Théorème des deux lunules

Soit le triangle ABC rectangle en B et ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ le cercle circonscrit à ABC (de diamètre AC).
La lunule ${\displaystyle L_{BC}}$ est la figure formée par le demi-disque de diamètre BC extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.
La lunule ${\displaystyle L_{BA}}$ est la figure formée par le demi-disque de diamètre BA extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.
Alors la somme des aires de ${\displaystyle L_{BC}}$ et de ${\displaystyle L_{BA}}$ (en bleu sur la figure) est égale à l'aire du triangle ABC (en vert).
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Soit un triangle ABC rectangle en B.
Les deux petites parties blanches représentent ce qui reste du demi-disque de diamètre AC quand on le prive du triangle ABC. La somme de leurs aires est donc ${\displaystyle {\text{Aire}}(AC)-{\text{Aire}}(ABC).}$
Les deux lunules sont les deux demi-disques de diamètre AB et BC privés de ces parties blanches. La somme de leurs aires est donc
${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Aire}}(L_{BC})+{\text{Aire}}(L_{BA})&={\text{Aire}}(AB)+{\text{Aire}}(BC)-\left[{\text{Aire}}(AC)-{\text{Aire}}(ABC)\right]\\&=\left[{\text{Aire}}(AB)+{\text{Aire}}(BC)-{\text{Aire}}(AC)\right]+{\text{Aire}}(ABC).\end{aligned}}}$ Pour montrer le théorème, il suffit donc de montrer que ${\displaystyle {\text{Aire}}(AB)+{\text{Aire}}(BC)-{\text{Aire}}(AC)=0}$, c'est-à-dire que la somme des aires des deux demi-disques de diamètre AB et BC est égale à l'aire du demi-disque de diamètre AC.
Or le théorème de Pythagore nous dit que
${\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}.\,}$ Donc en multipliant par ${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$ on a
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {AC}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {AB}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {BC}{2}}\right)^{2},}$ ce qui est l'égalité des aires recherchée.


Ce pi/8 me laisse perplexe .... la somme des 20 premières décimales de pi est égale à 100