2 

Inverse des nombres premiers

Le tableau ci-dessous propose un classement des nombres premiers en fonction de la longueur de la période de leurs inverses.
L'inverse d'un nombre premier, noté 1/p possède un développement décimal périodique dont la longueur de la période est notée δ_(p)
Ceci exclut les nombres premiers 2 et 5 dont l'inverse ne possède pas de développement décimal périodique

Tableau des nombres premiers dont δ_p <101[modifier | modifier le code]

23, 4093, 8779 ..... En mathématiques, le théorème de Midy, dû au mathématicien français Étienne Midy[1],[2], est un énoncé concernant le développement décimal périodique d'une fraction a/p (comprise, sans perte de généralité, entre 0 et 1), où p est un nombre premier (différent de 2 et 5) tel que la période soit paire. Une telle fraction s'écrit ${\displaystyle {\frac {a}{p}}=0{,}{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{k}a_{k+1}\dots a_{2k}}}}$ et le théorème établit que les chiffres dans la deuxième moitié de la période sont les compléments à 9 (en) de ceux qui leur correspondent dans la première moitié. En d'autres termes : ${\displaystyle a_{i}+a_{i+k}=9}$ ou encore : ${\displaystyle a_{1}\dots a_{k}+a_{k+1}\dots a_{2k}=10^{k}-1.}$