Factorisation des factorielles

 

FACTORISATION des FACTORIELLES   Méthode de factorisation. En déduire quelques caractéristiques, comme la quantité de zéros à droite.

 

 

Approche
Formons la factorisation première des nombres factoriels.	2! = 1 . 2 3! = 1 . 2 . 3 4! = 1 . 2 . 3 . 4 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6	= 2 = 6 = 24 = 120 = 720	= 2 = 2  . 3 = 23 . 3 = 23 . 3  . 5 = 24 . 32 . 5
Examinons le cas de 6! Quel est l'exposant du facteur 2 On effectue les divisions indiquées Arrêt si le résultat est inférieur à 1 On prend les parties entières de ces résultats On les additionne	6/2 = 3 6/22 = 1,5 6/23 = 0,75	=> 3 => 1 => 0 =   4	4 est l'exposant du facteur 2
Même opération avec 3, le nombre premier immédiatement après 2	6/3 = 2 6/32 = 0,66	=> 2 => 0 =   2	2 est l'exposant du facteur 3
Et avec le 5, le nombre premier suivant Inutile d'aller plus loin avec le nombre premier 7, car la division donnera un résultat inférieur à 1	6/5 = 1 6/52 = 0,24	=> 1 => 0 =   1	1 est l'exposant du facteur 5

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Théorème
Si n est un nombre entier supérieur ou égal à 1 et si p est un nombre premier, l'exposant de p dans la décomposition de n! en facteurs premiers est égal à  = [ n/p] + [ n/p2] + [ n/p3] + [ n/p4] + …   Rappel de notation: Les crochets droits indiquent que l'on retient la partie entière du nombre. Exemple: [5,32] = 5

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Exemple avec 10!, 00! et 1000!
Méthode directe	Application du théorème
10! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10       =     2 . 3 . 22. 5 . 2.3 . 7 . 23 . 32 . 2.5             =     28 . 34 . 52 . 7             = 3 628 800	10/2 = 5 10/22 = 2,5 10/23 = 1,25	=> 5 => 2 => 1 =   8	28
	10/3 = 3,33 10/32 = 1,11	=> 3 => 1 =   4	34
	10/5 = 2	=> 2 =   2	52
	10/7 = 1,42	=> 1	71
	10/11 = 0,9	=> 0	Fin
Cas de 100 !	Exemple de calcul pour 2
100! = 297 . 348 . 524 . 716 .119 . 137 . 175 . 195 . 234 . 293 . 313 . 372 . 412 . 432 . 472 . 53 . 59 . 61 . 67 . 71 . 73 . 79 . 83 . 89 . 97	100/2 =   50 100/22 =   25 100/23 = 12,5 100/24 = 6,25 100/25 = 3,12 100/26 = 1,56 100/27 = 0,78	=> 50 => 25 => 12 =>   6 =>   3 =>   1 =>   0 =   97	297
Cas de 1000 !	Exemple de calcul pour 5
1000! => se termine par 249 zéros   En effet, la puissance de 5 est 249 et combiné avec 249 fois le 2 (il y beaucoup plus de 2, bien sûr), le produit donne 10 (donc un zéro) à chaque fois.	1000/5 = 200 1000/52 =   40 1000/53 =     8 1000/54 =  1,6	=> 200 =>   40 =>     8 =>     1 =   249	5249

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Factorielles, propriétés (free.fr)

TFA et factorielles (free.fr)

Villemin