Théorème de Midy

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En mathématiques, le théorème de Midy, dû au mathématicien français Étienne Midy^[1],[2], est un énoncé concernant le développement décimal périodique d'une fraction a/p (comprise, sans perte de généralité, entre 0 et 1), où p est un nombre premier (différent de 2 et 5) tel que la période soit paire. Une telle fraction s'écrit

${\displaystyle {\frac {a}{p}}=0{,}{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{k}a_{k+1}\dots a_{2k}}}}$

et le théorème établit que les chiffres dans la deuxième moitié de la période sont les compléments à 9 (en) de ceux qui leur correspondent dans la première moitié. En d'autres termes :
${\displaystyle a_{i}+a_{i+k}=9}$ ou encore :
${\displaystyle a_{1}\dots a_{k}+a_{k+1}\dots a_{2k}=10^{k}-1.}$ Par exemple,

${\displaystyle {\frac {3}{7}}=0{,}{\overline {428571}}{\text{ et }}428+571=999.}$