Nombre de catalan

 Particularité de la fin de la décomposition en produit de facteurs premiers

La décomposition en produit de facteurs premiers de ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}$ possède la particularité de se terminer par la liste des nombres premiers de ${\displaystyle \left]n,2n\right]}$ (liste non vide d'après le postulat de Bertrand), comme le montre l'exemple ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{10})=2^2\times 11\times 13\times 17\times 19}$.

On montre en effet à partir de la formule de Legendre ci-dessus qu'un nombre premier p apparait dans la décomposition de ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}$ en produit de facteurs premiers avec l'exposant ${\displaystyle e=1}$ pour p dans ${\displaystyle \left]n,2n\right]}$, et avec l'exposant ${\displaystyle e=0}$ pour [9].

Le produit des nombres premiers de ${\displaystyle \left]n,2n\right]}$ : ${\displaystyle P_n=\frac{(2n)\mathrm{\#}}{n\mathrm{\#}}}$ où ${\displaystyle n\mathrm{\#}}$ désigne la primorielle de n est en particulier un diviseur de ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}$ et les diviseurs premiers de ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})/P_n}$ sont tous inférieurs ou égaux à n.

Sur le site de l'OEIS, ${\displaystyle (P_n)}$ est répertoriée comme suite A261130 de l'OEIS, et ${\displaystyle \left((\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})/P_n\right)}$ comme suite A263931 de l'OEIS.

En 1850, Tchebychev utilise cette propriété pour obtenir une évaluation de la distribution des nombres premiers[11].

Coefficient binomial central — Wikipédia

En mathématiques le coefficient binomial central d'ordre n est le coefficient binomial défini par :

${\displaystyle \mathrm{CBC}(n)={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}=\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}=\prod _{k=1}^n\frac{n+k}{k}\text{ pour tout }n⩾0.}$

Il est ainsi nommé pour la position centrale qu'il occupe dans la liste des ${\displaystyle {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{k})}}$ pour ${\displaystyle 0⩽k⩽2n}$ (ligne d'indice ${\displaystyle 2n}$ du triangle de Pascal) ; l'identité de Vandermonde : ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2}$montre qu'il s'obtient par la somme des carrés des termes de la ligne d'indice ${\displaystyle n}$ de ce triangle.

Pour les premières valeurs de n, celles du coefficient binomial central associé sont : 1, 2, 6, 20, 70, 252. La liste de toutes les valeurs constitue la suite A000984 de l'OEIS.